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JJ版九年级下
29．1 点与圆的位置关系
第二十九章
直线与圆的位置关系
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B
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B
1．【中考·湘西州】⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离OA＝3
cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
2．若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O外
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内
D．无法确定
【点拨】∵⊙O的面积为25π，∴⊙O的半径为5，
∵OP＝4.9＜5，
∴点P在⊙O内．故选C.
【答案】C
3．已知圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P(－3，4)与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．不能确定
B
4．在平面直角坐标系中，⊙P，⊙Q的位置如图所示，下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是( )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(2，－1)
D．(3，1)
C
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．无法确定
【答案】A
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2
cm，D是AB的中点，以C为圆心，2
cm长为半径作圆，A，B，C，D四个点中，在圆内的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
C
7．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( )
A．6B．8C．6D．8A
8．采石厂工人爆破时，为了安全，点燃炸药导火线后，要在炸药爆炸前转移到400
m以外的安全区域(包括400
m)，导火线燃烧的速度是1
cm/s，工人离开的速度是5
m/s，至少需要导火线的长度是( )
A．70
cm
B．75
cm
C．79
cm
D．80
cm
D
9.如图，王大伯家屋后有一块长12
m，宽8
m的矩形空地，他在以长BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( )
A．3
m
B．5
m
C．7
m
D．9
m
【点拨】为了不让羊吃到菜，应使绳长小于线段OA与圆的半径的差，由勾股定理可求得OA＝10
m，则拴羊的绳长应小于10－6＝4(m)，故选A.
【答案】A
【点拨】此题应分情况讨论，分为点P在圆内和点P在圆外两种情况．
【答案】C
11．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？
解：若点A，B在⊙C外，
则有AC＞r.
∵AC＝6，∴0(2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
解：若点A在⊙C内，点B在⊙C外，
则有AC＜r＜BC，
∵AC＝6，BC＝8，∴6＜r＜8.
12．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.
(1)求证：BD＝CD；
证明：∵AD为圆的直径，AD⊥BC，
∴根据垂径定理可知BF＝CF，在△AFB和△AFC中，AF＝AF，∠AFB＝∠AFC＝90°，BF＝CF，∴△AFB≌△AFC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，∴BD＝CD.
︵
︵
(2)判断B，E，C三点是否在以D为圆心、DB为半径的圆上，并说明理由．
解：B，E，C三点在以D为圆心、DB为半径的圆上．
理由如下：由(1)知BD＝CD
，
∴∠BAD＝∠CBD.
︵
︵
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，
∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知BD＝CD，
∴DB＝DE＝DC.
∴B，E，C三点在以D为圆心、DB为半径的圆上．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD.
(1)过点D作DF⊥AC于点F，过
点A作AE⊥BD于点E，并求
AE，AF的长．
(2)以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F
5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，并求⊙A的半径r的取值范围．
14．某学校的教室A的东240
m的O点处有一货场，经过O点沿北偏东60°方向有一条公路，假定运货车形成的噪音影响的范围在130
m以内．
(1)这条公路上的运货车产生的噪音会对学校造成影响吗？请说明理由．
解：会造成影响，理由如下：
如图，过点A作AH⊥BC于H，可知∠AOH＝30°，
∵120
m＜130
m，
∴点A在以点H为圆心，以130
m长为半径的⊙H内，
即这条公路上的运货车产生的噪音会对学校造成影响．
(2)若运货车产生的噪音会对学校造成影响，为消除噪音，计划在公路边修筑一段消音墙，请你计算消音墙的长度．(只考虑声音的直线传播)
解：当运货车距A点130
m时，学校开始受到噪音影响，假设运货车行驶到C处，学校开始受影响，运货车离开B处，学校不再受影响，如图，(共36张PPT)
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29．2 直线与圆的位置关系
第二十九章
直线与圆的位置关系
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1．在平面直角坐标系中，圆心P的坐标为(－3，4)，以r为半径在坐标平面内作圆．
(1)当r满足________时，⊙P与坐标轴有1个交点；
【点拨】当⊙P和y轴相切时，⊙O与坐标轴有1个交点，此时r＝3.
r＝3
(2)当r满足____________时，⊙P与坐标轴有2个交点；
【点拨】当⊙P和y轴相交，且和x轴相离时，⊙O与坐标轴有2个交点，此时3＜r＜4.
3＜r＜4
(3)当r满足______________时，⊙P与坐标轴有3个交点；
【点拨】当⊙P和y轴相交且和x轴相切或⊙P经过原点时，⊙P与坐标轴有3个交点，此时r＝4或r＝
5.
r＝4或r＝5
(4)当r满足___________时，⊙P与坐标轴有4个交点．
【点拨】当⊙P和x轴，y轴都相交且不经过原点时，⊙P与坐标轴有4个交点，此时r＞4且r≠5.
r＞4且r≠5
2．如图，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的长的取值范围是( )
A．8≤AB≤10
B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5
D．4＜AB≤5
A
【答案】B
4．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则正确反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
5．已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相切或相交
D
6．【中考·广州】平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
7．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；
③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；
⑤若d＜1，则m＝4.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．5
【点拨】①若d>5，则直线与圆相离，圆上的点到这条直线的距离大于2，故m＝0，此结论正确；
②若d＝5，则直线与圆相离，圆上的点到这条直线的距离等于2的只有1个点，故m＝1，此结论正确；
③若1④若d＝1，则直线与圆相交，圆上到这条直线的距离等于2的点有3个，故m＝3，此结论错误；
⑤若d<1，则直线与圆相交，圆上到这条直线的距离等于2的点有4个，故m＝4，此结论正确．故选C.
【答案】C
∴A(－4，0)，B(0，－3)．
∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝5.
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，如图，则PD⊥AB，PD＝1.
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为___________________________.
【点拨】本题易因考虑圆与哪三条边相切不全而致错．
(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
10．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
；
解：如图所示．
(2)请你判断BC与(1)中⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：BC与⊙P相切．证明如下：
如图，过P作PD⊥BC，交BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且
PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.
∴点P到BC的距离等于⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
11．【中考·徐州】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
︵
(1)求证：∠A＝∠DOB.
证明：如图，连接OC，
∵D为BC的中点，∴CD＝BD，
∴∠BOD＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠DOB.
︵
︵
︵
(2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
解：DE与⊙O相切．
理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.
∵DE⊥AE，∴OD⊥DE.
∴圆心O到DE的距离等于半径．
∴DE与⊙O相切．
12．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：如图①，过O点作OF⊥AM于点F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，⊙O与AM相切．
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：如图②，过O点作OG⊥AM于
点G，则
BG＝CG.
13．【中考·扬州】如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．
解：DE与半圆O相切．
理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD∥OC，∴∠OCE＝∠D＝90°.
∴CO⊥DE.
又∵CO为半径，
∴圆心O到DE的距离等于半径，
∴DE与半圆O相切．
(2)①求证：CF＝OC.
证明：如图，连接OB.
∵OA＝OC，
∴四边形OABC是菱形．
∴AB＝OA＝OB.
∴△AOB为等边三角形．
∴∠BAO＝60°.
∵AD∥OC，
∴∠COF＝∠BAO＝60°.
∵OC＝OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC.
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
解：在Rt△OCE中，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴∠E＝30°.
︵(共30张PPT)
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阶段核心方法
证明圆的切线的常用方法
第二十九章
直线与圆的位置关系
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1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
2．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：PD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接PO，
则∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∠D＝∠OAP＝30°.
∴∠OPD＝180°－∠OAP－∠OPA－∠D＝90°，
即OP⊥PD.
又∵OP是半径，∴PD与⊙O相切．
3．【2020·邵阳】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.
∴∠OAB＝∠C.
∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.
∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
解：由(1)可知AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AOD＝2∠B，
∴∠AOC＋∠C＝2∠B＋∠C＝3∠C＝90°.
∴∠B＝∠C＝30°.
4．【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.∴OD⊥BC.
又∵OD为半径，∴BC与⊙O相切．
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
解：如图，连接DE.
∵AE是⊙O的直径，AE＝10，
∴∠ADE＝90°，OA＝OE＝OD＝5.
∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.
5．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP.
(1)求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠POB，∠POC＝∠OCA.
∴∠POB＝∠POC.
∵OC＝OB，OP＝OP，∴△POC≌△POB，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
(2)若∠A＝60°，AB＝4，求PC的长．
解：∵AB＝4，∴OB＝2.
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.
求证：CD与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA.
又∵OH⊥DC，∴DC是⊙O的切线，
即CD与⊙O相切．
7．【中考·江西】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，
且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线．
证明：如图，作OE⊥AB于点E.
因为⊙O与BC相切于点C，所以AC⊥BC.
因为∠AOD＝∠BAD，AD⊥BD，
所以∠OAD＝∠ABD.
易知∠OAD＝∠OBC，
所以∠ABD＝∠OBC.
又因为BO＝BO，∠OEB＝∠OCB＝90°，
所以△BEO≌△BCO，所以OE＝OC，
所以点E在⊙O上，所以AB为⊙O的切线．(共36张PPT)
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29．3 切线的性质和判定
第二十九章
直线与圆的位置关系
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1．【中考·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
B
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
B
A
4．【中考·泰安】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
A
【答案】A
6.如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°.若BD＝6，AB＝4，则弦BC的长为________．
【点拨】连接OC，过点O作OE⊥AB于点E.
由题意可得四边形OEAC为矩形，
∴AC＝OE，OC＝AE.根据勾股定理可求解．
7．下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
C
8．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
A
D
10．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【点拨】如图，设切点为D，连接CD.
【答案】B
11．【中考·雅安】如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC
并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC，
∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE.
又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD.
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC.
∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．
(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
12．【中考·临沂】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD，OA，作OF⊥AC于F，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.
而OF⊥AC，∴OF＝OD，
∴AC是⊙O的切线．
13．【中考·常德】如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD，CD，
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，
∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，∴∠ACB＝90°.
(2)若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
解：∵EC＝6，∴OD＝3.
又∵BD＝4，∴OB＝5，∴BE＝2，
∴BC＝BE＋EC＝8.
由(1)知△AOD≌△AOC，
∴AD＝AC.
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴(4＋y)2＝y2＋82，
解得y＝6，
∴AC的长为6.
14．【中考·宜昌】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，B点在⊙O上，连接OB.
(1)求证：DE＝OE；
证明：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD＝90°.
∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE.
(2)若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
解：∵OD＝OE，DE＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°.
∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，
∴OA＝OB＝DE＝EC.
∵CD∥AB，∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴△ABO≌△CDE，∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．(共36张PPT)
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29．5 正多边形与圆
第二十九章
直线与圆的位置关系
第1课时 正多边形与圆
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1．正多边形的一个中心角与该正多边形的一个内角的关系为( )
A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补
D．不能确定
B
【点拨】如图，连接AC.
【答案】C
B
D
5．【中考·湖州】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是( )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
C
A
7.【中考·威海】如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，则图中阴影部分的面积是( )
A．18＋36π
B．24＋18π
C．18＋18π
D．12＋18π
【点拨】如图，作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接AE.
【答案】C
8．【中考·宜宾】刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设⊙O的半径为1，若用⊙O的外切正六边形的面积S来近似估计⊙O的面积，则S＝________．(结果保留根号)
9．如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
(1)正三角形；(2)正方形；(3)正八边形．
解：如图所示．
错解：B
诊断：设正多边形的边数为n.因为正多边形的内角和为(n－2)·180°，正多边形的外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成6个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.
正解：A
11．【中考·镇江】在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10，小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)．
(1)∠ABC＝________°；
30
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．
(参考值：sin
78°≈0.98，cos
78°≈0.21，tan
78°≈4.70)
12．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
解：如图，先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．(作法不唯一)
(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
解：四边形BCEF是矩形．
证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝AF＝DE＝DC＝FE＝BC，
∠FED＝∠EDC＝120°.
∴∠DEC＝∠DCE＝30°.∴∠FEC＝90°.
同理∠EFB＝∠FBC＝90°.
∴四边形BCEF是矩形．
13．【中考·铜仁】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，
过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线．
证明：连接OF，如图．
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︵
∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°.
∴∠ABF＝∠OFB.∴AB∥OF.
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG.
又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．
∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形．
∴∠AFO＝60°.
︵
︵
︵
14．如图①②③④，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCD…分别内接于⊙O，点M，N分别从点B，C同时开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN相交于点P.
(1)图①中，∠APN＝________.
(2)图②中，∠APN＝________，
图③中，∠APN＝________.
60°
90°
108°
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系．(直接写答案)(共45张PPT)
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第二十九章
直线与圆的位置关系
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15°或75°
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1．由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400
km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300
km的范围
内将受到影响，则A市是否会受到
这次沙尘暴的影响？
解：如图，过点A作AC⊥BD于点C.
由题意，得AB＝400
km，∠DBA＝45°，
∴AC＝BC.
∵282.8
km＜300
km，
∴A市会受到这次沙尘暴的影响．
2．【2020·丹东】如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB.
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC所在直线与⊙O相切．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.
又∵∠ABF＝∠ABD＋∠DBF，
∠AFB＝∠CBF＋∠C，
∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBF＋∠C.
∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF.
∴∠ABD＝∠C.
∵∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线．
解：∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF.
∵DF＝2，∴BD＝6.
设AB＝AF＝x，则AD＝x－2.
∵AB2＝AD2＋BD2，
∴x2＝(x－2)2＋62，
解得x＝10.∴AB＝10.
∴⊙O的半径为5.
3．【中考·巴中】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线
于点N，过点B作BG⊥MN于点G.
(1)求证：△BGD∽△DMA；
证明：∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于点G，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°.
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴∠ADC＝90°，∴∠ADM＋∠CDM＝90°，
∵∠DBG＋∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM.
在△BGD与△DMA中，
∠BGD＝∠DMA＝90°，∠DBG＝∠ADM.
∴△BGD∽△DMA.
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
解：如图，连接OD.
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵MN⊥AC，∴OD⊥MN，
又∵OD是⊙O的半径，∴直线MN是⊙O的切线．
4．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD交OB，OC于M，N.求证：
(1)MN∥BC；
证明：如图，连接OA，OD，
则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝360°÷10＝36°，
则∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝108°.
又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝36°.
∴∠ANO＝∠COD＋∠ODA＝36°＋36°＝72°.
∵∠BOC＝36°，OB＝OC，
∴∠BCO＝∠OBC＝72°.
∴∠ANO＝∠BCO.
∴MN∥BC.
(2)MN＋BC＝OB.
解：∵∠AON＝∠AOB＋∠BOC＝72°，∠ANO＝72°，
∴AN＝AO＝OB.
∵MN∥BC，∴∠AMB＝∠OBC＝72°.
又AB＝BC，
∴AN＝AM＋MN＝AB＋MN＝BC＋MN.
∴MN＋BC＝OB.
5．已知，如图，过⊙O外一点B作⊙O的切线BM，M为切点，BO交⊙O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO＝3，⊙O的
半径为1.求MP的长．
解：如图，连接OM，则OM⊥BM，
又∵PM是⊙O的切线，∴AP＝MP.
6．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
解：在⊙O中，∠A＝∠D.
∵∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC(AAS)．∴EB＝EC.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC为等边三角形．∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°.∴∠EGF＝30°.
∵EG＝2，∴EF＝1.
又∵AE＝DE＝3，∴CF＝AF＝4.
∴AC＝8，CE＝5.∴BC＝5.
7．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5
B．10
C．7.5
D．4
【答案】A
【答案】C
∴∠BAO＝30°，∠CAO＝45°.
∴∠CAB＝15°.同理可得，当圆心O在∠CAB的内部时，∠CAB＝75°.
【答案】15°或75°
10．如图，正方形ABCD的边长是4，以BC为直径作圆，从点A引圆的切线，切点为F，AF的延长线交DC于点E.求：
(1)△ADE的面积；
解：∵BC是⊙O的直径，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB，CD都是⊙O的切线．
∴AF＝AB＝4.
(2)BF的长．
∵OB⊥AB，OF⊥AF，
且OB＝OF，
∴AO为∠BAF的平分线．
∵AB＝AF，∴AM⊥BF，BM＝MF.
∴BF＝2BM.
11．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，BD切⊙O于点B.
(1)在图①中，∠BAC＝30°，求∠DBC的度数；
解：∵AB是直径，∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
∵BD切⊙O于点B，∴∠ABD＝90°.
∴∠DBC＋∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠BAC＝30°.
(2)在图②中，∠BA1C＝50°，求∠DBC的度数；
解：连接AC，则∠CAB＝∠CA1B，
由(1)知∠DBC＝∠BAC，
即∠BA1C＝∠DBC，
∵∠BA1C＝50°，∴∠DBC＝50°.
(3)在图③中，∠BA1C＝α，求∠DBC的度数；
解：同(2)可证∠BA1C＝∠DBC，
∴∠DBC＝α.
(4)通过(1)(2)(3)的探索你发现了什么？用你自己的语言叙述你的发现．
【点拨】本题用到转化思想和从特殊到一般的思想，(2)中通过连接AC，把问题转化为(1)，通过(1)(2)中特殊角的推导，得到第(3)问一般的结论．
解：过圆上一点作圆的一条切线和一条弦，则这条弦和切线相交所形成的角等于它们所夹的弧所对的圆周角．(共38张PPT)
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29．5 正多边形与圆
第二十九章
直线与圆的位置关系
第2课时 用三角函数解圆中的
计算问题
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D
一、选择题
C
A
B
5．【中考·黔东南州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
二、填空题
6．【中考·玉林】如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos
E＝________.
7．【中考·泰安】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos
C的值为________．
8．【中考·荆州】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.
9．【2020·北京】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
三、解答题
证明：连接OD，如图所示．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AD⊥BD.
∵OF⊥AD，∴OF∥BD.∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°.
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°.
∴∠CDA＝∠BDO.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.
∴∠ADC＝∠AOF.
10．【2020·陕西】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO
并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C
作⊙O的切线，与BA的延长线
相交于点E.
(1)求证：AD∥EC；
证明：连接OC，如图所示．
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°.
∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°.
∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC.
(2)若AB＝12，求线段EC的长．
解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°.
∴∠ADB＝∠ACB＝60°.
11．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，BC.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC；
证明：连接OC.∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCO＝90°.∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠OCB＋∠OCA＝90°.∴∠PCA＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.
∴∠PCA＝∠ABC.
12．【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF.
(1)求证：BF是⊙O的切线．
证明：连接AE，如图．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴2∠1＝∠BAC.
∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF.
∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°.∴AB⊥BF.
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线．
解：过点C作CH⊥BF于点H，如图.
13．【中考·广安】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的
外接圆⊙O交AC于点F，连接EF.
(1)求证：BC是⊙O的切线．
证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°.
∴AE是⊙O的直径．
∴AE的中点是圆心O.
如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA.∴OD∥AC.
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC⊥DO.
又∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．(共38张PPT)
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29．4 切线长定理
第二十九章
直线与圆的位置关系
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1．下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
2．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B
3．【中考·益阳】如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
D
4．【中考·南充】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
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【点拨】连接OP，∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，OA⊥AP.
又∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°.
在Rt△APO中，OA＝2，∴OP＝2OA＝4.
∵MA，MC为⊙O的切线，∴MA＝MC.
【答案】C
6．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
A
7．【中考·荆门】如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )
A．DI＝DB
B．DI>DB
C．DID．不确定
【点拨】连接BI，如图，
∵△ABC的内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
【答案】A
∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2.
∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI＝∠3＋∠5，
∴∠4＝∠DBI，∴DI＝DB.
【点拨】连接OA，OE，OD，OB，
OB交DE于H，如图．
∵等腰三角形ABC的内切圆
⊙O与AB，BC，CA分别相切
于点D，E，F，
∴AO平分∠BAC，OE⊥BC，
OD⊥AB，BE＝BD.
【答案】D
9．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．矩形或菱形
【点拨】矩形只有外接圆，没有内切圆；菱形只有内切圆，没有外接圆；正方形既有外接圆，也有内切圆，故选C.
【答案】C
10．【中考·甘肃】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
证明：如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.
∴∠A＝∠ADE.
(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
解：如图，连接CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线．∴DE＝EC.
∴AE＝EC＝DE.
∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.
11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.
∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形．
∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
12．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB.
求证：(1)PB是⊙O的切线；
证明：连接OB，如图．
∵AO＝BO，AB⊥PO，
∴∠AOP＝∠POB.
∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，∴OB⊥PB.
又∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)E为△PAB的内心．
解：连接AE，如图．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠EAD，
即AE平分∠PAD.
∵PA，PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB，
∴E为△PAB的内心．
13．(1)如图①，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H，说明
AB＋CD与BC＋AD的大小关系；
解：由切线长定理，得AE＝AH，
BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝
AH＋BF＋CF＋DH＝BC＋AD，
即AB＋CD＝BC＋AD.
(2)如图②，四边形ABCD的三边分别切⊙O于点F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M，如图．
由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.
∵AB＜AM＋BM，
∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，
即AB＋CD＜BC＋AD.(共55张PPT)
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阶段核心题型
圆中常见的计算题型
第二十九章
直线与圆的位置关系
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1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB.
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°.∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
2．【中考·绍兴】在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长，请你解答．
解：连接OC，如图．
由题易知OA＝OB＝OC＝1.
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°.
∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2，
∴AD＝AO＋OD＝1＋2＝3.
(2)以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长．
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连接OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答．
【点拨】(2)题答案不唯一．
解：添加条件∠DCB＝30°，求AC的长．
连接OC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°.
∴∠ACO＝∠DCB.
3．【2020·江西】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r.
(1)如图①，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数．
解：如图①，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，
∴∠APB＋∠AOB＝180°.
∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°.
∴∠ACB＝50°.
(2)如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由．
解：当∠APB＝60°时，四边形APBC为菱形．理由如下：连接OA，OB，如图②.
由(1)可知，∠AOB＋∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°.
∴∠ACB＝60°＝∠APB.
∵点C运动到如图所示的位置时，PC距离最大，
∴PC经过圆心．
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC.
∴∠APC＝∠ACP＝30°.
∴AP＝AC.∴AP＝AC＝PB＝BC.
∴四边形APBC是菱形．
(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．
∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝2r.∴AP＝r，PD＝r.
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4．【2020·内江】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵OD⊥BC，∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，∴EC＝EB.
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
5．【中考·威海】如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD，与AF相交于点G.
∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.
∴∠CDO＝90°.
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO.
∴∠DOC＝∠BOC.
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线．
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【点拨】本题运用转化思想，将阴影部分的面积转化为扇形DOF的面积，从而求出阴影部分的面积．
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴AD＝OD＝OF，∠ADO＝60°.
∴∠DOF＝∠ADO.
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
【点拨】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
7．【中考·孝感】如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.
【点拨】本题运用割补法，将曲边三角形的面积转化为扇形AOD和△BOD的面积和．
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(2)求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵DE∥AB，∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(3)求线段DE的长．
如图，过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，
∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30
km/h，
受影响区域的半径为200
km，
B市位于点P北偏东75°的方
向上，距离P点320
km处．
(1)试说明台风是否会影响B市．
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
【点拨】本题在图形中画出圆，建立数学模型，然后利用垂径定理解决问题．
解：如图，以B为圆心，200
km为半径画圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同队队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员
乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，
你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
【点拨】本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，通过建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．
解：选择射门方式二较好，理由如下．设AQ与圆的另一交点为C，连接PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
10．如图，已知A，B两地相距1
km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350
m为半径的
圆形公园，则修建的这条水渠
会不会穿过公园？为什么？
解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
