2020-2021学年苏科版七年级下册数学 第七章 平面的图形认识（二）解答题专项培优集训（二）（word版含解析）

苏科版七年级下册数学
第七章
平面的图形认识（二）
解答题专项培优集训（二）
1．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．
（1）求证：EF∥CD；
（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明．
2．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）图中∠AOF的余角是　
　（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC＝160°，那么根据　
　可得∠BOD＝　
　度；
（3）如果∠1＝32°，求∠2和∠3的度数．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE：∠DOE＝2：3．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？为什么？
5．如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点．
（1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数；
（2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP．
①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数；
②试探究∠CDA与∠B的关系．
6．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．
7．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝　
　°；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．
8．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　
　；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　
　；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
9．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
10．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为　
　度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
11．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　
　．
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．
②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表示）．
12．如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC＝3：7，求∠DOE的度数．
13．已知：
如图①，AB∥CD，∠1+∠3与∠2的关系是　
　；
如图②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是　
　，证明你的结论．
说明理由：
如图③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是　
　；
如图④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系．
14．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
15．完成推理填空．
填写推理理由：
如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，
∴∠2＝　
　，（　
　）
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴AB∥　
　，（　
　）
∴∠BAC+　
　＝180°，（　
　）
又∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
参考答案
1．（1）证明：如图1，连接FD，
∵EB＝EF，CB＝CD，
∴∠EBF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠FBD＝90°，
∴∠EBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，
∴∠EFB+∠CDB＝90°，
∴∠EFD+∠CDF＝180°，
∴EF∥CD；
（2）成立，
证明：如图2，连接FD，延长CB到H，
∵EG∥BC，
∴∠EGF＝∠HBF，
∵∠FBD＝90°，
∴∠HBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，
∴∠EGF+∠CBD＝90°，
∵EG＝EF，CB＝CD，
∴∠EGF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠EFB+∠CDB＝90°，
∴∠EFD+∠CDF＝180°，
∴EF∥CD．
2．证明：∵AB∥DE，
∴∠B+∠BCE＝180°，∠B＝∠BCD，
∵CM平分∠BCE，
∴∠1＝∠2，
∵CN⊥CM，
∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∵∠3+∠4＝∠BCD，
∴∠B＝2∠DCN．
3．解：（1）∵OF⊥OC，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠AOF+∠BOC＝90°，∠AOF+∠AOD＝90°，
∴∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD；
故答案为：∠BOC、∠AOD；
（2）∵∠AOC＝160°，
∴∠BOD＝∠AOC＝160°；
故答案为：对顶角相等；
160；
（3）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠1＝64°，
∴∠2＝∠AOD＝64°，∠3＝90°﹣64°＝26°．
4．解：（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x，
∠BOD＝∠AOC＝75°，
∴2x+3x＝75°，
解得x＝15°，
则2x＝30°，
3x＝45°，
∴∠BOE＝30°；
（2）∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝150°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝75°，
∴∠AOC＝∠AOF．
5．解：（1）如图1，过点B作BF∥MN，
则∠BAM＝∠ABF＝30°，
∵MN∥PQ，
∴PQ∥BF，
∴∠CBF＝∠QCB＝20°，
∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝50°；
（2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，
当n＝2时，∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°，
∴∠BCQ＝180°﹣2y°，
由（1）知，∠ABC＝∠BAM+∠BCQ，
∴2x+180﹣2y＝90，整理，得：x﹣y＝﹣45，
如图2，延长DA交PQ于点G，
∵MN∥PQ，
∴∠MAE＝∠DGC＝x°，
则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC
＝y°﹣x°
＝﹣（x﹣y）°
＝45°；
②n∠CDA+∠ABC＝180°，
设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°，
∴∠BCQ＝180°﹣ny°，
由（1）知，∠ABC＝nx°+180°﹣ny°，
∴y°﹣x°＝，
∵MN∥PQ，
∴∠MAE＝∠DGP＝x°，
则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC
＝y°﹣x°
＝，
即n∠CDA+∠ABC＝180°．
6．解：（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．
7．解：（1）如图，延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AHE＝40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，
故答案为：70；
（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，
∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，
∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，
∴∠EDK＝α﹣2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3α＝22°+2α﹣4°，
解得α＝18°，
∴∠EDK＝16°，
∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．
8．解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，
∵2∠MEN+∠MFN＝180°，
∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
9．（1）证明：方法一：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，
∴∠1＝∠BFG，
∴AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴∠EBF＝∠ABF，BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
方法二：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABF，∠2＝∠BFG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的平分线是BE，∠BFG的平分线是FC，
∴∠EBF＝∠ABF，BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
（2）解：∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
10．解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
11．（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）
即∠APB＝∠DAP+∠FBP＝40°+70°＝110°．
（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P＝2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠ADP1+∠FBP1，
∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，
∴∠P＝2∠P1．
②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，
∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP，
＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP），
＝180°﹣（∠DAP+∠FBP），
＝180°﹣∠APB，
＝180°﹣β．
12．解：（1）∵∠BOE＝90°，∠BOD＝40°，
∴∠AOE＝90°，∠AOC＝∠BOD＝40°，
则∠COE＝90°﹣40°＝50°；
（2）∵∠AOC：∠BOC＝3：7，
∴设∠AOC＝3x，则∠BOC＝7x，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴3x+7x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠AOC＝54°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝54°，
∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝90°+54°＝144°．
13．解：如图①，AB∥CD，∠1+∠3与∠2的关系是∠2＝∠1+∠3；
如图②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5，
证明：作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥GH∥DC∥MN，
∴∠1＝∠BEF，∠FEM＝∠EMN，∠NMG＝∠MGH，∠HGD＝∠5，
∵∠2＝∠MEF+∠FEM，∠3＝∠EMN+∠NMG，∠4＝∠MGH+∠HGD，
∴∠2+∠4＝∠MEF+∠FEM+∠MGH+∠HGD＝∠BEF+∠EMN+∠NMG+∠HGD＝∠1+∠3+∠5；
如图③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；
如图④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系为：∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）．
故答案为：∠2＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5；∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）
14．解：（1）如图1，
过点E作ER∥AB，
∵AB∥CD，
∴ER∥CD，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度数为30°．
（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，
∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，
设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，
∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，
设∠CEB＝β，
则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE＝，
∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，
∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，
∴2×+180﹣β＝190，
∴α＝10，
∴∠ABE＝30°．
答：∠ABE的度数为30°．
（3）如图3，过点P作PJ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PJ∥CD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HN∥PK，
∴∠NHP＝x，
设∠MHN＝y，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度数为30°．
15．解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．