6.2 平面向量的概念和运算 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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平面向量的概念和运算（一）
一、单选题（共13小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列说法正确的是（???
）
A.?若
，则
或
????????????????????B.?若
、
为相反向量，则
C.?零向量是没有方向的向量????????????????????????????????????D.?若
、
是两个单位向量，则
2.在
中，
，若
为
上一点，且满足
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.若非零向量
和
互为相反向量，则下列说法中错误是（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
4.在
中，
是
上一点，且
，则
（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
5.非零向量
满足
且
与
夹角为
，则“
”是“
”的（???
）
A.?必要而不充分条件?????????B.?充分而不必要条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
6.已知非零向量
满足
，且
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等，则
等于（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?3
7.下列命题正确的是（???
）
A.?若向量
，则
与
的方向相同或相反?????????????B.?若向量
，
，则
C.?若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等?????D.?若向量
，
，则
8.已知
、
是平面向量，下列命题正确的是（???
）
A.?若
，则
??????????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，则
????????????????????????????????????D.?零向量与任何非零向量都不共线
9.在边长为3的菱形
中，
，
，则
=（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且
,则四边形ABCD是(??
)
A.?空间四边形???????????????????????????B.?平行四边形???????????????????????????C.?等腰梯形???????????????????????????D.?矩形
11.如图，在
中，
，
，
分别是边
，
，
上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（???
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
12.已知
，
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
，则
的最大值是（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
13.下列各式中不能化简为
的是（??
）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
二、多选题（共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
14.设
，
是两个非零向量，则下列描述正确的有（???
）
A.?若
，则
???????????????????B.?若
，则存在实数
，使得
C.?若
，则
???????????????????D.?若存在实数
，使得
，则
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
15.已知
，
是两个不共线的向量，
，
.若
与
是共线向量，则实数
的值为________.
16.已知：
，
，
，
，则
最小值为________.
17.已知
，且
，则
________.
18.在
中，对角线
与
交于点O，
，则实数
=________.若
，且
，则
=________
四、解答题（共4小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.某人在静水中游泳，速度为
千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
20.已知
与
的夹角为
.求：
（1）
；
（2）
.
21.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段
的一个靠近点B的三等分点,设
.
（1）用向量
与
表示向量
;
（2）若
,求证:C,D,E三点共线.
22.设
，
是两个不共线向量，知
，
，
．
（1）证明：
、
、
三点共线
（2）若
，且
、
、
三点共线，求
的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】对A，若
，只能表示
和
的长度相等，不能说明方向相同或相反，故
A不符合题意；
对B，若
、
为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
2.【答案】
A
【解析】因为
为
上一点,设
因为
所以
则由向量的加法与减法运算可得
因为
所以
,解得
故答案为：A
【分析】根据平面向量共线基本定理,可设
,结合向量的加法与减法运算,化简后由
,即可求得参数
的值.
3.【答案】
C
【解析】由平行向量的定义可知A项正确；
因为
和
的方向相反，所以
，B项正确；
由相反向量的定义可知
，故答案为：项D符合题意；
由相反向量的定义知
，C项错误.
故答案为：C.
【分析】根据相反向量的定义：两个向量方向相反，大小相等，可得选项.
4.【答案】
C
【解析】因为
是
上一点，且
，
则
．
故答案为：C．
【分析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果．
5.【答案】
C
【解析】由题意，非零向量
满足
且
与
夹角为
，
若
，即
，
解得
，又因为
，可得
，即充分性是成立的；
若
，由
，可得
，即必要性是成立的，
所以“
”是“
”的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】由题意，若
，根据向量的数量积和模的计算公式，可得
，得到
，；反之也可求得
，即可得到答案.
6.【答案】
B
【解析】因为
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等，
?设这两个向量的夹角为
，则
，
?又由
且
，
所以
，
故答案为：B.
【分析】?设这两个向量的夹角为
，利用已知条件
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等，再结合投影的定义，从而求出的值，再利用数量积求模公式结合已知条件，从而求出向量的模
?的值。
7.【答案】
D
【解析】对于A选项，向量
，可能
，此时不能得到
与
的方向相同或相反，A选项错误.
对于B选项，向量
，
，可能
，此时不能得到
，B选项错误.
对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，C选项错误.
对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.
故答案为：D
【分析】根据向量共线、向量相等的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
8.【答案】
C
【解析】对于A，向量方向不相同则向量不相等，A不符合题意；
对于B．向量不能比较大小，B不符合题意；
对于C，若
，则
，
，C符合题意；
对于D，零向量与任一向量共线，D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用向量的概念可判断A选项的正误；利用向量不能比大小可判断B选项的正误；利用共线向量的定义可判断C选项的正误；利用零向量的概念可判断D选项的正误.
9.【答案】
C
【解析】
.
故答案为：C.
【分析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.
10.【答案】
B
【解析】由已知得
,即
是相等向量,因此
的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
11.【答案】
C
【解析】因为
，
，
分别是边
，
，
上的中线，它们交于点G，
所以点G是
的重心.
A：因为点G是
的重心，所以
，因此
，所以本选项正确；
B：因为
是边
上的中线，所以
，又因为点G是
的重心，所以有
，因此
，所以本选项正确；
C：因为点G是
的重心，所以
，因此
，所以本选项不正确；
D：因为
是边
上的中线，点G是
的重心，所以有
，因此本选项正确.
故答案为：C
【分析】根据平面共线定理、平面向量加法的几何意义，结合三角形重心的性质进行判断即可.
12.【答案】
B
【解析】因为
，
是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设
，
，
，
则
，
，
因为
，所以
，
整理得到
，即
，
故
的最大值为
，
故答案为：B.
【分析】设
，
，
，则由题设条件可得
的关系为
即
，故可求
的最大值.
13.【答案】
D
【解析】由向量运算的三角形法则可得
，所以A能；由于
，所以B能；又因为
，所以C能，
故答案为：D．
【分析】利用三角形法则和向量的加、减法的运算法则，从而找出不能化简为
的选项。
二、多选题
14.【答案】
B,C
【解析】解：对于A，当
时，
，
得
，
因为
，
是两个非零向量，所以
，
共线反向，所以A不符合题意，B符合题意；
对于C，当
时，
，
得
，所以
，所以C符合题意；
对于D，由A的判断可知，当
时成立，而
时，不成立，所以D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质，对选项逐个化简判断即可.
三、填空题
15.【答案】
-4
【解析】∵
与
是共线向量，∴存在实数
，使得
，即
，
∴
，解得
．
故答案为：－4．
【分析】根据向量共线定理求解．
16.【答案】
【解析】∵
，
，不妨设
，
，在直角坐标系中作出
，
，如图，
，记
，则点C在过原点与直线
平行的直线l上，易知直线l方程是
即
，
记
，则
，∴D在以A为圆心，半径为
的圆A上，，
A到直线l的距离为
，
∴
的最小值为
．即
最小值为
．
故答案为：
．
【分析】设
，
，在直角坐标系作出
，
，利用几何意义确定
的终点位置，从而由圆上的点到直线距离的最小值结论求解．
17.【答案】
【解析】因为
，且
，
所以
，即
，解得
，
所以
.
故答案为：
【分析】首先利用向量垂直，
，求出
，再利用向量模的求法即可求解.
18.【答案】
-2；
【解析】
，故
；
，故
.
故答案为：-2；
.
【分析】直接利用向量运算的三角形法则和平行四边形法则得到答案.
四、解答题
19.【答案】
（1）解：如图，设此人游泳的速度为
，水流的速度为
，
以OA，OB为邻边作
QACB，则此人的实际速度为
，
由勾股定理知
，且在
中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时
（2）解：如图，设此人的实际速度为
，水流速度为
，则游速为
，
在Rt△AOD中，
，
，则
，
，
故此人沿向量
的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为
游，实际前进的速度大小为
千米/时
【解析】【分析】作出示意图，再根据向量加法与减法的三角形法则和锐角三角函数的定义即可得出答案．
20.【答案】
（1）解：
.
（2）解：
.
【分析】（1）利用向量数量积的运算，求得
.（2）利用平方再开方的方法，求得
.
21.【答案】
（1）解：∵
,
,
∴
,
.
（2）解：
,
∴
与
平行,
又∵
与
有共同点C,
∴
，
，
三点共线.
【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出
，
，即可用
、
表示；（2）由
，只需找到
与
的关系，即可得证.
22.【答案】
（1）证明：
，
与
有公共点，
、
、
三点共线
（2）解：
、
、
三点共线，
存在实数
，使
，
，
又
不共线，
，
解得
，
．
【分析】（1）先求出
，只要证明存在实数
，使得
即可；（2）利用向量共线定理即可得出．
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