9.2.4 总体离散程度的估计（共59张PPT）2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第九章

第九章　§9.2　用样本估计总体
9.2.4　总体离散程度的估计
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.
2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点　方差、标准差
1.假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数 ＝ ，

方差为s2＝ ，标准差s＝ .
2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数

为 ，则称S2＝ 为总体方差，S＝ 为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2

＝ .
3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数

为 ，则称s2＝ 为样本方差，s＝ 为样本标准差.
4.标准差刻画了数据的 或 ，标准差 ，数据的离散程度越大；标准差 ，数据的离散程度越小.
思考　方差、标准差有什么区别？
答案　在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但解决实际问题中，一般多采用标准差.
离散程度
波动幅度
越大
越小
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.(　　)
2.数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.(　　)
3.数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.(　　)
4.在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差.(　　)
√
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：
甲组　60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组　85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
一、方差、标准差的计算与应用
解　甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，
乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，
(2)哪一组的成绩较稳定？
解　由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
反思感悟
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.
跟踪训练1　从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲　25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙　27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
求：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
二、分层随机抽样的方差
例2　甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
反思感悟
跟踪训练2　某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.
∴全体学生的平均成绩为115分.
＝85＋180＝265.
三、方差、标准差与统计图表的综合应用
例3　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
解　由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
反思感悟
折线统计图中数字特征的求解技巧
根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.
跟踪训练3　为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查，他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为___________(用“＞”连接).
s1＞s2＞s3
解析　根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故s1＞s2＞s3.
3
随堂演练
PART THREE
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是
A.极差 B.平均数
C.方差 D.标准差
√
1
2
3
4
5
2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为
1
2
3
4
5
√
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
3.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入右表：
√
√
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析　甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确；
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；
由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误.
4.(多选)下列四个选项中，正确的是
A.极差与方差都反映了数据的集中程度
B.方差是没有单位的统计量
C.标准差比较小时，数据比较分散
D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍
1
2
3
4
5
√
√
由定义可知A正确，BC错误.
5.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是_____.
2
1
2
3
4
5
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)方差、极差的计算与应用.
(2)分层随机抽样的方差.
2.方法归纳：数据统计、数据分析.
3.常见误区：方差、标准差易混淆.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.已知一组数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为
1
2
3
4
5
6
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8
9
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16
√
2.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4
C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
√
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解析　每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.
3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为
√
解析　∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，
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4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
1
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16
班级
人数
平均数
方差
甲
20

2
乙
30

3
A.3 B.2 C.2.6 D.2.5
√
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5.(多选)下列说法正确的是
A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
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√
√
√
解析　平均数不大于最大值，不小于最小值，B项错误，其余全对.
6.样本101,98,102,100,99的标准差为_____.
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2
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7.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数

为5，则这组数据的平均数为____，方差为_____.
5
解析　∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，
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8.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ＝____，病人等待时间方差的估计值s2＝______.
9.5
28.5
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3
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9.甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74　85　86　90　93
乙：76　83　85　87　97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由.
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10.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.
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2
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综合运用
11.(多选)在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,
9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则
A.所剩数据的平均值是9.4 B.所剩数据的平均值是9.5
C.所剩数据的方差是0.016 D.所剩数据的方差是0.04
√
√
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√
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3
4
5
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解析　由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；
B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，
又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.
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√
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2<2.
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拓广探究
15.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝______.
100
要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，
故a＝b＝10，ab＝100.
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16.已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下表是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
1
2
3
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时刻(时)
4
8
12
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20
24
温度(℃)
甲地
－5
7
15
14
－4
－3
乙地
1
4
10
7
2
0
显然两地的平均温度相等，乙地温度的标准差较小，说明乙地温度波动较小.
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
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本课结束