安徽省六校教育研究会2012届高三测试（数学理）

安徽省六校教育研究会2012届高三联考
数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
（1）设为虚数单位，复数的虚部为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）已知集合，集合，全集，则集合 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）一个空间几何体的三视图如图（1）所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为 （ ）
（A），
（B），
（C），
（D），
（4）函数是 （ ）
（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数
（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数
（5）数列满足，，，则的大小关系为 （ ）
（A） （B） （C） （D）大小关系不确定
（6）连续投掷两次骰子得到的点数分别为，向量与向量的夹角记为，则的概率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）直线和把圆分成四个部分，则与满足的关系为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知在极坐标系下两圆的极坐标方程分别为，则此两圆的圆心距为 （ ）
（A） （B） （C） （D）1
（9）下列四个命题中不正确的是 （ ）
（A）若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分
（B）设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分
（C）已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆
（D）已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
（10）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 （ ）
①； ②；
③； ④
（A）①②③④ （B）①②④ （C）①③④ （D）①③
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
（11）在同一平面直角坐标系中，的图象与的图象关于直线对称，而的图象与的图象关于点对称，若，则实数的值为　　　　　　　　．
（12）已知实数满足，目标函数的最小值和最大值分别为 EMBED Equation.3 和，则的值为　　　　　　　　．
（13）执行如图（2）所示的程序框图，若输入，则输出的值为　　　　　　　　．
（14）在的展开式中，的系数为　　　　　　　　．（用数字作答）
（15）给出下列命题,其中正确的命题是　　　　　　（写出所有正确命题的编号）．
① 非零向量满足，则与的夹角为；
② 已知非零向量，则“”是“的夹角为锐角”的充要条件；
③ 命题“在三棱锥中，已知，若点在所在的平面内，则”的否命题为真命题；
④ 若，则为等腰三角形．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分12分）
已知函数，为实数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若在闭区间上为减函数，求的取值范围．
（17）（本小题满分12分）
2011年3月20日，第19个世界水日，主题是：“城市水资源管理”；2011年“六·五”世界环境日中国主题：“共建生态文明，共享绿色未来”．活动组织者为调查市民对活动主题的了解情况，随机对10～60岁的人群抽查了人，调查的每个人都同时回答了两个问题，统计结果如下：
世界环境日中国主题 世界水日主题
回答正确人数 占本组人数频率 回答正确人数 占本组人数频率
[10,20) 30 a 30 0.5
[20,30) 48 0.8 30 0.5
[30,40) 36 0.6 48 0.8
[40,50) 20 0.5 24 b
[50,60] 12 0.6 10 0.5
（Ⅰ）若以表中的频率近似看作各年龄段回答活动主题正确的概率，规定回答正确世界环境日中国主题的得20元奖励，回答正确世界水日主题的得30元奖励．组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人42岁，孩子16岁）回答这两个主题，两个主题能否回答正确均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望；
（Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元的概率．
（18）（本小题满分12分）
设的内角所对的边长分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值，并判断当取最大值时的形状．
（19）（本小题满分12分）
已知矩形中，，，点在上且（如图（3））．把沿向上折起到的位置，使二面角的大小为（如图（4））．
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）求与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）设为的中点，是否存在棱上的点，使平面？若存在，试求出点位置；若不存在，请说明理由．
（20）（本小题满分13分）
已知椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时，点的纵坐标的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
（21）（本小题满分14分）
如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列的前项和为，且满足．若不等式对恒成立，求的取值范围．
安徽省六校教育研究会2012届高三测试
数学（理科）答案
一.选择题:BABDC BADDC
二.填空题.
11. 2 12. 2 13. 14. 15. ① ③ ④
三解答题：
16.解：（1）当时，
，由或 3分
故单调增区间为和 4分
（2）由
7分
记，
依题时，恒成立，结合的图象特征
得即，的取值范围. 12分
17. 解：（1）依题，设孩子获得奖励为，大人获得奖励为，则，为随机变量，其分布列分别为：
　 0 20 30 50
P 0.25 0.25 0.25 0.25
　 0 20 30 50
P 0.2 0.2 0.3 0.3
6分
该家庭获得奖励的期望 8分
(2)0.25 12分
18.解：（1）由可得
=3 4分
（2）设，则且
10分
此时，故，△ABC为直角三角形 12分
19.解：（1）取AE的中点P，连接DP，
由DA=DE,
故为等边三角形，在平面ABCD内的射影H为PD的中点
，又 4分
（2）在三角形CDH中，由
由余弦定理可得 8分
（3）取CE的中点F，则MF//D/E,在平面ABCE内过F作FN//AE交AB于N，
MFNF=F,D/EAE=E则平面MFN//平面D/AE
又MN在平面MFN内，故MN//平面D/AE
此时AN=EF=CE=,故存在N使MN//平面D/AE 12分
20.解：（1）由，
，圆心为
以EF为直径的圆的方程为： 2分
（当时取等）
令则
依题
椭圆C的方程为： 6分
（2），由消去y:
设,PQ的中点M
由点差法：
即①
M在直线上 ②
又，而与共线，可得//
③,
由①②③得， 12分
这与矛盾，故不存在 13分
21.（1）解：依题
又为等差数列，设公差为，则
故是常数列. 4分
（2）由是首项为2，公方差为2的等方差数列.
即为首项为4，公差为2的的等差数列， 6分
由得
①
②
10分
不等式即
也即，即恒成立
由于时，；时，；
假设时，，
那么，
由归纳法原理知：时，，
所以，
故的取值范围为 14分
4
4
4
正视图
俯视图
图（1）
侧（左）视图
否
开始
结束
输出y
是
输入x
图（2）
图（4）
图（3）