(共25张PPT)
LJ版九年级下
第五章
圆
5.10
圆锥的侧面积
4
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6
7
1
2
3
5
B
C
C
C
8
A
240°
C
D
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10
11
12
9
13
见习题
171π
cm2
C
见习题
14
见习题
见习题
1．【中考·宁波】如图，用一个半径为30
cm，面积为300π
cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为( )
A．5
cm
B．10
cm
C．20
cm
D．5π
cm
B
2．【中考·乌鲁木齐】圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A．24
B．12
C．6
D．3
C
【点拨】解决此类问题时要紧紧抓住圆锥和其侧面展开图两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长对应侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长对应侧面展开图的扇形弧长．对这两个关系的正确记忆是解题的关键．
3．【中考·东营】若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°
C
【答案】C
5．【中考·湖州】若一个圆锥的侧面展开图是半径为18
cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径是( )
A．6
cm
B．9
cm
C．12
cm
D．18
cm
C
D
7．【中考·聊城】已知圆锥形工件的底面直径是40
cm，母线长30
cm，其侧面展开图圆心角的度数为________．
240°
8．【中考·河池】如图，用一张半径为24
cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果圆锥形帽子的底面半径为10
cm，那么这张扇形纸板的面积是( )
A．240π
cm2
B．480π
cm2
C．1
200π
cm2
D．2
400π
cm2
A
171π
cm2
9．已知圆锥的底面半径为9
cm，母线长为10
cm，则圆锥的全面积是________．
C
错解：B
诊断：错解误认为以斜边为轴将直角三角形旋转一周所形成的几何体的表面积是两个共底面的圆锥的侧面积与一个底面积之和．
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
12．如图，有一直径是1
m的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形BAC.求：
(1)被剪掉部分(阴影部分)的面积；
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
13．【中考·襄阳】如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段FA绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BFA，
∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，
∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°，∵线段FA绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG，
∵AF＝CE，AF＝FG，∴EC＝FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.
14．工人师傅要在如图所示的边长为40
cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆锥模型．
(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画出示意图)；
【点拨】答案不唯一．
解：设计方案示意图如图所示：
(2)何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高？求出此时圆锥模型底面圆的半径．(共32张PPT)
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第五章
圆
5.8
正多边形和圆
第2课时
正多边形
4
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1
2
3
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B
B
C
C
8
C
B
D
A
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11
12
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13
A
A
B
B
14
A
16
17
18
15
见习题
见习题
见习题
见习题
1．正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为( )
A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补
D．不能确定
B
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
C
3．对于下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．你认为正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
4．下列说法中，不正确的是( )
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
5．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
C
6．【中考·贵阳】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A
B
C
A
B
【答案】B
【答案】A
13．【2020·株洲】据《汉书·律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为________尺．(结果用
最简根式表示)
A
错解：B
15．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．
分析：利用在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，证明点A，E，B，C，D是⊙O的五等分点．
规律方法：在同圆中，若相邻分点间的弧相等，则所对的弦(多边形的各边)相等，相邻两弦所成的角(多边形的各内角)相等，这样的多边形是正多边形．因此只需证明圆周被多边形的顶点n等分，就可得到正n边形，这是证明正多边形的常用方法．
16．【2020·通辽】如图，中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6
cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1
cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．
(1)求证：四边形PBQE为平行四边形．
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
17．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．
【点拨】本题考查了正多边形的相关计算，正确理解S△ABC＝S△AEC－S△BEC是解题的关键．
18．如图①②③④分别是⊙O的内接正三角形、正四边形、正五边形、正n边形，点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)图①中，∠APN的度数是________；
(2)图②中，∠APN的度数是________，图③中，∠APN的度数是
________；
60°
90°
108°
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写答案)．(共12张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(二)
专训2
切线的证明技巧
4
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3
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·武威】已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________________________________或________________________；
【点拨】答案不唯一．
∠BAE＝90°
∠CAE＝∠B
解：EF是⊙O的切线．
理由：如图，作直径AM，连接CM，
则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.
∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM.∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线．
(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？请说明理由．
2．【2020·邵阳】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.∴∠OAB＝∠C.
∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.
∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
3．【一题多解】如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB相切于E点．求证：AC与⊙D相切．
证明：(方法一)连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.
∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.
又∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．
∴AC与⊙D相切．
(方法二)连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．
∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠DAB＝∠DAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．
4．【中考·黔西南州】如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
证明：如图，过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.
又∵PO平分∠APB，∴OD＝OC.
∴D在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．(共27张PPT)
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第五章
圆
5.6
直线和圆的位置关系
第2课时
切线的性质
4
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1
2
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C
C
D
B
8
A
D
A
B
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12
9
13
见习题
见习题
C
B
见习题
14
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．圆的切线垂直于半径
B．垂直于切线的直线经过圆心
C．经过圆心且垂直于切线的直线经过切点
D．经过切点的直线经过圆心
C
【点拨】圆的切线垂直于过切点的半径，故A错误；经过切点且垂直于切线的直线经过圆心，B，D错误；只有C是正确的．
2．【中考·吉林】如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
D
3．【2020·通辽】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝( )
A．108°
B．72°
C．54°
D．36°
C
4．【中考·泰安】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
A
【点拨】连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB.∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°.∴∠APB＝360°－90°－90°－110°＝70°.
5．【中考·福建】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB的度数为( )
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
B
6．【2020·徐州】如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于( )
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
B
【答案】D
8．【2020·南京】如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)．则点D的坐标是( )
A．(9，2)
B．(9，3)
C．(10，2)
D．(10，3)
【点拨】设⊙P与x轴，y轴相切的切点分别是F，E点，连接PE，PF，PD，延长EP与CD交于点G，如图所示．则PE⊥y轴，PF⊥x轴．
∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形．∴PE∥OF.∵PE＝PF，
∴四边形PEOF为正方形．∴OE＝PF＝PE＝OF＝5.∵A(0，8)，
∴OA＝8.∴AE＝8－5＝3.∵四边形AOBC为矩形，∴BC＝OA
＝8，BC∥OA，AC∥OB.∴EG∥AC.∴四边形AEGC为平行四边形，
四边形OEGB为平行四边形．∴CG＝AE＝3，EG＝OB.∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD.∴CD＝2CG＝6.∴DB＝BC－CD＝8－6＝2.
∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4.∴OB＝EG＝5＋4＝9.∴D(9，2)．
【答案】A
9．【中考·宜昌】如图，圆形薄铁片与三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10
cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14
cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )
A．圆形铁片的半径是4
cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4π
cm
D．扇形AOB的面积是4π
cm2
C
10．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【答案】B
11．【中考·菏泽】如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.
(1)求证：∠ABG＝2∠C；
证明：连接OE.∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG.∵BF⊥GE，∴OE∥AB.∴∠A＝∠OEC.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C.∴∠A＝∠C.∵∠ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C.
12．【2020·安徽】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.
(1)求证：△CBA≌△DAB；
解：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE.
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°.∴∠E＋∠BAE＝90°.
由(1)知∠D＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°.
∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E.
∵∠DAF＝90°－∠AFD，∠BAF＝90°－∠E.
∴∠DAF＝∠BAF.∴AC平分∠DAB.
(2)若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.
13．【2020·武汉】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E.
(1)求证：AD平分∠BAE；
证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AE，∴OD∥AE.
∴∠1＝∠ODA.
∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA.
∴∠1＝∠2.∴AD平分∠BAE.
(2)若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
14．【2020·天津】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.
(1)如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和
∠CDB的大小；
解：∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°，
由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°.
(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
解：连接OD，如图所示．
∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°.
∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°.
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD.∴∠ODE＝90°.
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°.(共29张PPT)
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第五章
圆
5.6
直线和圆的位置关系
第4课时
三角形的内切圆
4
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C
B
B
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B
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C
70°
见习题
12
见习题
13
14
见习题
见习题
15
见习题
1．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
C
2．【中考·广州】如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
3．【中考·河北】如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
B
4．下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
B
5．【中考·眉山】如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为( )
A．114°
B．122°
C．123°
D．132°
C
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( )
A．1.5，2.5
B．2，5
C．1，2.5
D．2，2.5
C
D
【答案】B
【答案】C
10．【中考·湖州】如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．
70°
11．如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，和BC交于点E.求证：DI＝DB.
易错总结：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易混淆三角形的内心与外心的概念，造成证明错误．
12．如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O是△ABC的内心．
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.∵EF＝GH＝MN，
OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，
∴△OEF≌△OGH≌△OMN.∴OD＝OP＝OQ.∴点O是△ABC的内心．
(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆半径r.
14．【中考·黄石】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.
求证：(1)DB＝DE；
证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，
∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，
∠DBC＝∠CAE，∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.
(2)直线CF为⊙O的切线．
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．(共21张PPT)
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第五章
圆
5.6
直线和圆的位置关系
第3课时
切线的判定
4
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A
A
C
C
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见习题
见习题
D
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11
9
见习题
见习题
见习题
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
A
2．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的度数为( )
A．26°
B．64°
C．32°
D．90°
C
3．如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD，BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；
③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
其中，正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A
D
5．【中考·无锡】如图，在矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的⊙O与边AB，CD分别交于点E、点F，给出下列说法：
①AC与BD的交点是⊙O的圆心；②AF与DE的交点是⊙O的圆心；③BC与⊙O相切．
其中正确的说法的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C
6．如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：
甲 以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．
乙 过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．两人都正确
D．两人都错误
C
7．如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A.求证：PM为⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.
∵PN与⊙O相切于点A，∴OA⊥PN.
∵点O在∠MPN的平分线上，OB⊥PM，
∴OB＝OA.∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径．
∴PM为⊙O的切线．
易错总结：利用切线的判定定理需满足两个条件：(1)经过半径外端，(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”．
8．【2020·湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD；
解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD.
由Rt△ABD≌Rt△ACD知BD＝DC，
又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
9．【2020·营口】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，
OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图所示．
∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，∴OH＝OC.
即OH为⊙O的半径，∵OH⊥AB，∴AB为⊙O的切线．
10．【2020·青海】如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OD，如图所示．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∵AD∥OC，∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD.
∴∠COD＝∠COB.∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC(SAS)．∴∠ODC＝∠OBC.
∵BC是⊙O的切线且OB为⊙O的半径，∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.
又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
11．【中考·凉州】如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．(共26张PPT)
LJ版九年级下
第五章
圆
5.5
确定圆的条件
第2课时
圆内接四边形
4
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见习题
C
D
105°
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形
的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有一个内接四边形
B
2．下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
A
3．【中考·杭州】在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C等于( )
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
D
4．【2020·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
A
6．【2020·黄石】如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为( )
A．140°
B．70°
C．110°
D．80°
【答案】C
【答案】B
8．【中考·广东】如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为( )
A．130°
B．100°
C．65°
D．50°
C
9．【中考·锦州】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为( )
A．55°
B．50°
C．45°
D．40°
C
【答案】D
11．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC的延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝_________.
105°
12．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164°
D．32°或148°
D
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处在于画图时因考虑不全而漏解．
证明：四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.
∴AD＝CD.
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
解：∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径．
15．在△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.
(1)如图①，如果AB＝AC，求证：△ODE是等边三角形；
证明：∵∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.
∵四边形BDEC是圆内接四边形，
∴∠CED＝120°，∴∠OED＝∠CED－∠OEC＝∠CED－∠C＝120°－60°＝60°.
∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形．
解：成立．理由如下：
∵∠A＝60°，∴∠B＋∠C＝120°.∵四边形BDEC是圆内接四边形，∴∠CED＋∠B＝180°，即∠OED＋∠OEC＋∠B＝∠OED＋∠C＋∠B＝∠OED＋(∠B＋∠C)＝180°.∴∠OED＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－120°＝60°.∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形．
(2)如图②，如果AB≠AC，(1)中的结论还能否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
16．【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F.求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形；
证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B.
∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.
∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD.
∴BD∥CF.又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)AF＝EF.
解：如图，连接AE.
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B.∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF＋∠EAF＝180°.
∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°.
∴∠EAF＝∠B.∴∠AEF＝∠EAF.∴AF＝EF.(共30张PPT)
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第五章
圆
5.9
弧长及扇形的面积
4
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见习题
B
见习题
见习题
14
C
15
见习题
见习题
C
C
【答案】B
D
5．【中考·成都】如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
C
D
【答案】A
【答案】B
B
11．【2020·潍坊】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC.
(1)求证：CE是⊙O的切线．
证明：如图，连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD.
∵CE⊥AD，∴BF∥CE，
∵点C为劣弧BF的中点，∴OC⊥BF.
∵BF∥CE，∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．
解：如图，连接OF，与AC交于点M，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACO＝30°.∴∠BOC＝60°.
由(1)知CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.
又∵AD⊥CE，∴AD∥OC.∴∠FAM＝∠OCM＝30°.
∴∠FAB＝60°.
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
(1)求⊙O的半径OA的长；
(2)计算阴影部分的面积．
C
14．如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心、AB为半径画弧得到扇形BAD，分别以AB，AD为直径的两个半圆交于点E，求图中阴影部分的面积．
15．【中考·江西】图①是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图②是其俯视简化示意图，已知轨道AB＝120
cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60
cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．
(所有结果保留小数点后一位)
(1)若∠OBC＝50°，求AC的长；
解：如图①，过O作OD⊥AB，垂足为D.∵OC＝OB，∴BC＝2BD.
在Rt△OBD中，OB＝60
cm，∠OBD＝50°，
∴BD＝OB×cos
50°≈60×0.64＝38.4(cm)．
∴BC＝2BD＝76.8
cm.
∴AC＝AB－BC＝43.2
cm.
(2)当点C从点A向右运动60
cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
(参考数据：sin
50°≈0.77，cos
50°≈0.64，tan
50°≈1.19，π取3.14)(共10张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(一)
专训1
巧用圆的基本性质解圆的五种关系相关问题
4
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C
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
C
3．如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．
【点拨】本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．
5．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，
EC之间的数量关系，并说明理由．
解：BD＝DE＝EC.理由：
如图，连接OD，OE.
∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，
∴△BOD与△COE都是等边三角形．
∴∠BOD＝∠COE＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE.∴BD＝DE＝EC.
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C
D
B
A
B
B
C
C
B
O
B
A
E
B
E
O
B(共29张PPT)
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第五章
圆
5.4
圆周角和圆心角的关系
第2课时
圆周角和直径的关系
4
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见习题
见习题
B
60°或120°
见习题
14
见习题
D
【答案】B
【点拨】如图，连接BE.?∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC＋∠CED＝45°.
∴∠BOD＝2∠BED＝90°.
3．【2020·绍兴】如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为( )
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
D
C
【答案】A
【答案】2
7．下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
D
8．【中考·台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是( )
B
9．【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
B
60°或120°
易错总结：对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F.
?
(1)求证：OD⊥BE；
证明：如图，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°.
∵AB＝AC，∴DC＝DB.
∵OA＝OB，∴OD∥AC，
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE.
12．【2020·衢州】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
(1)求证：∠CAD＝∠CBA.
(2)求OE的长．
13．【中考·株洲】如图，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EFA＝60°.
∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°.
∴△DFB是等腰三角形．
(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．
解：存在．如图，作OB的垂直平分线MN，
交⊙C于点M，N，交OB于点D，
连接OM，BM，ON，BN.
由垂径定理可得MN必过点C，即MN是⊙C的直径．
∵MN垂直平分OB，∴△OBM，△OBN都是等腰三角形，∴点M，N均符合点P的要求．
∵MN是⊙C的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠BAO＝60°，∴△OBM是等边三角形．∴∠BOM＝60°.∴∠BON＝30°.
故存在符合条件的点P，∠BOP的度数为60°或30°.(共14张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(三)
专训4
用三角函数解与圆有关的问题
4
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D
A
D
9
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B
见习题
D
D
A
4．【中考·黔东南州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan
∠ADC＝________.
5．【中考·玉林】如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos
E＝________.
6．【中考·泰安】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos
C的值为________．
7．【中考·荆州】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan
∠FDE＝________.
【答案】B
9．【2020·北京】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
证明：连接OD，如图所示．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BD.
∵OF⊥AD，∴OF∥BD.∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°.∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°.∴∠CDA＝∠BDO.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.
∴∠ADC＝∠AOF.(共39张PPT)
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第五章
圆
5.7
切线长定理
4
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C
D
C
A
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C
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C
见习题
见习题
12
见习题
13
14
见习题
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线的切线长一定大于圆的半径
C
2．【中考·南充】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
【点拨】如图，连接OD.
∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°.
【答案】D
4．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
C
A
【答案】C
7．【2020·永州】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴点A，B在以OP为直径的圆上．
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定是△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
【答案】C
8．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若P为切点，测得PA＝5
cm，则铁环的半径是________．
9．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．矩形或菱形
C
10．【中考·丽水】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
证明：如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠ADE＝∠A.
(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
解：如图，连接CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线．∴ED＝EC.∴AE＝EC＝DE.
∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.
11．【中考·泸州】如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G.
?
(1)求证：DF∥AO；
证明：如图，连接OD.
∵AB与⊙O相切于点D，AC与⊙O相切于点C，∴AC＝AD.
∵OC＝OD，∴OA是线段CD的垂直平分线．
∴OA⊥CD.易知CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO.
(2)若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
12．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形．∴∠BAP＝60°.
∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
13．【中考·珠海】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)求∠B的度数．
解：如图，连接BD.∵△ABO≌△CBO，
∴∠ABO＝∠CBO.∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，∠CBD＝∠CDB.∴点O在BD上．
∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠BOC＝2∠ODC.∴∠BOC＝2∠OBC.
∵∠BOC＋∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝30°.∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.
14．【中考·威海】已知AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F.
(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；
证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.
∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.
∴△ODE是等边三角形．∴∠ODE＝∠OED＝60°.∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.∴△AOD和△BOE都是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.∴∠CDE＝∠OAD＝60°，
∠CED＝∠OBE＝60°.∴△CDE是等边三角形．
∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF.
∴∠EDF＝90°－60°＝30°.
∴∠DFE＝90°.∴DF⊥CE.∴CF＝EF.
(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．
解：相等．理由：当点E运动至与点B重合时，直线BC与⊙O只有一个公共点，∴BC是⊙O的切线，
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF＝DF.∴∠BDF＝∠DBF.
∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∵∠FDC＋∠BDF＝90°，∠C＋∠DBF＝90°，
∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.
15．(1)如图①，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系；
解：由切线长定理，得AE＝AH，
BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH＝BC＋AD，即AB＋CD＝BC＋AD.
(2)如图②，四边形ABCD的三边切⊙O于点F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M.
由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.
∵AB＜AM＋BM，∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，即AB＋CD＜BC＋AD.
16．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8.
(1)判断△OBC的形状，并说明理由；
(2)求BC的长；
(3)求⊙O的半径OF的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.
(1)求证：OD∥BE；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．(共21张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(三)
专训6
与圆有关的存在性问题
4
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见习题
见习题
见习题
1．已知，如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为(1，0)，直线l过点A(－1，0)，与⊙C相切于点D，与y轴交于点B.
(1)求直线l的表达式；
(2)在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)点P在运动时，线段AB的长度也
在发生变化，请写出线段AB长度
的最小值，
并说明理由；
解：线段AB长度的最小值为4.
理由如下：
连接OP.∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB.取AB的中点C，连接OC，则AB＝2OC，当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4.
(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知在等腰三角形ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O(只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法)；
解：如图，作出圆心O，以点O为圆
心，OA长为半径作圆．
(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.
∴AD是⊙O的直径．如图，连接OC，
∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝120°.
又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°.
∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．
4．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的表达式为y＝kx＋3.
(1)设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；
解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD.又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形．
∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB＝4.
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为(4，p)．
又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k＋3.
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上(点B除外)的什么位置时，都有△AMN∽△ABP，请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
证明：如图，连接DN.
∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°.
∵∠ADN＝90°－∠DAN，∠ABD
＝90°－∠DAN，
∴∠ADN＝∠ABD.
又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN.
∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP.(共20张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(三)
专训2
圆中常用的作辅助线的八种方法
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C
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1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4
cm，求该半圆的半径．
【点拨】在有关圆的计算题中，求角
度或边长时，常连接半径构造等腰三角
形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．
【点拨】本题通过作辅助线构造圆周角，
然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两三角形全等创造了条件．
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.
3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.
(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
【点拨】本题作出直径DE，利用“直径所对的
圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．
(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作⊙O的直径CE，连接AE.∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°.
∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.
∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.
又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.
∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.
又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．
C
6．如图，⊙O的直径为10
cm，弦AB＝8
cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
7．【2020·深圳】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AE＝AB；
证明：连接AC，OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵CD⊥AD，∴OC∥AD.
∴∠OCB＝∠E.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B.
∴∠B＝∠E.∴AE＝AB.
(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OB，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，
即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
解：如图，连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂
直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线．
又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.
由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.
∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.
9．【2020·郴州】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，
即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥DC.
∴直线DC是⊙O的切线．
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．(共15张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(三)
专训3
圆与相似三角形的综合
4
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D
C
B
2
4
①④
7
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见习题
D
B
2．【中考·南通】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为( )
A．2.5
B．2.8
C．3
D．3.2
C
4．【中考·呼和浩特】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
4
2
5．【中考·苏州】如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．
6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是________．
①④
7．【中考·聊城】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.
(1)求证：EC＝ED；
证明：连接OC.
∵CE与⊙O相切，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CE.∴∠OCA＋∠ACE＝90°.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠ACE＋∠A＝90°.
∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°.
∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°.
∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.
(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
8．【中考·襄阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2.
(1)求证：AC平分∠BAD；
证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.
(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(共26张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(三)
专训1
圆中常见的计算题型
4
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1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
2
3．【2020·荆门】如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE.
(1)求证：AB＝BM；
证明：∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴AP⊥AC.∴∠CAB＋∠PAB＝90°.
∴∠AMD＋∠AEM＝90°.∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠EAB.∴∠AMD＝∠PAB.∴AB＝BM.
解：连接BC，如图所示．
∵AC为直径，∴∠ABC＝90°.∴∠C＋∠CAB＝90°.
∵∠CAB＋∠PAB＝90°，∴∠C＝∠PAB.
∵∠AMD＝∠PAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠C＝∠D.
证明：如图，连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.
∴∠CDO＝90°.∵AD∥OC，
5．【中考·威海】如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOC＝∠BOC.
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，
那么图中阴影部分的面积等于多少？
【点拨】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)求线段DE的长．
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30
km/h，受影响区域的半径为200
km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320
km处．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
【点拨】在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，
你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
【点拨】本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决实际问题．
解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ
与圆的另一交点为C，连接PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．
∴选择射门方式二较好．(共10张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(二)
专训1
有关圆的位置关系的四种判断方法
4
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B
见习题
C
见习题
B
见习题
B
C
3．⊙O的半径r＝5
cm，圆心O到直线l的距离OD＝
3
cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4
cm，QD＝5
cm，RD＝3
cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
B
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4
cm，以点C为圆心，4
cm为半径画⊙C，试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的取值范围．
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LL
LI⊥
LlLl+
ITI-I
L
D
pQ
D
B
B
5D
3(共24张PPT)
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第五章
圆
5.2
圆的对称性
第1课时
圆的对称性
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A
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A
A
A
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C
见习题
D
D
C
14
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见习题
见习题
16
见习题
1．【中考·内江】平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形中，只是轴对称图形的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
2．【2020·山西】自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
D
3．下列说法中，正确的是( )
①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦．
A．②③
B．③⑤
C．④⑤
D．②⑤
D
4．【2020·常州】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
B
D
7．下列说法中，错误的是( )
A．在同圆或等圆中等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中等弧所对的弦相等
C．在同圆或等圆中圆心角相等，所对的弦相等
D．在同圆或等圆中弦相等，所对的圆心角相等
A
A
D
D
11．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．135°
C
【点拨】如图，连接OC，OD.∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB＋∠COD＋∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°.
又OB＝OC＝OD＝OA，∴△BOC，△COD，△DOA均为等边三角形，∠BCD＝2×60°＝120°.故选C.
12．如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OM D．无法确定
C
错解：A或B
诊断：对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”这一性质中反映的各组量之间的关系判断不准，从而导致错误．
(1)求证：DE＝BF；
(2)若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
16．如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB＝AC.
(1)求证：直径AD平分∠BAC；(共22张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(三)
专训5
分类讨论思想在圆中的应用类型
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C
40°或140°
见习题
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见习题
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见习题
见习题
见习题
10
见习题
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40°或140°
相切或相交
见习题
C
2．已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与点A，B重合)．若∠APB＝50°，求∠ACB的度数．
3．已知在圆内接三角形ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为6
cm，圆的半径为10
cm，求腰AB的长．
4．⊙O的半径为5
cm，弦AB∥CD，且AB＝8
cm，CD＝6
cm，求AB与CD之间的距离．
②弦AB和CD的位置如图②，
过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于F，连接OA，OC.
同理可得OE＝3
cm，OF＝4
cm，
∴EF＝OE＋OF＝7
cm.
综上所述，AB与CD之间的距离为1
cm或7
cm.
6．已知⊙O的直径AB＝10
cm，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA＝3：5，则弦AC的长为多少？
7．已知A，B，C三点在⊙O上，OA⊥BC于点D，∠BOD＝40°，则∠BAC的度数为____________．
40°或140°
9．已知A，B是⊙O上的两点，如果∠AOB＝60°，C是⊙O上不与点A，B重合的任意一点，求∠ACB的度数．
10．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为( )
A．30°或60°
B．60°
C．150°
D．30°或150°
D
11．若圆的一条弦把圆分成度数比为2：7的两条弧，则弦所对的圆周角等于_____________．
40°或140°
12．已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP＝3，那么直线l与⊙O的位置关系是____________．
相切或相交
13．已知OA，OB是⊙O的半径且互相垂直，延长OB到点C，使BC＝OB，CD是⊙O的切线，D为切点，求∠OAD的度数．(共25张PPT)
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第五章
圆
5.1
圆
第1课时
圆的认识
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B
B
A
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A
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B
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见习题
见习题
A
B
30°或110°
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15
见习题
见习题
1．下列关于圆的叙述中正确的是( )
A．圆是由圆心唯一确定的
B．圆是一条封闭的曲线
C．平面上到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆
D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
【答案】B
【点拨】圆是由圆心、半径确定的，故A错误；平面上到定点的距离等于定长的所有点组成圆，故C错误；圆上任意一点到圆心的距离都相等，故D错误；只有B正确．
2．平面内已知点P，以P为圆心，3
cm为半径作圆，这样的圆可以作( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
A
【点拨】平面内已知圆心与半径，可以确定唯一圆，故选A.
3．平面内所有到定点O的距离小于或等于r的点P组成的图形的面积( )
A．小于πr2 B．等于πr2 C．大于πr2 D．等于4πr2
B
B
5．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿线段OA→弧AB→线段BO的路径匀速运动一周．设线段OP的长为s，运动时间为t，则下列图象能大致刻画s与t之间的关系的是( )
C
6．【2020·黔东南州】如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE的长为________．
7．若⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离为4
cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．不能确定
C
8．若⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或在⊙O外
A
9．【中考·宜昌】在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
A
B
11．【中考·绍兴】等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为_____________.
30°或110°
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC.将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与
边AB的中点M重合．
(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；
解：点C在以AB为直径的圆上．
理由：如图，连接MC，MD.由折叠的性质知∠DAC＝∠BAC，AD＝AM.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.∵AD＝AM，∴CD＝AM，∴四边形AMCD是平行四边形，
∴MC＝AD.∵AM＝BM，∴CD＝BM.∴四边形BCDM是平行四边形，∴MD＝BC.∵AD＝BC，∴MC＝MD＝MA＝MB，∴点C在以AB为直径的圆上．
(2)当AB＝4时，求此梯形的面积．
13．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是正方形．
(1)求证：OC＝OF；
证明：如图，连接OD，OE，则OD＝OE.
又∠OCD＝∠OFE＝90°，DC＝EF，∴Rt△ODC≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF.
解：如图，连接OH，∵CF＝EF＝2，
OC＝OF，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝OF2＋EF2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，∵OG2＋GH2＝OH2，∴(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)．∴S正方形FGHK＝12＝1.
(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，点H在半圆上，点K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．
14．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3
cm，AD＝4
cm，
(1)若以点A为圆心，4
cm为半径作⊙A，则点B，C，D和⊙A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在⊙A内且至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是多少？
解：由题可知点B一定在⊙A内，点C一定在⊙A外，
∴AB＜r＜AC，即3
cm＜r＜5
cm.
∴满足条件的⊙A的半径r的取值范
围是3
cm＜r＜5
cm.
15．如图，在城市A的正北方向50
km的B处有一座无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100
km，AC是一条从A城直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60
km/h.
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5
h的时候，接收信号最强．信号最强时班车到发射塔的
距离是多少千米？(离发射塔越近，
信号越强)
解：设班车行驶了0.5
h的时候到达点M，连接BM.由题意可知此时接收信号最强，BM⊥AC.而AM＝0.5×60＝30(km)，AB＝50
km，所以BM＝40
km.
即信号最强时班车到发射塔的距离是40
km.
(2)班车从A城到C城共行驶2
h，请你判断班车到C城后还能接收到信号吗？请说明理由．(共13张PPT)
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第五章
圆
5.2
圆的对称性
第2课时
圆心角的度数与它所对弧的度数关系
4
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A
D
C
C
8
见习题
A
B
56°
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9
见习题
1．下列说法正确的有( )
①相等圆心角所对的弧相等
②如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等
③圆心角等于它所对的弧
④弧等于它所对的圆心角
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A
C
【点拨】连接OE.∵AE∥CD，∴∠A＝
∠AOC＝50°.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠A＝50°，
∴∠AOE＝80°，即弧AE的度数为80°.故选D.
解题策略：解答本题的关键在于作出辅助线，联系条件和结论，从而达到解题的目的．
D
B
5．已知弦AB把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为( )
A．30°B．30°或150°
C．60°D．60°或300°
C
56°
A
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B
D
E
C
D
B
B
O
B
A
F
B
E
C
A
MO
N(共8张PPT)
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第五章
圆
5.1
圆
第2课时
圆的半径的应用
4
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，点A，B在⊙O上，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你判断线段OE与OF的数量关系，并说明理由．
解：OE＝OF.
理由如下：连接OA，OB，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，即∠OAE＝∠OBF.
又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．
∴OE＝OF.
2．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC.求：
(1)∠AOB的度数；
解：∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB.∴∠AOB＝∠A＝20°.
(2)∠EOD的度数．
解：∵∠OBE＝∠A＋∠AOB，
∴∠OBE＝2∠A.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E.
∴∠E＝2∠A.
∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
3．如图，AB，CD为⊙O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．
4．如图，海军某部队在灯塔A周围进行爆破作业，灯塔A的周围3
km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A
2
km远的B处，为了尽快驶离危险区域，
该渔船应按哪条射线方向航行？并说明理由．
【点拨】本题运用了建模思想，将实际问题转化为数学问题．其中圆内一点到圆上的最小距离为以圆心为端点，过该点的射线与圆相交的点与该点之间的线段长度．
解：该渔船应按射线AB方向驶离危险区域．
理由：如图，连接AB并延长交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D(D异于C，且异于C关于A的对称点)，连接BD，AD.在△ABD中，AB＋BD＞AD.∵AD＝AC
＝AB＋BC，∴AB＋BD＞AB＋BC.∴BD＞BC.
当点D为C关于A的对称点时，BD＝BA＋AD＝BA＋AC＞BC，∴BD＞BC.∴按射线AB方向行驶路程最短，即能最快驶离危险区域．(共11张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(一)
专训2
垂径定理的四种应用技巧
4
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，
且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
【点拨】本题运用了转化思想，将分散
的线段转化为一条线段，然后运用勾股定
理求出线段的长度．
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2
m，拱顶高出水面2.4
m，现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
解：如图，AB为水面位置，若MN为货船顶部位置，则MN∥AB.
设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，ON，作OC⊥AB于点D，交于点C，交MN于点H，则OC⊥MN，
由垂径定理可知，D为AB的中点，H为MN的中点．
所以AD＝3.6
m，NH＝1.5
m.(共29张PPT)
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第五章
圆
5.6
直线和圆的位置关系
第1课时
直线和圆的位置关系
4
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C
B
A
A
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10
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见习题
见习题
C
见习题
见习题
14
见习题
15
见习题
1．若直线m与⊙O的公共点个数不小于1，则直线m与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离
C
2．下列命题：①如果一条直线与圆没有公共点，那么这条直线与圆相离；②如果一条射线与圆没有公共点，那么这条射线所在的直线与圆相离；③如果一条线段与圆没有公共点，那么这条线段所在的直线与圆相离．其中为真命题的有( )
A．①
B．②
C．③
D．①②③
A
【答案】B
4．已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相切或相交
D
【点拨】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于或等于3.此时圆心到直线的距离与半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D.
5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
A
C
【点拨】当直线y＝－x＋b与圆相切，且经过第一、二、四象限时，如图所示．在y＝－x＋b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B(0，b)；当y＝0时，x＝b，则与x轴的交点是A(b，0)，则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
【答案】D
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
A．1
B．1或5
C．3
D．5
B
【点拨】如图，设半圆O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC，垂足为P1，交半圆O于点Q1，则P1Q1的长是PQ长的最小值．易得OE＝OQ1＝3，OP1＝4.
所以P1Q1＝OP1－OQ1＝4－3＝1.
当点Q与点Q2重合，点P与点B重合时，QP的长最大．易求得OB＝5，所以BQ2＝3＋5＝8，即PQ的长的最大值为8，所以PQ长的最大值与最小值的和为8＋1＝9.
【答案】C
11．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为___________________________________．
(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
12．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，⊙P为所求作的圆．
(2)请你判断BC与(1)中⊙P的位置关系，并说明理由．
?
解：BC与⊙P相切．理由：
如图，过P作PD⊥BC，交BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，
PD⊥CB，∴PD＝PA.
?∴点P到BC的距离等于⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
13．【中考·枣庄】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切．
理由：如图，连接OD.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.
又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.
∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°.?
∴圆心O到BC的距离等于OD的长度．
又∵OD为半径，∴BC与⊙O相切．
解：设OF＝OD＝x，
则OB＝OF＋BF＝x＋2，
根据勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，
即(x＋2)2＝x2＋12.
解得x＝2.即OD＝OF＝2.
∴OB＝2＋2＝4.
14．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：过O点作OF⊥AM于F，
当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，
此时OA＝4，故x＝AD＝2.
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
15．【中考·扬州】如图，已知?OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
解：结论：DE与半圆O相切．
理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD∥OC，∴∠D＝∠OCE＝90°.
∴CO⊥DE.
又∵CO为半径，∴DE与半圆O相切．
(2)①求证：CF＝OC；
证明：如图，连接OB.
∵OA＝OC，∴四边形OABC是菱形．
∴OA＝OB＝AB.
∴△AOB为等边三角形．∴∠BAO＝60°.
∵AD∥OC，∴∠COF＝∠BAO＝60°.
∵OC＝OF，∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC.
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．(共24张PPT)
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第五章
圆
5.3
垂径定理
4
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B
B
C
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见习题
见习题
C
C
见习题
14
见习题
B
2．【2020·滨州】在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
C
3．【中考·上海】如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为D.要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
B
【答案】C
D
6．【2020·宁夏】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中(如图)，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺(1尺＝10寸)．这根圆柱形
木材的直径是________寸．
【答案】26
A
D
9．【中考·金华】如图，在半径为13
cm的圆形铁片上切下一块高为8
cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10
cm
B．16
cm
C．24
cm
D．26
cm
C
C
11．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
12．如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO＝8，BC＝12.
(1)求线段OD的长；
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.
(1)当AB＝10，CD＝6时，求OE的长；
(2)∠OCD的平分线交⊙O于点P，连接OP.求证：OP∥CD.
证明：∵CP平分∠OCD，
∴∠OCP＝∠DCP.
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC.
∴∠DCP＝∠OPC.∴OP∥CD.
14．本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120
m，A到BC的距离为4
m，如图所示．
(1)请你帮他们求出该湖的半径；
(2)如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？
解:这样的P点有2处，过点B或点C作BC的垂线交圆于一点，此点即为P点．(共26张PPT)
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第五章
圆
5.4
圆周角和圆心角的关系
第1课时
圆周角和圆心角、弧的关系
4
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1
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3
5
C
C
4；∠C与∠D；∠A与∠B
A
8
D
B
D
A
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13
见习题
见习题
B
B
C
14
见习题
15
见习题
1．【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
C
4
∠C与∠D
∠A与∠B
3．【2020·宜昌有改动】E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，下列图形中P点可能是圆心的是( )
C
4．【2020·杭州】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则( )
A．3α＋β＝180°
B．2α＋β＝180°
C．3α－β＝90°
D．2α－β＝90°
【答案】D
【点拨】∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°.∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α.
∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α.
∵∠AOD＋∠COD＝90°，
∴β＋180°－2α＝90°，∴2α－β＝90°.
A
【点拨】连接OC，根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE的长度，由圆周角定理知∠COB＝2∠CDB＝60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求出OE的长度．
6．【中考·云南】如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交
于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC等于( )
A．30°
B．29°
C．28°
D．20°
A
7．【中考·泰安】如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5°
B．15°
C．20°
D．22.5°
B
D
8．【2020·荆门】如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为( )
A．14°
B．28°
C．42°
D．56°
9．【中考·河池】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
B
10．【中考·黄冈】如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．70°
B
C
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
解：如图即为补全的图形．
∠BPC
圆周角的度数等于它所对
弧上的圆心角度数的一半
13．【中考·自贡】如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC.
(2)AE＝CE.
14．【中考·株洲】如图，AB为⊙O的一条弦，点C是劣弧AB的中点，E是优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.
(1)求证：CE∥BF；
解:①当∠PAC＝120°时，四边形PACB是梯形．
∵PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°，
∴∠APC＝∠BPC＝30°，∴∠APB＝60°.
当AC∥PB且AP与BC不平行时，四边形PACB是梯形．
∴∠PAC＋∠APB＝180°，∴∠PAC＝120°.
(2)当∠PAC等于多少度时，四边形PACB是梯形？(共11张PPT)
LJ版九年级下
第五章
圆
5.8
正多边形和圆
第1课时
圆内接正多边形
4
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1．给出下列四个命题：
①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
其中正确命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
D
3．【中考·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
A
4．在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形．(画图工具不限，但要保留画图痕迹)
解：如图所示．(答案不唯一)
5．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个作圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求作的正三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的作法，作出△ABC，然后给出△ABC是正三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：两位同学的作法正确．所作的正三角形ABC如图所示．
证明：如图，连接BO，CO，BD.设BC与AD交于点E，
∵BC垂直平分OD，∴BO＝BD.
∴BO＝BD＝OD.∴∠BOE＝60°.
由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°.∴∠BOC＝120°.∵AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，即△ABC为正三角形．
6．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图所示．
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形
AEFCGH；
解：如图，作法：
①作直径AC；②作直径BD⊥AC；
③顺次连接A，B，C，D，A，
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④分别以A，C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E，H，F，G；
⑤顺次连接A，E，F，C，G，H，A，
六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．(共39张PPT)
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第五章
圆
5.5
确定圆的条件
第1课时
确定圆的条件
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1．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过A，B，C，D四个点中的任意三个点，能作圆的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
【点拨】由不在同一条直线上的三点确定一个圆可知，过A，B，D三点、B，C，D三点、A，C，D三点可分别确定一个圆，故选C.
2．已知AB＝4
cm，则过点A，B且半径为3
cm的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
【点拨】过点A，B且半径为3
cm的圆的圆心应当在线段AB的垂直平分线上，且到A，B两点的距离为3
cm，这样的圆心有2个，故选B.
3．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
B
4．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段的长为半径能确定一个圆
C．以已知线段的长为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
C
5．【中考·宁夏】如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
【点拨】如图，连接AB，分别作AB，AC的中垂
线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径
作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D，E，F，G，H
这5个格点，故答案为5.
5
7．【2020·河北】有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC.如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【点拨】如图所示，∠A还应有另一个不同的值，∠A′与∠A互补，
故∠A′＝180°－65°＝115°.应选A.
【答案】A
【答案】B
9．【2020·陕西】如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为( )
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
【答案】B
【答案】D
【答案】C
12．【中考·兰州】如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
?
解：如图，⊙P为所求作的圆．
13．【中考·临沂】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径．
14．【2020·凉山州】如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.
15．【中考·台州】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°.∴∠AEP＝∠ABP＝45°.∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°.
∴AP＝AE.∴△APE是等腰直角三角形．
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
17．已知，如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并说明理由．
解：四边形BDCE是菱形．理由如下：
同(1)可证△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.
∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.
又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD，
∴四边形BDCE是菱形．
18．已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆．
(1)如图①，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，
求证：AP＋BP＝PC；
(2)如图②，若点P是弧AB上任意一点，连接AP，BP，CP，那么结论AP＋BP＝PC还成立吗？请说明理由．
解：成立．
理由：如图，在PC上取一点D，使PD＝PA，连接AD.∵∠APD＝∠ABC＝60°，
∴△APD为等边三角形．∴AD＝AP，∠PAD＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AB＝AC，∴△APB≌△ADC，
∴PB＝DC，∴AP＋BP＝PD＋DC＝PC.
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于点D，HF和BC的延长线交于点E.
(1)若HF⊥AB，求证：∠OAD＝∠E；
(2)若点A是下半圆上一动点，当点A运动到什
么位置时，△CDE的外心在△CDE的一边上？
请说明理由．
解题归纳：解题关键是注意数形结合思想的应用，准确作出辅助线，利用圆心角转化角的关系．
(1)若HF⊥AB，求证：∠OAD＝∠E；
(2)若点A是下半圆上一动点，当点A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE的一边上？请说明理由．
解：当AB是⊙O的直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．
理由：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠DCE＝90°，即△CDE是直角三角形，
∴△CDE的外心在△CDE的边DE上．
②当A运动到使AC⊥HF时，△CDE是直角三角形．此时△CDE的外心在△CDE的边CE上．
综上所述，当AB是⊙O的直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．(共15张PPT)
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第五章
圆
阶段方法技巧训练(二)
专训3
切线的判定和性质的四种应用类型
4
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1．【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.∴OD⊥BC.
又∵OD为半径，∴BC与⊙O相切．
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
2．【中考·镇江】如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B.
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
证明：连接OB，如图所示．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD.
∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°.∴∠D＋∠OCD＝90°.
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D.∴∠OBD＋∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°.∴AB⊥OB.
∵点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．
(2)若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝________．
3．【中考·凉山州】如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
证明：如图，连接DO.∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB.
在△COD和△COB中，
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC，
∴△COD≌△COB(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO.
∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°.
∴∠CDO＝90°.∴CD是⊙O的切线．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，
OE＝r＋1，∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO＝90°.∴ED2＋OD2＝OE2.
∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4.
∴⊙O的半径为4.
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
(2)连接CD，若OA＝AE＝4，求四边形ACDE的面积．(共38张PPT)
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第五章
圆
全章热门考点整合应用
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1．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
D
2．【2020·广州】往直径为52
cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48
cm，则水的最大深度为( )
A．8
cm
B．10
cm
C．16
cm
D．20
cm
【答案】C
4．【2020·淮安】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是( )
A．54°
B．27°
C．36°
D．108°
C
6．【2020·丹东】如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB.
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC所在直线与⊙O相切．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.
又∵∠ABF＝∠ABD＋∠DBF，∠AFB＝∠CBF＋∠C，
∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBF＋∠C.∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF.∴∠ABD＝∠C.∵∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线．
7．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB，OC于M，N.求证：
(1)MN∥BC；
证明：如图，连接OA，OD，则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝360°÷10＝36°，则∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝108°.
又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝36°.
∴∠ANO＝∠COD＋∠ODA＝36°＋36°＝72°.
∵∠BOC＝36°，OB＝OC，∴∠BCO＝∠OBC＝72°.
∴∠ANO＝∠BCO.∴MN∥BC.
(2)MN＋BC＝OB.
8．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
解：在⊙O中，∠A＝∠D.又∵AE＝DE，
∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC.∴EB＝EC.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC为等边三角形．∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5
B．10
C．7.5
D．4
A
【答案】C
11．【2020·烟台】如图，在?ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.
(1)求证：EC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＝30°.
∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE.
∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°.
∴∠OBC＝30°＋60°＝90°.
∴OB⊥EC.∴EC是⊙O的切线．
【答案】B
【答案】B
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
证明：如图，连接AE，
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°.
∴AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD，由(1)知BE＝CE，∴BC＝2BE＝6，设AC＝x，则AD＝x－2.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.
在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，
∴(x－2)2＋32＝x2，解得x＝9，即AC的长为9.
15．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C.
(1)求证：AE平分∠BAC；
证明：如图，连接OE，则OA＝OE.
∴∠OEA＝∠OAE.∵PQ切⊙O于E，∴OE⊥PQ.
又∵AC⊥PQ，∴OE∥AC.
∴∠OEA＝∠EAC.∴∠OAE＝∠EAC.
∴AE平分∠BAC.
15°或75°
17．如图，正方形ABCD的边长是4，以BC为直径作⊙O，从点A引圆的切线，切点为F，AF的延长线交DC于点E.求：
(1)△ADE的面积；
(2)BF的长．
