安徽省六校教育研究会2012届高三测试（数学文）

安徽省六校教育研究会2012届高三测试
数学试题(文)
注意事项:
本卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上答题。
1、已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果复数是实数，（i为虚数单位，a∈R），则实数a的值是（ ）
A、 B、2 C、 D、4
3、已知则“”是“”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、平面//平面，直线//，直线垂直在内的射影，那么下列位置关系一定正确的为（ ）
A、∥ B、 C、 D、
5、若函数对任意的都有，则等于 （ ）
A、 B、0
C、3 D、
6、阅读如图一所示的程序框图，输出的结果的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
7、某作文竞赛按成绩设一等奖、二等奖和鼓励奖，（凡参加者均有一奖），甲乙两人都参加了作文竞赛，则两人一人得一等奖另一人得二等奖的概率为 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )
A、 B、 C、 D、
9、两个圆与
恰有三条公切线，则的最小值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
10、设曲线y＝ ()在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，则数列{}前10项和等于 ( 　 )
A、 B、 C、 D、
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡相应位置上。
11、已知实数满足，则的最大值是 ；
12、 若函数，且则__________
13、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱
柱的三视图如右图二所示，则这个棱柱的表面积
为 。
14、若等差数列的首项为,公差为，
前n项的和为，则数列为等差数列，
且通项为。类似地，请完成
下列命题：若各项均为正数的等比数列
的首项为，公比为，前项的积为， 图二
则数列 。
15、已知，定义，下列等式中
①；②；③；
④
一定成立的是 。（填上序号即可）
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分12分）已知，其中向量＝，＝（x∈R）
（Ⅰ）求f (x)的周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，，＝，，求边长b和c的值（b>c）。
17、（本小题满分12分）数列的前项和记为,,点在直线上,．
(Ⅰ)当实数为何值时,数列是等比数列？
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设,，是数列的前项和,求。
18、（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110）
频数 3 4 8 15
分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150]
频数 15 x 3 2
甲校：
分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110）
频数 1 2 8 9
分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150]
频数 10 10 y 3
乙校：
（Ⅰ）计算x，y的值。
甲校 乙校 总计
优秀
非优秀
总计
（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率。
（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。
参考数据与公式：
由列联表中数据计算
临界值表
P（K≥k0） 0.10 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
19、（本小题满分12分）如图三，已知直三棱柱中，;分别是棱的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面。
图三
20、（本小题满分13分）分别以双曲线的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P的坐标为，在y轴上是否存在定点M，过点M且斜率为k的动直线 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。
21、（本小题满分14分）已知函数 ，．
(Ⅰ）当 时，求函数 的最小值；
(Ⅱ）当 时，讨论函数 的单调性；
(Ⅲ）是否存在实数，对任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。
安徽省六校教育研究会2012届高三测试
数学试题(文)答案
选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、B； 2、D； 3、C； 4、D； 5、A； 6、A； 7、C； 8、C； 9、C； 10、A。
填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、5 ； 12、 ； 13、。
14、数列为等比数列，且通项为； 15、①、④
三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
16、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知：
f(x) =
∴f(x)的最小正周期 = .................... .4分
∴f(x)的单调递减区间 [ ......................6分
（2）∵f (A)＝=,∴,..................8分
∴....................9分
∵ 即bc=6,由余弦定理得 ，7=， , ....................11分
又b>c， ∴b=3, c=2 ....................12分
17、（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)∵点在直线上
∴ ....................2分
， ∴ ....................4分
∴当t=1时，数列是等比数列。 ....................6分
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下, ..................8分， ....................9分
， ....................10分
..................12分
18、（本小题满分12分）解:（Ⅰ）甲校抽取110×60人，
甲校 乙校 总计
优秀 15 20 35
非优秀 45 30 75
总计 60 50 110
乙校抽取110×=50人，故x＝10，
y＝7， ………4分
（Ⅱ）估计甲校优秀率为，
乙校优秀率为＝40%. ………8分
(Ⅲ) k2＝≈2.83>2.706
又因为 1－0.10＝0.9，
故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。 ………………12分
19、（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取中点S连PS则PS∥, QA∥∴ PS∥QA,
且PS==QA∴PSAQ为
平行四边形， ....................3分
∴PQ∥AS,又PQ ,AS,
∴PQ∥ ....................6分
（Ⅱ）∵,是棱的中点 ,
∴AM⊥BC
又三棱柱为直三棱柱，∴⊥,
⊥AM
∴AM⊥ , AM⊥MN..................9分
在直角CMN和中，
, 直角CMN∽直角
∴
∴
∴ ....................12分
20、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（），顶点为（），所以所求椭圆方程为 ....................5分
（Ⅱ）假设存在,过点M且斜率为k的动直线 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P ,AB方程为y=kx+,代入方程，消去y得， ....................7分
设A（）,B()则
=，= ....................9分
=+3（）+9
=+（k）(k))
=()+( )+
=()+ k(a-3) +
由，得17，即（17+24）(3)=0..............12分
=3(舍)，=故M点的坐标存在，M的坐标为（0，）................13分
21、（本小题满分14分）
解；（Ⅰ）显然函数的定义域为， ....................1分
当． ....................2分
∴ 当，．
∴在时取得最小值，其最小值为 ． ............ 4分
（Ⅱ）∵， ....5分
∴（1）当时，若为增函数；
为减函数；为增函数．
(2)当时,时,为增函数;
（3）当时，为增函数；
为减函数；
为增函数． ............ 9分
（Ⅲ）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：
令，只要 在为增函数
又函数．
考查函数 ............10分
要使在恒成立，只要，..........12分
故存在实数时，对任意的 ，且，有,恒成立， ............14分
开始
结束
是
否
输出
图一
侧视图
俯视图
主视图
3
A
P、、、、
C1
N
M
Q
C
B
B1
A1
S
B
C
A
Q
N
M M
P