10.1.3 古典概型 课件（共60张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第十章概率

第十章　§10.1　随机事件与概率
10.1.3　古典概型
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解古典概型的概念及特点.
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　事件的概率
对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 表示.
可能性大小
P(A)
知识点二　古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 模型，简称
.
有限个
相等
古典概率
古典概型
知识点三　古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A

包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ .
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.(　　)
2.一次试验中样本点总数只有有限个，则这个试验是古典概型.
(　　)
3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率.(　　)
4.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.(　　)
×
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
一、古典概型的判断
解　不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
解　不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.
解　是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
反思感悟
古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1　下列问题中是古典概型的是
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
√
解析　A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；
C项中样本点的个数是无限多个；
D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.
二、古典概型概率的计算
例2　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
解　由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
解　事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点.
(3)摸出2个黑球的概率.
反思感悟
利用古典概型公式计算概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)＝ .
跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花

不在同一花坛的概率是____.
解析　从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为
三、较复杂的古典概型的概率计算
例3　先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率；
解　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等.
记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).
(2)求掷出两个4点的概率；
解　记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).
(3)求点数之和能被3整除的概率.
解　记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).
反思感悟
在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.
跟踪训练3　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
解　由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解　从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，
3
随堂演练
PART THREE
1
2
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4
5
1.(多选)下列试验是古典概型的是
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取
一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
√
√
解析　A不是等可能事件，C不满足有限性.
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2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是
A.0.02 B.0.05
C.0.1 D.0.9
√
解析　由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式求得概率是 ＝0.1.故选C.
3.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是
√
解析　样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个.
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4.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为_____.
解析　将一枚骰子投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，共7个，
故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”的概率为 .
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5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是_____.
0.2
解析　两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝ ＝0.2.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)古典概型.
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.
3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.下列是古典概型的是
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数
作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，
求甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
√
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解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.
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2.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为
√
解析　样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为 .
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3.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
√
解析　试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为 .
4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
√
解析　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.
正确的开机密码只有1种，∴P＝ .
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5.(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有
A.“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率
B.只要连掷6次，一定会“出现1点”
C.投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就
会加大
D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19
√
√
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解析　掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是 ，故A正确；
“出现1点”是随机事件，故B错误；
概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；
连续掷3次，每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确.
6.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，

则2名都是女同学的概率为____.
解析　用A，B，C分别表示三名男同学，用a，b，c分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种.
其中2名都是女同学包括ab，ac，bc，共3种.
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7.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的

2倍的概率是____.
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解析　用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4个样本点，故所求的概率为
8.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是

_____.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是_____.
解析　从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等.
因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝ .
从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P＝ .
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9.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
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解　由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
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(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解　由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.
显然这三个样本点出现的可能性不相等，
所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
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10.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个样本点？
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解　分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).
因此，共有10个样本点.
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(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解　上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝ .
综合运用
11.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
√
解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个，其中勾股数有(3,4,5)，所以概率为 .
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12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,
5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为
√
解析　所有样本点的个数为36，且每个样本点出现的可能性相等.
由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，
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13.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是
A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C.每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的
概率是
D.每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
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解析　记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品.在A中，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝ ，A正确；
在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12.B错误；
在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为 ，C正确；
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在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确.
故选A，C，D.
14.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋

(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是_____.
解析　总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等.
因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.
即m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点.
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拓广探究
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15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为
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解析　记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，
而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等.
16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备
参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
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解　用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，即样本点的总数为16，由题意知，每个样本点出现的可能性相等.
记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解　记“xy≥8”为事件B，“3 则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
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本课结束