18.1平行四边形同步练习（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 18.1平行四边形同步练习（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 183.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-24 21:28:45 | ||
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文档简介
2020-2021学年数学人教版八年级下册18.1平行四边形同步练习
一．选择题（共6小题）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，?ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件：
①AD＝BC，AD∥BC；
②AD∥BC，AO＝CO；
③AD∥BC，∠ADC＝∠ABC；
④AB∥CD，AD＝BC中
能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB=33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
5．如图，在?ABCD中，BC＝202cm，CD＝20cm，∠A＝45°，动点P从点B出发，沿BC向点C运动，动点Q从点D出发，沿DB向点B运动，点P和点Q的运动速度分别为32cm/s和2cm/s，一点停止运动，则另一点也随之停止，当△BPQ是直角三角形时，需要经过（ ）
A．4s B．52s C．52s或4s D．6s
二．填空题（共5小题）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG＝1，则AE的边长为 ．
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 ．
8．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为 cm．
10．如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
12．如图①，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，点E、F在?ABCD的对角线AC上
（1）求证：∠ABE＝∠CDF；
（2）若点E、F不在对角线AC上，而在对角线AC所在的直线上，如图②所示，则∠ABE＝∠CDF是否还成立？请说明理由．
13．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
14．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
15．已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2
（1）求证：E是AD的中点；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2．求证：CD＝BF+DF．
一．选择题（共6小题）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
2．如图，?ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【解答】解：∵?ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，
∴S?ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，
∴S阴影＝S△ABD=12S?ABCD=12×6＝3．
故选：A．
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件：
①AD＝BC，AD∥BC；
②AD∥BC，AO＝CO；
③AD∥BC，∠ADC＝∠ABC；
④AB∥CD，AD＝BC中
能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【解答】解：①正确．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形．
②正确．由AD∥BC，AO＝CO，可以证出OB＝OD，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形．
③正确．由AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，可以推出∠BAD＝∠BCD，因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形．
④错误．四边形ABCD可能是等腰梯形．
故选：C．
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB=33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【解答】解：如图，连接DN，
∵DE＝EM，FN＝FM，
∴EF=12DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝33，
∴BD=AD2+AB2=32+(33)2=6，
∴EF的最大值=12BD＝3．
故选：A．
5．如图，在?ABCD中，BC＝202cm，CD＝20cm，∠A＝45°，动点P从点B出发，沿BC向点C运动，动点Q从点D出发，沿DB向点B运动，点P和点Q的运动速度分别为32cm/s和2cm/s，一点停止运动，则另一点也随之停止，当△BPQ是直角三角形时，需要经过（ ）
A．4s B．52s C．52s或4s D．6s
【解答】解：如图作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝45°，
∴DH＝CH，
∵CD＝20，
∴DH＝CH＝102，
在Rt△DBH中，BD=DH2+BH2=20，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝45°，
∴当BQ=2PB或PB=2BQ时，△BQP是直角三角形，
∴20﹣2t=2×32t或32t=2（20﹣2t），
解得t=52或4s，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG＝1，则AE的边长为 43 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF=12CD＝2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF＝2，
∵DG⊥AE，
∴AG＝FG=DF2-DG2=22-12=3，
∴AF＝23，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴AF：EF＝DF：CF＝1，
∴EF＝AF＝23，
∴AE＝43．
故答案为：43．
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 2217 ．
【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC＝1，BO=12BD＝2，
∵AB=3，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC=AB2+AC2=(3)2+22=7，
S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴23=7AE，
∴AE=2217，
故答案为：2217．
8．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （3，4），（﹣5，4），（1，﹣4） ．
【解答】解：AC＝2﹣（﹣2）＝4，
当平行四边形是BACD时，把B向右平移4个单位长度，则D的坐标是（3，4）；
当平行四边形是ACBD时，把B向左平移4个单位长度就是D，则D的坐标是（﹣5，4）；
当平行四边形是BADC时，AC的中点的坐标是原点O（0，0）．
把B向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到AC中点O，则把A向右平移2个单位长度，向下平移8个单位长度即可得到D，D的坐标是（1，﹣4）．
故答案是：（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）．
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为 3 cm．
【解答】解：如图，延长AD交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝∠BDF＝90°，AB=AD2+BD2=62+82=10（cm），
在△BDF和△BDA中，∠FBD=∠ABDBD=BD∠BDA=∠BDF，
∴△BDF≌△BDA（ASA），
∴DF＝AD，FB＝AB＝10cm，
∴CF＝BC﹣FB＝16﹣10＝6cm，
又∵点E为AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE=12CF＝3cm．
故答案为：3．
10．如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 2 ．
【解答】解法一：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2，
∴BE=12BD＝1．
如图2，连接BB′．
根据折叠的性质知，∠AEB＝∠AEB′＝45°，
BE＝B′E．
∴∠BEB′＝90°，
∴△BB′E是等腰直角三角形，
则BB′=2BE=2．
又∵BE＝DE，B′E⊥BD，
∴DB′＝BB′=2．
解法二：如图2，
根据折叠的性质知，∠BEA＝∠B′EA＝45°，则∠B′ED＝90°．
又由折叠的性质和平行四边形ABCD的性质知，BE＝B′E＝DE，
∴△B′ED是等腰直角三角形，
∴DB′=2DE=2×12BD=2
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，
在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECFDE=CE∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，
∵AD＝BC，AB＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAF＝∠F＝36°，
∴∠B＝180°﹣2×36°＝108°．
12．如图①，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，点E、F在?ABCD的对角线AC上
（1）求证：∠ABE＝∠CDF；
（2）若点E、F不在对角线AC上，而在对角线AC所在的直线上，如图②所示，则∠ABE＝∠CDF是否还成立？请说明理由．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，如图①所示：
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC，OE＝OF，
∴∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠CDF；
（2）解：∠ABE＝∠CDF还成立，理由如下：
连接BD交AC于O，如图②所示：
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，
∴BE∥DF，BE＝DF，OA＝OC，OE＝OF，
∴∠BEA＝∠DFC，AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，BE=DF∠BEA=∠DFCAE=CF，
∴ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠CDF．
13．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠FAB＝∠FAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
AF=AD∠BAF=∠CADAB=AC，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
（2）由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF＝∠C＝60°．
又∵∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（3）成立，理由如下：
∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠FAB＝∠BAC﹣∠FAE，∠DAC＝∠FAD﹣∠FAE，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
AF=AD∠BAF=∠CADAB=AC，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB＝∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC＝60°，∠EAF+∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝∠EAF，
∴∠AFB＝∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
14．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
【解答】解：问题一，取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE=AB2，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF=CD2，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又∵PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
问题二，结论：△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=12AB，
同理，HE∥CD，HE=12CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
15．已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2
（1）求证：E是AD的中点；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2．求证：CD＝BF+DF．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
在△AEB和△CDG中，
∠A=∠CAB=CD∠1=∠2，
∴△AEB≌△CDG，
∴AE＝CG，
∵G为BC中点，
∴CG=12BC，
∴AE=12BC，
∵AD＝BC，
∴AE=12AD，
∴E是AD的中点；
（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，
∵E为AD的中点，G为BC的中点，
∴DE=12AD，BG=12BC，
：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，
∴∠H＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠H＝∠3，
∴BF＝HF，
∵∠1＝∠2，
∴∠H＝∠1，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEH中，
∠1=∠H∠AEB=∠DEGAE=DE，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB＝DH，
∵AB＝CD，
∴CD＝DH，
∵DH＝HF+FD，HF＝BF，
∴DH＝BF+FD，
∴CD＝BF+FD。
一．选择题（共6小题）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，?ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件：
①AD＝BC，AD∥BC；
②AD∥BC，AO＝CO；
③AD∥BC，∠ADC＝∠ABC；
④AB∥CD，AD＝BC中
能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB=33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
5．如图，在?ABCD中，BC＝202cm，CD＝20cm，∠A＝45°，动点P从点B出发，沿BC向点C运动，动点Q从点D出发，沿DB向点B运动，点P和点Q的运动速度分别为32cm/s和2cm/s，一点停止运动，则另一点也随之停止，当△BPQ是直角三角形时，需要经过（ ）
A．4s B．52s C．52s或4s D．6s
二．填空题（共5小题）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG＝1，则AE的边长为 ．
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 ．
8．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为 cm．
10．如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
12．如图①，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，点E、F在?ABCD的对角线AC上
（1）求证：∠ABE＝∠CDF；
（2）若点E、F不在对角线AC上，而在对角线AC所在的直线上，如图②所示，则∠ABE＝∠CDF是否还成立？请说明理由．
13．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
14．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
15．已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2
（1）求证：E是AD的中点；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2．求证：CD＝BF+DF．
一．选择题（共6小题）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
2．如图，?ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【解答】解：∵?ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，
∴S?ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，
∴S阴影＝S△ABD=12S?ABCD=12×6＝3．
故选：A．
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件：
①AD＝BC，AD∥BC；
②AD∥BC，AO＝CO；
③AD∥BC，∠ADC＝∠ABC；
④AB∥CD，AD＝BC中
能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【解答】解：①正确．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形．
②正确．由AD∥BC，AO＝CO，可以证出OB＝OD，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形．
③正确．由AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，可以推出∠BAD＝∠BCD，因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形．
④错误．四边形ABCD可能是等腰梯形．
故选：C．
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB=33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【解答】解：如图，连接DN，
∵DE＝EM，FN＝FM，
∴EF=12DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝33，
∴BD=AD2+AB2=32+(33)2=6，
∴EF的最大值=12BD＝3．
故选：A．
5．如图，在?ABCD中，BC＝202cm，CD＝20cm，∠A＝45°，动点P从点B出发，沿BC向点C运动，动点Q从点D出发，沿DB向点B运动，点P和点Q的运动速度分别为32cm/s和2cm/s，一点停止运动，则另一点也随之停止，当△BPQ是直角三角形时，需要经过（ ）
A．4s B．52s C．52s或4s D．6s
【解答】解：如图作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝45°，
∴DH＝CH，
∵CD＝20，
∴DH＝CH＝102，
在Rt△DBH中，BD=DH2+BH2=20，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝45°，
∴当BQ=2PB或PB=2BQ时，△BQP是直角三角形，
∴20﹣2t=2×32t或32t=2（20﹣2t），
解得t=52或4s，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG＝1，则AE的边长为 43 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF=12CD＝2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF＝2，
∵DG⊥AE，
∴AG＝FG=DF2-DG2=22-12=3，
∴AF＝23，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴AF：EF＝DF：CF＝1，
∴EF＝AF＝23，
∴AE＝43．
故答案为：43．
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 2217 ．
【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC＝1，BO=12BD＝2，
∵AB=3，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC=AB2+AC2=(3)2+22=7，
S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴23=7AE，
∴AE=2217，
故答案为：2217．
8．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （3，4），（﹣5，4），（1，﹣4） ．
【解答】解：AC＝2﹣（﹣2）＝4，
当平行四边形是BACD时，把B向右平移4个单位长度，则D的坐标是（3，4）；
当平行四边形是ACBD时，把B向左平移4个单位长度就是D，则D的坐标是（﹣5，4）；
当平行四边形是BADC时，AC的中点的坐标是原点O（0，0）．
把B向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到AC中点O，则把A向右平移2个单位长度，向下平移8个单位长度即可得到D，D的坐标是（1，﹣4）．
故答案是：（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）．
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为 3 cm．
【解答】解：如图，延长AD交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝∠BDF＝90°，AB=AD2+BD2=62+82=10（cm），
在△BDF和△BDA中，∠FBD=∠ABDBD=BD∠BDA=∠BDF，
∴△BDF≌△BDA（ASA），
∴DF＝AD，FB＝AB＝10cm，
∴CF＝BC﹣FB＝16﹣10＝6cm，
又∵点E为AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE=12CF＝3cm．
故答案为：3．
10．如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 2 ．
【解答】解法一：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2，
∴BE=12BD＝1．
如图2，连接BB′．
根据折叠的性质知，∠AEB＝∠AEB′＝45°，
BE＝B′E．
∴∠BEB′＝90°，
∴△BB′E是等腰直角三角形，
则BB′=2BE=2．
又∵BE＝DE，B′E⊥BD，
∴DB′＝BB′=2．
解法二：如图2，
根据折叠的性质知，∠BEA＝∠B′EA＝45°，则∠B′ED＝90°．
又由折叠的性质和平行四边形ABCD的性质知，BE＝B′E＝DE，
∴△B′ED是等腰直角三角形，
∴DB′=2DE=2×12BD=2
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，
在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECFDE=CE∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，
∵AD＝BC，AB＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAF＝∠F＝36°，
∴∠B＝180°﹣2×36°＝108°．
12．如图①，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，点E、F在?ABCD的对角线AC上
（1）求证：∠ABE＝∠CDF；
（2）若点E、F不在对角线AC上，而在对角线AC所在的直线上，如图②所示，则∠ABE＝∠CDF是否还成立？请说明理由．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，如图①所示：
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC，OE＝OF，
∴∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠CDF；
（2）解：∠ABE＝∠CDF还成立，理由如下：
连接BD交AC于O，如图②所示：
∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，
∴BE∥DF，BE＝DF，OA＝OC，OE＝OF，
∴∠BEA＝∠DFC，AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，BE=DF∠BEA=∠DFCAE=CF，
∴ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠CDF．
13．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠FAB＝∠FAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
AF=AD∠BAF=∠CADAB=AC，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
（2）由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF＝∠C＝60°．
又∵∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（3）成立，理由如下：
∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠FAB＝∠BAC﹣∠FAE，∠DAC＝∠FAD﹣∠FAE，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
AF=AD∠BAF=∠CADAB=AC，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB＝∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC＝60°，∠EAF+∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝∠EAF，
∴∠AFB＝∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
14．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
【解答】解：问题一，取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE=AB2，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF=CD2，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又∵PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
问题二，结论：△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=12AB，
同理，HE∥CD，HE=12CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
15．已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2
（1）求证：E是AD的中点；
（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2．求证：CD＝BF+DF．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
在△AEB和△CDG中，
∠A=∠CAB=CD∠1=∠2，
∴△AEB≌△CDG，
∴AE＝CG，
∵G为BC中点，
∴CG=12BC，
∴AE=12BC，
∵AD＝BC，
∴AE=12AD，
∴E是AD的中点；
（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，
∵E为AD的中点，G为BC的中点，
∴DE=12AD，BG=12BC，
：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，
∴∠H＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠H＝∠3，
∴BF＝HF，
∵∠1＝∠2，
∴∠H＝∠1，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEH中，
∠1=∠H∠AEB=∠DEGAE=DE，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB＝DH，
∵AB＝CD，
∴CD＝DH，
∵DH＝HF+FD，HF＝BF，
∴DH＝BF+FD，
∴CD＝BF+FD。