2020-2021学年题湘教版九年级下册数学习题课件 第1章 二次函数(18份打包)

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名称 2020-2021学年题湘教版九年级下册数学习题课件 第1章 二次函数(18份打包)
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资源类型 教案
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2021-03-25 17:30:48

文档简介

(共35张PPT)
XJ版九年级下
1.5 二次函数的应用
第1章
二次函数
第2课时 利用二次函数求几何
图形面积的最值问题
4
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B
D
见习题
D
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-4≤m≤-2
B
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见习题
1.二次函数y=x2-4x+c的最小值为0,则c的值为(  )
A.2
B.4
C.-4
D.16
B
B
D
3.已知y=-x(x+3-a)+1是关于x的二次函数,当x的取值范围在1≤x≤5时,若y在x=1时取得最大值,则实数a的取值情况是(  )
A.a=9
B.a=5
C.a≤9
D.a≤5
4.二次函数y=2x2-6x+1,当0≤x≤5时,y的取值范围是________________.
5.若二次函数y=x2+ax+5的图象关于直线x=-2对称,且当m≤x≤0时,y有最大值5,最小值1,则m的取值范围是______________.
【答案】-4≤m≤-2
6.已知一个直角三角形两直角边长之和为20
cm,则这个直角三角形的最大面积为(  )
A.25
cm2
B.50
cm2
C.100
cm2
D.不确定
B
7.用一条长为40
cm的绳子围成一个面积为a
cm2的矩形,a的值不可能为(  )
A.20
B.40
C.100
D.120
D
8.【中考·沈阳】如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开,已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=________m时,矩形土地ABCD
的面积最大.
【答案】150
9.【中考·金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋,AB+BC=10
m,拴住小狗的10
m长的绳子一端固定在B点处,小狗在不能进入小屋内的条件下活动,其可以活动的区域面积为S
m2.
(1)如图①,若BC=4
m,则S=________;
【答案】88π
m2
(2)如图②,现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一等边三角形CDE区域,使之变成落地为五边形ABCED的小屋,其他条件不变,
则在BC的变化过程中,当S取得
最小值时,边BC的长为________.
10.【中考·福建】如图,在足够大的空地上有一段长为a
米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100
米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450
m2,求所利用旧墙AD的长;
解:设AB=m米,则AD=BC=(100-2m)米,
根据题意得m(100-2m)=450,解得m1=5,m2=45,
当m=5时,100-2m=90>20,不合题意,舍去;
当m=45时,100-2m=10<20,符合题意.
故AD的长为10米.
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
11.【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD,AB=20米,BC=30米.为美观,拟种植不同的花卉,如图,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为x米.
现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2,设三种花卉的种植总成本为y元.
(1)当x=5时,求种植总成本;
(2)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
解:由题易知EF=(20-2x)米,EH=(30-2x)米,
则y=(30+30-2x)·x·20+(20+20-2x)·x·60+(30-2x)(20-2x)·40=-400x+24
000(0<x<10);
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2,求三种花卉的最低种植总成本.
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2,
∴-2x2+60x-(-2x2+40x)≤120,
解得x≤6,故0<x≤6,
又∵y=-400x+24
000,
∴y随x的增大而减小,
故当x=6时,y取得最小值为21
600,
即三种花卉的最低种植总成本为21
600元.
12.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12
mm,BC=24
mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2
mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4
mm/s
的速度移动.已知P、Q分别从A、B同时出发,求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式,并求出t为何值时,△PBQ的面
积最大,最大值是多少?
13.【2020·河北】用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数表达式;
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x厘米,Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数表达式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍?[注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围](共31张PPT)
XJ版九年级下
1.2 二次函数的图象与性质
第1章
二次函数
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
4
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D
B
B
A
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4;0
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见习题
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见习题
见习题
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见习题
1.下列各点在二次函数y=4x2的图象上的是(  )
A.(2,2)
B.(4,1)
C.(1,4)
D.(-1,-4)
C
2.二次函数y=x2的图象的开口方向是(  )
A.向上
B.向下
C.向左
D.向右
A
D
【答案】B
5.已知正方形的边长为x(cm),则它的面积y(cm2)与边长x(cm)之间的函数关系图象为(  )
【点拨】根据正方形的面积公式可知,函数表达式为y=x2,
又x>0,故选C.
【答案】C
D
7.对于二次函数y=x2,下列结论中正确的是(  )
A.x取任何实数,y的值总是正数
B.x取任何实数,y的值总是非负数
C.x的值增大,y的值随着增大
D.x的值增大,y的值随着减小
B
8.【中考·连云港】已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式中一定正确的是(  )
A.y1>0>y2
B.y2>0>y1
C.y1>y2>0
D.y2>y1>0
【点拨】∵抛物线y=ax2(a>0)的对称轴为y轴,A(-2,y1)关于y轴对称的点的坐标为(2,y1),
∴点(2,y1)在抛物线上.
又∵0<1<2,∴0【答案】C
【答案】C
10.【2020·嘉兴】已知二次函数y=x2,当a≤x≤b时,m≤y≤n,则下列说法正确的是(  )
A.当n-m=1时,b-a有最小值
B.当n-m=1时,b-a有最大值
C.当b-a=1时,n-m无最小值
D.当b-a=1时,n-m有最大值
B
11.当-1≤x≤2时,二次函数y=x2的最大值是______,最小值是________.
【点拨】当x=0时,ymin=0;当x=2时,ymax=4.
4
0
【易错总结】此题易忽略对称轴在-1≤x≤2内而错认为当x=-1时,ymin=1.
解:图略.
(1)当x=6时,函数值y是多少?
(2)当y=6时,x的值是多少?
(3)当x取何值时,y有最小值?最小值是多少?
(4)当x>0时,y随x的增大怎样变化?当x<0时呢?
解:当x=0时,y有最小值,最小值是0.
当x>0时,y随x的增大而增大;
当x<0时,y随x的增大而减小.
13.已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数.
(1)
求满足条件的m的值.
(2)m为何值时,二次函数的图象有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
解:当m=2时,二次函数的图象有最低点,这个最低点为(0,0);且当x>0时,y随x的增大而增大.
14.已知一次函数y=kx+b与二次函数y=ax2的图象如图所示,其中一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A(2,0),B(0,2),且直线与抛
物线的交点分别为P,Q,且它们
的纵坐标的比为1∶4,求这两个
函数的表达式.
∴一次函数的表达式为y=-x+2.设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),则y1=ax21,y2=ax22,且y1∶y2=1∶4,∴y2=4y1,ax21∶ax22=1∶4.
∴x1∶x2=(±1)∶2.
又∵点Q在第二象限,点P在第一象限,
∴x1∶x2=-1∶2.
∴x2=-2x1.
∴点Q的坐标为(-2x1,4y1).
15.如图,抛物线y=ax2与直线y=kx在第一象限内交于点A(2,4).
(1)求抛物线对应的函数表达式;
解:将A(2,4)的坐标代入y=ax2得4=4a,∴a=1.
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2.
(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(共35张PPT)
XJ版九年级下
1.2 二次函数的图象与性质
第1章
二次函数
第6课时 二次函数y=ax2+
bx+c的图象与性质
4
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A
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见习题
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见习题
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1.【中考·济宁】将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式是(  )
A.y=(x-4)2-6
B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x-4)2-2
D
2.【2020·孝感】将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的表达式为(  )
A.y=-x2-2
B.y=-x2+2
C.y=x2-2
D.y=x2+2
A
3.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是(  )
A.直线x=2
B.直线x=-2
C.直线x=1
D.直线x=-1
C
4.【2020·温州】已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则(  )
A.y3<y2<y1
B.y3<y1<y2
C.y2<y3<y1
D.y1<y3<y2
B
5.【2020·河北】如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,
甲:若b=5,则点P的个数为0;
乙:若b=4,则点P的个数为1;
丙:若b=3,则点P的个数为1.
下列判断正确的是(  )
A.乙错,丙对
  B.甲和乙都错
C.乙对,丙错
  D.甲错,丙对
C
6.【中考·温州】已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内的最值情况,下列说法正确的是(  )
A.有最大值-1,有最小值-2
B.有最大值0,有最小值-1
C.有最大值7,有最小值-1
D.有最大值7,有最小值-2
D
7.已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是(  )
A.b≥-1
B.b≤-1
C.b≥1
D.b≤1
【答案】D
8.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是(  )
A.abc<0,b2-4ac>0
B.abc>0,b2-4ac>0
C.abc<0,b2-4ac<0
D.abc>0,b2-4ac<0
B
C
10.【2020·泰安】在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是(  )
【点拨】根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的关系即可得出a,b的正负,由此即可得出一次函数图象经过的象限,再与函数图象进行对比即可得出结论.
【答案】C
【点拨】由题意可知,抛物线的顶点在x轴上方(含在x轴上)或抛物线的顶点在x轴下方且抛物线经过第一、二、四象限.
【答案】A
13.【中考·宁波】如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
解:把点P(-2,3)的坐标代入
y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,
解得a=2.
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2.
∴图象的顶点坐标为(-1,2).
(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.
①当m=2时,求n的值.
解:当m=2时,n=32+2=11.
②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.
解:2≤n<11.
14.【2020·河南】如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A、B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式及点G的坐标;
解:∵抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A、点B,∴点B(0,c),
∵OA=OB=c,∴点A(c,0),
∴0=-c2+2c+c,∴c=3或c=0(舍去),
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴点G的坐标为(1,4).
(2)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.
解:∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴对称轴为直线x=1,
∵点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,
∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为6,
∴点M坐标为(-2,-5)或(4,-5),点N坐标为(6,-21),∵点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点,∴-21≤yQ≤4或-21≤yQ≤-5.
15.【2020·衡阳】在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)求当-2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差.
(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.
解:∵一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2-x-2的图象交点的横坐标分别为a和b,
∴x2-x-2=(2-m)x+2-m,整理得x2+(m-3)x+m-4=0①,
由题意得Δ=(m-3)2-4(m-4)>0,解得m≠5.
解方程①得x1=-1,x2=4-m,
∵a<3<b,
∴a=-1,b=4-m>3,
解得m<1,即m的取值范围是m<1.(共32张PPT)
XJ版九年级下
1.2 二次函数的图象与性质
第1章
二次函数
第3课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质
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C
1.二次函数y=x2+1的图象大致是(  )
2.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是(  )
A.3
B.2
C.1
D.0
B
C
4.【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是(  )
【点拨】对于A,C,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,可知m<0,由直线可知m>0,故A,C错误;对于B,y=x2+m中a=1>0,可得其图象开口向上,故B错误;对于D,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,可知m<0,由直线可知m<0,n2>0,故D正确.
【答案】D
5.对于二次函数y=3x2+2,下列说法错误的是(  )
A.最小值为2
B.图象与x轴没有公共点
C.当x<0时,y随x的增大而增大
D.图象的对称轴是y轴
C
6.【中考·绍兴】已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是(  )
A.若y1=y2,则x1=x2
     
B.若x1=-x2,则y1=-y2
C.若0y2
     
D.若x1y2
D
7.点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)都在二次函数y=(a2+1)x2+2的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是(  )
A.y1<y2<y3
B.y1>y2>y3
C.y2>y1>y3
D.y2<y1<y3
A
8.【2020·上海】如果将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,那么所得新抛物线的表达式是________.
y=x2+3
A
10.抛物线y=2x2+1是由抛物线y=2x2
(  )
A.向上平移2个单位得到的
B.向下平移2个单位得到的
C.向上平移1个单位得到的
D.向下平移1个单位得到的
C
【答案】A
12.已知函数y=2xm2-4m-3+(m-5)的图象是一条抛物线,且这个函数的最小值是负数,则m的值为(  )
A.5  
B.-1
C.-5或1
D.5或-1
【点拨】根据二次函数的定义,解得m=5或m=-1.因为该函数的最小值是负数,所以该抛物线的顶点在x轴的下方,即m-5<0,所以m<5,所以m=-1.
B
【易错总结】本题的易错之处是对题目中“且这个函数的最小值是负数”理解不深刻,由此导致解的范围扩大,因而出现误选D的情况.
(2)画出抛物线y=ax2+c.
略.
14.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象经过点A(1,-1),B(2,5).
(1)求该函数的表达式;
(2)若点C(-2,m),D(n,7)也在函数的图象上,求m、n的值.
15.【中考·衡阳】如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连结AM、BM.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
解:∵点A为直线y=x+1与x轴的交点,
∴A(-1,0).又点B的横坐标为2,
将x=2代入y=x+1可求得y=3,
∴B(2,3).
∵抛物线顶点在y轴上,
(2)判断△ABM的形状,并说明理由.
解:△ABM为直角三角形,理由如下:由(1)中求得的抛物线对应的函数表达式为y=x2-1可知M点的坐标为(0,-1),
16.【中考·安徽】一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
解:由题意得k+4=2,解得k=-2.
∴y=-2x+4.
易知一次函数y=-2x+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点为(0,4).
∴二次函数y=ax2+c图象的顶点为(0,4),∴c=4.
把(1,2)代入y=ax2+4,得a+4=2,解得a=-2.
(1)求k、a、c的值;
(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B、C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数表达式,并求W的最小值.(共44张PPT)
XJ版九年级下
阶段核心归类
二次函数的图象和性质的九种常见
类型
第1章
二次函数
4
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B
1.【中考·德州】函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )
2.【2020·温州】已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13).
(1)求a、b的值;
(2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值.
解:由(1)得函数表达式为y=x2-4x+1,
把点(5,y1)的坐标代入y=x2-4x+1中,得y1=6,
∴y2=12-y1=6.∴y1=y2,
∵对称轴为直线x=2,∴m=4-5=-1.
4.【中考·杭州】设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由;
解:两个或一个.理由:令y=0,
则0=ax2+bx-(a+b),
∵Δ=b2-4a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0,
∴方程有两个不相等的实根或两个相等的实根.
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.
(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个,求该二次函数的表达式;
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
证明:当x=2时,y=m,
∴m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①,
∵a+b<0.∴-a-b>0②,①②相加得2a>0,
∴a>0.
5.【2020·威海】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1的顶点为A,
点B的坐标为(3,5).
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标;
解:∵抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1过点B(3,5),
∴把B(3,5)的坐标代入y=x2-2mx+m2+2m-1,整理得m2-4m+3=0,
解得m1=1,m2=3.
当m=1时,y=x2-2x+2=(x-1)2+1,
其顶点A的坐标为(1,1);
当m=3时,y=x2-6x+14=(x-3)2+5,
其顶点A的坐标为(3,5);
综上,顶点A的坐标为(1,1)或(3,5).
(2)点A的坐标记为(x,y),求y与x的函数表达式;
解:∵y=x2-2mx+m2+2m-1=(x-m)2+2m-1,
∴顶点A的坐标为(m,2m-1).
∵点A的坐标记为(x,y),
∴x=m.∴y=2x-1.
(3)已知C点的坐标为(0,2),当m取何值时,抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1与线段BC只有一个交点.
解:由(2)可知,抛物线的顶点在直线y=2x-1上运动,且形状不变,由(1)知,当m=1或3时,抛物线过B(3,5),
把C(0,2)的坐标代入y=x2-2mx+m2+2m-1,整理得m2+2m-1=2,解得m=1或-3,
∴当m=1或-3时,抛物线经过点C(0,2),
如图,当m=-3或3时,抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点),
当m=1时,抛物线同时
过点B、点C,不合题意,
综上可得,m的取值范围
是-3≤m≤3且m≠1.
6.【2020·伊春】如图,已知二次函数y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,已知△BAC的面积是6.
(1)求a的值;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△ABP=S△ABC.若存在,请求出P点的坐标,若不存在,请说明理由.
解:∵a=-3,∴C(0,3).
∵S△ABP=S△ABC.∴P点的纵坐标为±3.
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点A(-1,0),B(5,-6),C(6,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
解:设y=a(x-x1)(x-x2),
∵A(-1,0),C(6,0),∴y=a(x+1)(x-6),
把点B(5,-6)的坐标代入,得-6=a(5+1)(5-6),解得a=1.
∴y=(x+1)(x-6)=x2-5x-6.
(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P,使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:存在.分别过点P,B作PM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足为M,N,设P(m,m2-5m-6),四边形PACB的面积是S,则PM=-m2+5m+6,AM=1+m,MN=5-m,CN=6-5=1,BN=6.
8.【中考·资阳】如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的
一个动点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
解:如图,过点P作PM⊥OB于点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
解:存在.若△PDE为等腰直角三角形,
则PD=PE,设点P的横坐标为n(0<n<6),
②求此函数的最大值.
(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2,2),B(4,2),当此函数的图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n的取值范围.
(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时,求n的取值范围.
解:当函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时,此函数图象与直线y=4,y=-4恰有4个交点.
设x<n时图象为β,x≥n时图象为α.
③在图②之后的一段时间内,不断增大n(n取正数),直到如图③所示的情况.
对于α,当x=n时,-n2+n2+n=4,
解得n=4.
而此时β的顶点坐标恰好为(2,4),
所以此时函数图象上到x轴的距离
等于4的点恰好有4个.(共14张PPT)
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阶段核心归类
第1章
二次函数
二次函数图象信息题的四种常见类型
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A
D
A
见习题
B
x1=0,x2=2
D
1.【2020·滨州】对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论:①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤a+b≤m(am+b)(m为任
意实数);⑥当x<-1时,y随x的增大
而增大.其中结论正确的个数为(  )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A
2.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1A.y1≤y2
B.y1<y2
C.y1≥y2
D.y1>y2
B
3.【中考·黄石】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则当函数值y>0时,x的取值范围是(  )
A.x<-1       
B.x>3
C.-1<x<3
D.x<-1或x>3
D
4.如图,一次函数y1=kx+n与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为(  )
A.-1≤x≤9
B.-1≤x<9
C.-1<x≤9
D.x≤-1或x≥9
A
5.【中考·阜新】如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1,0),B(3,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx=0的根是________________.
x1=0,x2=2
6.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数y=ax+b的图象正确的是(  )
D
7.【中考·广州】已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
(1)求y1的表达式;
(2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的表达式.
解:①当y1=-x2-2x时,解-x2-2x=0,
得x=0或-2,
∴抛物线与x轴的交点是(0,0)和(-2,0),
∵y2随着x的增大而增大,且y2过点A(-1,5),
∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-2,0).
②当y1=-x2-2x+8时,解-x2-2x+8=0,
得x=-4或2,
∴抛物线与x轴的交点是(-4,0)和(2,0).
∵y2随着x的增大而增大,且y2过点A(-1,5),
∴y1与y
2都经过x轴上的同一点(-4,0).(共62张PPT)
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第1章
二次函数
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D
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C
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见习题
见习题
1.已知函数y=(m+3)xm2+4m-3+5是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向上?
解:∵函数图象的开口向上,
∴m+3>0.∴m>-3.∴m=1.
∴当m=1时,该函数图象的开口向上.
(3)当m为何值时,该函数有最大值?
解:∵函数有最大值,∴m+3<0,
∴m<-3.∴m=-5.
∴当m=-5时,该函数有最大值.
2.【中考·阜新】如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点(-1,0)和(4,0),那么下列说法中正确的是(  )
A.ac>0
B.b2-4ac<0
C.对称轴是直线x=2.5
D.b>0
D
3.【中考·安顺】如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:
①a>0;②2a+b=0;
③a+b+c>0;④当-1<x<3时,y>0.
其中正确的个数为(  )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【点拨】根据函数图象开口向下可得a<0,所以①错误;因为函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),所以其对称轴为直线x=1,所以-=1,因此2a+b=0,所以②正确;当x=1时,y=a+b+c>0,所以③正确;当-1<x<3时,y>0,
所以④正确.故选C.
【答案】C
4.【中考·乐山】已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).
(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
证明:∵Δ=(1-5m)2-4m×(-5)
=1+25m2-10m+20m
=25m2+10m+1
=(5m+1)2≥0,
∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值;
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2-n2+8n的值.
5.如图,有一段长为24
m的栅栏,一面利用墙(墙的最大可用长度为10
m),要围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍(栅栏厚度不计).设鸡舍的一边AB的长为x
m,面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围).
解:∵AB=x
m,∴BC=(24-3x)
m,
∴S与x之间的函数关系式为S=x(24-3x)=
-3x2+24x.
(2)如果围成面积为45
m2的鸡舍,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45
m2更大的鸡舍吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由.
6.【2020·绍兴】如图①,排球场长为18
m,宽为9
m,网高为2.24
m,队员站在底线点O处发球,球从点O的正上方1.9
m的点C发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为2.88
m,即BA=2.88
m,这时水平距离OB=7
m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,
如图②.
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由.
解:如图,过点P作底线的平行线PQ,过点O作边线的平行线OQ,两线交于点Q,连接PO.
7.【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗,为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2
000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式:y=-100x+5
000.
经销售发现,销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4
000
kg时,每千克成本价格将降低1元,设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).
(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式;
解:当y≥4
000,即-100x+5
000≥4
000时,x≤10.
∴当6≤x≤10时,W=(x-6+1)(-100x+5
000)-2
000=-100x2+5
500x-27
000;
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?
当10<x≤30时,W=-100x2+5
600x-32
000=-100(x-28)2+46
400.
∴当x=28时,W有最大值为46
400.
∵46
400>18
000,
∴当销售单价定为28元/kg时,销售这种板栗日获利最大,最大利润为46
400元.
(3)当W≥40
000时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a<4)的相关费用,若此时日获利的最大值为42
100元,求a的值.
解:∵40
000>18
000,
∴10<x≤30,
∴W=-100x2+5
600x-32
000.
当W=40
000时,40
000=-100x2+5
600x-32
000,
解得x1=20,x2=36.
∴当20≤x≤36时,W≥40
000.
又∵10<x≤30,∴20≤x≤30.
此时,日获利W1=(x-6-a)(-100x+5
000)-2
000=-100x2+(5
600+100a)x-32
000-5
000a,
8.【2020·南充】某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某种设备,设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价为z万元/件,z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z与x的函数关系式(写出x的范围).
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<x≤20).在(1)的条件下,工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入-成本)
解:设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元,
①当0<x≤12时,w=(16-10)×(5x+40)=30x+240,
由一次函数的性质可知,当x=12时,w最大值=30×12+240=600.
9.如图,线段AB的长为2,点C为AB上一个动点,分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,求DE长的最小值.
10.某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜.通过调查得知,平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元;购置滴灌设备的费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为0.9;另外,种植每公顷蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.
(1)某基地的菜农共修建大棚x公顷,当年收益(扣除修建和种植成本后)为y万元,写出y关于x的函数表达式.
解:y=7.5x-(2.7x+0.9x2+0.3x)=-0.9x2+4.5x.
(2)除种子、化肥、农药投资只能当年使用外,其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用.如果按3年计算,是否修建大棚面积越大,收益就越大?如果不是,修建面积为多少时可以获得最大收益?请帮助工作组为该基地修建大棚提一条合理化的建议.
解:设3年内每年的平均收益为z万元,根据题意,得
z=7.5x-(0.9x+0.3x2+0.3x)=-0.3x2+6.3x=-0.3(x-10.5)2+33.075.
∴并不是修建大棚面积越大收益就越大,当修建面积为10.5公顷时可以获得最大收益.
建议:(答案不唯一)当大棚面积超过10.5公顷时,扩大面积会使收益下降,修建面积不宜盲目扩大.
11.已知抛物线y=ax2+bx+c的位置如图,则点P(a,bc)在第________象限.

12.【中考·天津】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x

-2
-1
0
1
2

y=ax2+
bx+c

t
m
-2
-2
n

【答案】C
13.如图,已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数的表达式和点B的坐标.
(2)在x轴上是否存在点P,使得△PAB为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
14.【中考·安徽】如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).
(1)求a、b的值;
(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
解:如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连结CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为点E、F.
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,
∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).
∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,
∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.(共31张PPT)
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1.2 二次函数的图象与性质
第1章
二次函数
第4课时 二次函数y=a(x-h)2
的图象与性质
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见习题
见习题
见习题
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见习题
1.二次函数y=-2(x-1)2的图象大致是(  )
B
2.【中考·兰州】在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是(  )
A.y=(x+2)2
B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2
D.y=2(x-2)2
A
3.对于抛物线y=2(x-1)2,下列说法中正确的个数有(  )
①开口向上;②顶点坐标为(0,-1);③对称轴为直线x=1;④与x轴的交点坐标为(1,0).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
4.已知二次函数y=3(x+2)2与y=3(x-2)2,下列有关函数的图象说法中错误的是(  )
A.形状相同,开口方向相反
B.对称轴关于y轴对称
C.顶点关于y轴对称
D.关于y轴对称
A
5.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象可能为(  )
B
6.对于二次函数y=-2(x+3)2,下列说法正确的是(  )
A.其图象的开口向上
B.其图象的对称轴是直线x=3
C.其图象的顶点坐标是(0,3)
D.当x>-3时,y随x的增大而减小
D
7.已知抛物线y=-(x+1)2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1<x2<-1,那么下列结论中成立的是(  )
A.y1<y2<0
B.0<y1<y2
C.0<y2<y1
D.y2<y1<0
A
8.若二次函数y=(x-m)2,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是(  )
A.m=3
B.m>3
C.m≥3
D.m≤3
【点拨】∵二次函数y=(x-m)2的二次项系数是1,∴该二次函数的图象开口向上,其对称轴是直线x=m.∵当x≤3时,y随x的增大而减小,∴m≥3.故选C.
【答案】C
9.【中考·黄冈】当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为(  )
A.-1
B.2
C.0或2
D.-1或2
【点拨】∵当x=0或x=2时,函数y=x2-2x+1=(x-1)2的值为1,∴①当x≤0时,y有最小值1;②当0<x<2时,y有最小值0;③当x≥2时,y有最小值1.∵当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,∴a+1=0或a=2.∴a=-1或a=2.
【答案】D
10.【中考·海南】把抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2,则这个平移过程正确的是(  )
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向上平移2个单位
D.向下平移2个单位
A
11.把函数y=-3x2的图象沿x轴向左平移5个单位,得到的图象的表达式为(  )
A.y=-3x2+5
B.y=-3x2-5
C.y=-3(x+5)2
D.y=-3(x-5)2
C
【点拨】二次函数y=(x-2)2的图象开口向上,对称轴为直线x=2,∴当x<2时,y随x的增大而减小.
【答案】y1>y2>y3 
【易错总结】在利用函数的增减性比较函数值的大小时,首先要保证所比较函数值的点在对称轴的同一侧,若不在对称轴的同一侧,通过抛物线的对称性将点统一到同一侧后再进行大小比较.
13.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,且过点(1,-3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)画出函数的图象;
解:画图象略.
(3)观察图象回答,当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,函数有最大值(或最小值)?
解:当x<-2时,y随x的增大而增大;当x=-2时,函数有最大值.
(2)写出抛物线y=a(x-h)2的对称轴及顶点坐标.
15.如图,将抛物线y=x2向右平移a个单位后,顶点为A,与y轴交于点B,且△AOB
为等腰直角三角形.
(1)求a的值;
解:依题意将抛物线y=x2平移后为
抛物线y=(x-a)2,∴点A的坐标为(a,0),
点B的坐标为(0,a2),
∵OA=OB,
∴a2=a.∵a≠0,∴a=1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C,使△ABC为等腰直角三角形?若存在,直接写出点C的坐标,并求S△ABC;若不存在,请说明理由.
16.如图,已知二次函数y=(x+2)2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)写出点A、点B的坐标;
解:在y=(x+2)2中,令y=0,
得x1=x2=-2;令x=0,得y=4.
∴点A、点B的坐标分别为(-2,0),(0,4).
(2)求S△AOB;
(3)求出抛物线的对称轴.
解:抛物线的对称轴为直线x=-2.
(4)在对称轴上是否存在一点P,使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:存在.①以OA和OB为邻边可作?PAOB,易求得P(-2,4);
②以AB和OB为邻边可作?PABO,易求得P(-2,-4).∴点P的坐标为(-2,4)或(-2,-4).(共36张PPT)
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1.5 二次函数的应用
第1章
二次函数
第3课时 利用二次函数解实际
应用问题
4
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B
见习题
1.25
见习题
D
见习题
见习题
8
见习题
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9
见习题
B
2.心理学家发现:学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系,当提出概念13
min时,学生对概念的接受能力最大,为59.9;当提出概念30
min时,学生对概念的接受能力就剩下31,则y与x满足的二次函数关系式为(  )
A.y=-(x-13)2+59.9
B.y=-0.1x2+2.6x+31
C.y=0.1x2-2.6x+76.8
D.y=-0.1x2+2.6x+43
D
3.某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x(元),每天销售y(个),每天获得利润W(元).
(1)写出y与x之间的函数关系式:____________.
(2)求出W与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围).
y=300+20x
解:W=(300+20x)(60-x-40)=-20x2+100x+6
000.
4.【2020·襄阳】汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数关系式是s=15t-6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为______秒.
1.25
5.【2020·辽阳】超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
解:根据题意得w=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20)2+500,∴当x<20时,w随x的增大而增大.
∵10≤x≤15且x为整数,∴当x=15时,w有最大值,
最大值为-5×(15-20)2+500=375.
答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润为375元.
6.【中考·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品,调查发现,销售单价不低于40元且不高于80元时,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,当销售单价为44元时,日销售量为72件;当销售单价为48元时,日销售量为64件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元),当销售单价为多少时,日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
【易错总结】本题易因将销售额当作销售利润而致错.
解:由题意得,W与x的函数关系式为
W=(x-40)(-2x+160)=-2x2+240x-6
400=
-2(x-60)2+800,
当x=60时,W最大,是800,
所以当销售单价为60元时,日销售利润最大,
最大日销售利润是800元.
7.【2020·武汉】某公司分别在A、B两城生产同一种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx.当x=10时,y=400;当x=20时,y=1
000.B城生产产品的每件成本为70万元.
(1)求a、b的值;
(2)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时,求A、B两城各生产多少件;
解:由(1)得y=x2+30x,
设A、B两城生产这批产品的总成本的和为w万元,
则w=x2+30x+70(100-x)
=x2-40x+7
000
=(x-20)2+6
600,
由二次函数的性质可知,当x=20时,w取得最小值,此时100-20=80.
答:A城生产20件,B城生产80件.
(3)从A城把该产品运往C、D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C、D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,直接写出A、B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示).
解:当0<m≤2时,A、B两城总运费的和的最小值为(20m+90)万元;当m>2时,A、B两城总运费的和的最小值为(10m+110)万元.
销售价格x/(元/千克)
2
4

10
市场需求量q/百千克
12
10

4
已知按物价部门规定,销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.
(1)直接写出q与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.
解:q=-x+14,其中2≤x≤10.
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围.
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x之间的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,当x为______元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为______元/千克.
∵要尽可能地减少半成品食材的浪费,
∴x应定为5元/千克.
9.【中考·云南】某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行反季节西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/kg,规定销售单价不低于
成本,又不高于成本的两倍.经
过市场调查发现,某天西瓜的销
售量y(kg)与销售单价x(元/kg)之
间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)求这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值.
∵W随x的增大而增大,
∴当x=12时,W取得最大值,为200×12-1
200=
1
200<1
250.
故这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值为
1
250.(共43张PPT)
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1.2 二次函数的图象与性质
第1章
二次函数
第5课时 二次函数y=
a(x-h)2+k的图象与性质
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(2,-5)
C
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D
见习题
①②④
见习题
13
14
见习题
见习题
1.【2020·哈尔滨】将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线为(  )
A.y=(x+3)2+5
B.y=(x-3)2+5
C.y=(x+5)2+3
D.y=(x-5)2+3
D
2.【2020·绥化】将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的表达式是(  )
A.y=2(x-6)2
B.y=2(x-6)2+4
C.y=2x2
D.y=2x2+4
C
3.【2020·鸡西】将抛物线y=(x-1)2-5关于y轴对称,再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________.
(2,-5)
4.对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是(  )
A.开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2)
D.与x轴有两个交点
【点拨】y=(x-1)2+2的图象开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,2),与x轴没有交点,故选C.
【答案】C
5.【中考·益阳】若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(  )
A.m>1 
B.m>0
C.m>-1 
D.-1<m<0
B
6.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是(  )
A.y=(x-2)2+1
B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2-3
D.y=(x+2)2-3
C
7.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过(  )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
【点拨】由题意知抛物线的对称轴为直线x=-m.由图象知抛物线的顶点在第四象限,∴-m>0,n<0,∴m<0.
∴y=mx+n的图象经过第二、三、四象限.
【答案】C
8.【2020·甘孜州】如图,二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴交于A(-3,0)、B两点,下列说法错误的是(  )
A.a<0
B.图象的对称轴为直线x=-1
C.点B的坐标为(1,0)
D.当x<0时,y随x的增大而增大
D
9.【2020·南京】下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是________.
【点拨】①∵二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)与函数y=-x2的二次项系数相同,∴该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同,故结论①正确;
②∵在函数y=-(x-m)2+m2+1中,令x=0,则y=-m2+m2+1=1,∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;
③∵y=-(x-m)2+m2+1,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;
④∵该函数的图象的顶点坐标为(m,m2+1),∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上,故结论④正确.
【答案】①②④
【易错总结】容易忽略由题目中给出的信息mn<0,不能得出m<0【答案】D
11.【中考·泰州】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,
其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)求tan
∠ABC.
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)求抛物线F1的表达式;
(2)如图②,将抛物线F1先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到抛物线F2,
若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,
连接BD、CD、BC.①求点D的坐标;
②判断△BCD的形状,并说明理由;
∵D(-1,1),
∴BD2=(2+1)2+(1-0)2=10,
CD2=(0+1)2+(4-1)2=10,
BC2=22+42=20,
∴BD2+CD2=BC2,且BD=CD,
∴△BDC是等腰直角三角形.
(3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
③当∠BPD=90°时,且BP=DP,有BD2=PD2+PB2,如图,
当△BDP为等腰直角三角形时,
点P1和P2不在抛物线F2上,
此种情况不存在这样的点P;
综上,点P的坐标(1,-3)或(-2,-2).
(1)当m=5时,求n的值;
(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y≥2时,自变量x的取值范围;
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
解:∵点A与点C不重合,∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m,4),
∴抛物线的顶点在直线y=4上.(共42张PPT)
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1.4 二次函数与一元二次
方程的联系
第1章
二次函数
第1课时 二次函数与一元
二次方程之间的关系
4
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A
C
C
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C
A
见习题
见习题
13
14
见习题
见习题
1.【2020·成都】关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(  )
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
D
2.【中考·柳州】小兰画函数y=x2+ax+b的图象如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是(  )
A.无解
B.x=1
C.x=-4
D.x=-1或x=4
D
3.【中考·梧州】已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1、x2(x1<x2),则下列结论正确的是(  )
A.x1<-1<2<x2
B.-1<x1<2<x2
C.-1<x1<x2<2
D.x1<-1<x2<2
【点拨】关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解x1、x2,可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m(m>0)交点的横坐标.
∵二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),
∴当m>0时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x<-1或x>2.
又∵x1<x2,∴x1<-1<2<x2.
【答案】A
4.【2020·深圳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-1,n),其部分图象如图所示.以下结论错误的是(  )
A.abc>0
B.4ac-b2<0
C.3a+c>0
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根
C
【答案】B
6.【中考·荆门】抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为(  )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
7.【中考·天津】已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为(  )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
8.【2020·泸州】已知二次函数y=x2-2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1-b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则b+c的值为(  )
A.-1
B.2
C.3
D.4
【点拨】∵二次函数y=x2-2bx+2b2-4c的图象与x轴有公共点,
∴(-2b)2-4×1×(2b2-4c)≥0,即b2-4c≤0①,
把②代入①,得b2-4(b-1)≤0,即(b-2)2≤0,
∴b=2,c=b-1=2-1=1,∴b+c=2+1=3.
故选C.
【答案】C
9.【2020·遵义】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2.抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图所示,
下列结论中正确的个数有(  )
①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
∵抛物线与x轴有两个不同的交点,且顶点为(-2,3),
∴抛物线与直线y=2有两个不同的交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,故③正确;
【答案】C
10.【中考·徐州】若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是(  )
A.b<1且b≠0
B.b>1
C.0<b<1
D.b<1
【点拨】根据函数图象与坐标轴有三个交点,可得Δ=(-2)2-4b>0,解得b<1.但本题易忽略函数图象与x轴的交点不能在原点上,即b≠0.否则与坐标轴只有两个交点,故选A.
【答案】A
11.【中考·黑龙江】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、点B(-1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)过点D(0,3)作直线MN∥x轴,点P在直线MN上且S△PAC=S△DBC,直接写出点P的坐标.
解:点P的坐标为(4,3)或(8,3).
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);
(2)求抛物线的对称轴;
解:∵点A与点B关于直线x=1对称,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
13.【中考·荆州】若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.
(1)若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数,求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积;
解:∵二次函数y=x2-4图象的顶点坐标为(0,-4),
且y=x2-4是y=-x+p的伴随函数,
∴点(0,-4)在一次函数y=-x+p的图象上.
∴-4=0+p,即p=-4.
∴一次函数为y=-x-4.
(2)若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离为4,求m、n的值.
∵y=x2+2x-3是y=mx-3(m≠0)的伴随函数,
∴-4=-m-3,解得m=1.
(1)求直线BC的表达式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.(共32张PPT)
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1.2 二次函数的图象与性质
第1章
二次函数
第2课时 二次函数y=ax2(a<0)
的图象与性质
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B
A
A
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0;-4
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见习题
见习题
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17
18
见习题
见习题
C
2.已知二次函数y=-2x2,当x>0时,其图象位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
3.抛物线y=-3x2的顶点坐标是(  )
A.(-3,0)
B.(-2,0)
C.(-1,0)
D.(0,0)
D
4.若二次函数y=ax2的图象过点P(2,-4),则该图象必经过点(  )
A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.(-4,2)
D.(4,-2)
B
5.关于二次函数y=2x2与y=-2x2,下列叙述中正确的有(  )
①它们的图象都是抛物线;②它们的图象的对称轴都是y轴;③它们的图象都经过点(0,0);④二次函数y=2x2的图象开口向上,二次函数y=-2x2的图象开口向下;⑤它们的图象关于x轴对称.
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A
A
7.【中考·呼和浩特】二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是(  )
【点拨】由一次函数y=ax+a可知,一次函数的图象与x轴交于点(-1,0),排除A,B;当a>0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过第一、二、三象限,当a<0时,二次函数的图象开口向下,一次函数的图象经过第二、三、四象限,排除C.故选D.
【答案】D
8.抛物线y=-2x2不具有的性质是(  )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.有最小值
D
9.若函数y=-4x2的函数值y随自变量x的增大而减小,则x的取值范围是(  )
A.x>0
B.x<0
C.x>-4
D.x<-4
A
D
B
A
【答案】D
14.函数y=-x2(-2≤x≤1)的最大值为________,最小值为________.
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x=0时取得最大值,最大值为0,而不是当x=1时取得最大值.
0
-4
15.已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数.
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?
解:∵函数图象的开口向下,
∴m+3<0.∴m<-3.∴m=-4.
∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.
(3)当m为何值时,该函数有最小值?
解:∵函数有最小值,∴m+3>0.
∴m>-3.∴m=1.
∴当m=1时,该函数有最小值.
16.根据下列条件分别求a的值或取值范围.
(1)已知函数y=(a-2)x2.当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大.
解:由题意得a-2<0,解得a<2.
(2)函数y=(3a-2)x2有最大值.
(4)函数y=axa2+a的图象是开口向上的抛物线.
解:由题意得a2+a=2,解得a1=-2,a2=1.
又由题意知a>0,∴a=1.
17.已知函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点A(1,b).
(1)求a和b的值;
解:把点A(1,b)的坐标代入y=2x-3
得b=2×1-3=-1,
把点A(1,-1)的坐标代入y=ax2得a=-1.
(2)当x取何值时,二次函数y=ax2(a≠0)中的y随x的增大而增大?
解:∵a=-1,
∴二次函数为y=-x2,它的图象开口向下,
对称轴为y轴,
∴当x<0时,y随x的增大而增大.
(3)求二次函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标.
18.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A,B两点,如图所示,其中A(-1,-1),求△OAB的面积.
解:∵点A(-1,-1)在抛物线y=ax2(a≠0)上,也在直线y=kx-2上,
∴-1=a·(-1)2,-1=k·(-1)-2.
解得a=-1,k=-1.
∴两个函数的表达式分别为y=-x2,y=-x-2.(共32张PPT)
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1.4 二次函数与一元二次
方程的联系
第1章
二次函数
第2课时 用图象法解一元
二次方程(不等式)
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D
C
D
x<-1或x>4
B
B
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8
x<-3或x>1
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见习题
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1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为(  )
A.x1=1,x2=-3
B.x1=x2=-1
C.x1=x2=3
D.x1=-1,x2=3
D
2.二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3,那么另一个解x2是(  )
A.1
B.-1
C.-2
D.0
B
3.已知二次函数y=x2+2x-10,小明利用计算器列出了下表:
那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是(  )
A.-4.1
B.-4.2
C.-4.3
D.-4.4
C
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
x2+2x-10
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
4.【中考·包头】已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2,在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2,则下列关系正确的是(  )
A.y1>y2 
B.y1≥y2
C.y1<y2  
D.y1≤y2
【答案】D
5.【中考·随州】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0.∴abc<0,故①正确.
∵C(0,c),OA=OC,
∴A(-c,0).
把A(-c,0)的坐标代入y=ax2+bx+c,得ac2-bc+c=0,
∴ac-b+1=0,故③错误.
∵A(-c,0),对称轴为直线x=1,
∴B(2+c,0).
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,故④正确.
【答案】B
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(2,0).
(1)方程ax2+bx+c=0的解为
______________;
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集为
________________;
(3)不等式ax2+bx+c≤0的解集为_______________.
x1=-1,x2=2
-1<x<2
x≤-1或x≥2
7.【中考·济宁】如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是____________.
x<-3或x>1
8.【中考·咸宁】如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是
_____________.
x<-1或x>4
10.【中考·天门】在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x-1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=-1,二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时,y的最大值为-4,求m的值;
解:根据题意可得抛物线C:y=-x2+2x-1.
∵a<0,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=1.
当y=-4时,有-x2+2x-1=-4,
解得x=-1或x=3.
①在直线x=1左侧,y随x的增大而增大,
∴x=m+2=-1时,y有最大值-4,
则m=-3;
②在直线x=1右侧,y随x的增大而减小,
∴x=m=3时,y有最大值-4.
综上所述,m=-3或m=3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
11.【中考·云南】已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
解:∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴k2+k-6=0,解得k1=-3,k2=2.
又∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k与x轴有两个交点,
∴0-4×1×3k=-12k>0,即k<0.∴k=-3.
解:由(1)得抛物线y=x2-9.
∵点P在抛物线y=x2-9上,且点P到y轴的距离是2,
∴点P的横坐标为2或-2.
当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5,
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且点P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
12.【中考·威海】在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
乙写错了常数项,列表如下:
x

-1
0
1
2
3

y甲

6
3
2
3
6

x

-1
0
1
2
3

y乙

-2
-1
2
7
14

通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x_______时,y的值随x值的增大而增大;
≥-1
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
解:若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,
则Δ=4-4(3-k)>0,
解得k>2.(共23张PPT)
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1.4 二次函数与一元二次
方程的联系
第1章
二次函数
第3课时 二次函数在学科内
的综合应用
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1.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P,与y轴的交点为Q.过点Q的
直线y=2x+m与x轴交于点A,与
这个二次函数的图象的另一个交
点为B.若S△BPQ=3S△APQ,求这个
二次函数的表达式.
∵S△BPQ=3S△APQ,∴S△APB=4S△APQ.
∵△APQ与△APB等底(AP)不等高,
∴S△APB∶S△APQ=4∶1=BC∶OQ.
又∵OQ=c(c>0),∴(4-2b+c)∶c=4∶1.
即2b+3c-4=0 ①.
∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点,∴Δ=b2-4c=0 ②.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
又∵点A在x轴的负半轴上,∴点A的坐标为(-2,0).
将点A(-2,0)的坐标代入抛物线对应的函数表达式得,0=4a-4,解得a=1,∴y=x2-4.
(2)用含m的代数式表示线段CO的长;
解:∵P(m,m2-4),A(-2,0),
易求得直线AP对应的函数表达式为
y=(m-2)x+(2m-4).∴CO=2m-4.
3.已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)探究m取不同值时,该二次函数的图象与x轴的交点的个数;
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1,0),B(x2,0),且x21+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM对应的函数表达式.
解:令y=0,得x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0.由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4,∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2-10m-7.
∵x21+x22=5,∴2m2-10m-7=5.
∴m2-5m-6=0.解得m1=6,m2=-1.
4.【中考?黔西南州】在平面直角坐标系中,?ABOC按如图所示的方式放置,将此平行四边形
绕点O顺时针旋转90°得到?A′B′OC′,
抛物线y=-x2+2x+3经过A、C、
A′三点.
(1)求A、A′、C三点的坐标;
解:当y=0时,-x2+2x+3=0,
解得x1=3,x2=-1.
∴C(-1,0),A′(3,0).
当x=0时,y=3.
∴A(0,3).
(2)求?ABOC和?A′B′OC′重叠部分(△C′OD)的面积;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并写出此时点M的坐标.
解:如图,设M点的坐标为(m,-m2+2m+3),连结OM.(共31张PPT)
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1.5 二次函数的应用
第1章
二次函数
第1课时 利用建立坐标系解
抛物线形问题
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C
20
s
C
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B
B
D
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9
见习题
【答案】C
A.-20
m
B.10
m
C.20
m
D.-10
m
B
20
s
4.【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为(  )
A.23.5
m
B.22.5
m
C.21.5
m
D.20.5
m
C
5.【中考·北京】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+
bx+c(a≠0),图中记录了某运动员
起跳后的x与y的三组数据,根据上
述函数模型和数据,
可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为(  )
A.10
m
B.15
m
C.20
m
D.22.5
m
B
6.【中考·临沂】从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.给出下列结论:
①小球在空中经过的路程是40
m;
②小球抛出3
s后,速度越来越快;
③小球抛出3
s时速度为0;
④小球的高度h=30
m时,t=1.5
s.
其中正确的是(  )
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
【点拨】由函数图象可知上升和下降的路程都是
40
m,所以小球在空中经过的路程是80
m,故结论①错误;由于小球受到重力的作用,上升时速度越来越慢,下降时速度越来越快,当t=3
s时,小球达到最高点,此时小球的速度为0,故结论②③正确;
根据函数图象可知在上升和下降的过程中都有某一时刻,小球的高度为30
m,故有两个时间使得小球的高度为30
m,故结论④错误.综上所述,结论②③正确.
【答案】D
(1)求该抛物线对应的函数表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m,宽为4
m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货运汽车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8
m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
8.【2020·台州】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图①).
科学原理:如图②,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果在离水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的
小孔,那么从小孔射出水的射程(水
流落地点离小孔的水平距离)s(单位:
cm)与h的关系为s2=4h(H-h).
应用思考:现用高度为20
cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离为h
cm处开一个小孔.
(1)写出s2与h的关系式,并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少?
解:∵s2=4h(H-h),
∴当H=20时,s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400.
∴当h=10时,s2有最大值400,
∴当h=10时,s有最大值20.
即当h为10时,射程s有最大值,最大射程是20
cm.
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a、b,要使两孔射出水的射程相同,求a、b之间的关系式;
解:要使两孔射出水的射程相同,则有:
4a(20-a)=4b(20-b),∴20a-a2=20b-b2,
∴a2-b2=20a-20b,∴(a+b)(a-b)=20(a-b),
∴(a-b)(a+b-20)=0,∴a-b=0或a+b-20=0,
∴a=b或a+b=20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16
cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
9.【中考·滨州】如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x.请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15
m时,飞行时间是多少?
解:当y=15时,15=-5x2+20x,
解得x1=1,x2=3.
故在飞行过程中,当小球的飞行高度为15
m时,飞行时间是1
s或3
s.
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
解:当y=0时,0=-5x2+20x,
解得x1=0,x2=4.
4-0=4(s),
故在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4
s.
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
解:∵y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20,
∴当x=2时,y取得最大值,y最大=20.
故在飞行过程中,小球飞行高度在第2
s时最大,最大高度是20
m.(共37张PPT)
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阶段核心归类
利用二次函数解实际应用问题的六种常见类型
第1章
二次函数
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见习题
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7
见习题
1.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16
m,
AE=8
m,抛物线的顶点C到ED
的距离是11
m,以ED所在的直
线为x轴,抛物线的对称轴为
y轴建立平面直角坐标系.
(1)抛物线对应的函数表达式是______________________;
2.为备战奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练.如图,已知排球场的长度OD为18
m,位于球场中线处球网的高度AB为2.43
m,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8
m的C点向正前方飞出,排球的飞行路线是一条抛物线.当排球运行至离点O的水平距离OE为7
m时,到达最高点G,
建立如图所示的平面直角坐
标系.
(1)当球上升的最大高度为3.2
m时,求排球飞行的高度y(单位:
m)与离点O的水平距离x(单位:
m)之间的函数表达式(不要求写自变量x的取值范围).
解:根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7,3.2),
∴设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-7)2+3.2.
(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5
m的点F处有一队员,她起跳后的最大高度为3.1
m,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明;
(3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
3.【中考·十堰】某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼,其进价为18元/kg,设第x天的销售价格为y(元/kg),销售量为m(kg).该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①当1≤x≤30时,y=40;当31≤x≤50时,y与x满足一次函数关系,且当x=36时,y=37;x=44时,y=33.②m与x之间的函数关系式为m=5x+50.
(1)当31≤x≤50时,y与x之间的函数关系式为______________.
(2)x为多少时,当天的销售利润W(元)最大?最大利润为多少?
(3)若超市希望第31天到第35天的日销售利润W(元)随x的增大而增大,则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg,求a的最小值.
4.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80
m的围
网在水库中围成了如图所示的①
②③三块矩形区域,而且这三块
矩形区域的面积相等.设BC的长
度是x
m,矩形区域ABCD的面积
为y
m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.
(2)当x取何值时,y有最大值?最大值是多少?
5.如图,△ABC是边长为3
cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1
cm/s,当点
P运动到B时,两点均停止运
动,设P点运动时间为t
s.
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y
cm2,求y关于t的函数表达式,当t取何值时,四边形APQC的面积最小?并求出最小面积.
6.【中考·资阳】某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元)与采购数量x1(台)满足y1=-20x1+1
500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元)与采购数量x2(台)满足y2=-10x2+1
300(0<x2≤20,x2为整数).
(2)该商家分别以1
760元和1
700元的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.
解:设总利润为W元,y2=-10x2+1
300=-10
(20-x1)+1
300=10x1+1
100,∴W=(1
760-y1)
x1+(1
700-y2)x2=1
760x1-(-20x1+1
500)x1+
(1
700-10x1-1
100)(20-x1)=1
760x1+20x21-
1
500x1+10x21-800x1+12
000=30x21-540x1+
12
000=30(x1-9)2+9
570.
当x1>9时,W随x1的增大而增大,∵11≤x1≤15,
∴当x1=15时,W最大=30×(15-9)2+9
570=10
650.
故采购空调15台时总利润最大,最大利润为
10
650元.
7.【中考·衢州】某宾馆有若干间标准房,当每间标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间.经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元、240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:
x(元)

190
200
210
220

y(间)

65
60
55
50

(1)根据所给数据在如图所示的坐标系中描出相应的点,并画出图象.
解:如图.
(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)设客房的日营业额为w(元).若不考虑其他因素,问宾馆每间标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?
∴在170≤x≤240范围内,w随x的增大而减小.
∴当x=170时,w取得最大值,最大值为12
750.
答:宾馆每间标准房的价格定为170元时,客房的日营业额最大,最大为12
750元. (共33张PPT)
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1.1 二次函数
第1章
二次函数
4
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C
B
B
C
B
D
D
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C
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A
B
C
B
13
14
15
见习题
见习题
见习题
16
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C
2.下列各式中,y是x的二次函数的是(  )
A.y=ax2+bx+c
B.x2+y-2=0
C.y2-ax=2
D.x2-y2+1=0
B
3.若函数y=(m-2)x2+4x-5(m是常数)是二次函数,则(  )
A.m≠-2
B.m≠2
C.m≠3
D.m≠-3
B
4.若y=(m-1)xm2+1是二次函数,则m的值是(  )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.2
B
【点拨】由二次函数的定义可知m2+1=2,且m-1≠0,解得m=-1.
5.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是(  ) 
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
D
6.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是(  )
A.a=1,b=-3,c=5
B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1
D.a=5,b=-3,c=1
D
7.关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是(  )
A.y是x的二次函数
B.二次项系数是-10
C.一次项是100
D.常数项是20
000
C
8.若二次函数y=ax2+(2a+b)x+3b的二次项系数比一次项系数小8,一次项系数比常数项大4,则这个二次函数的表达式为(  )
A.y=5x2+3x+8
B.y=5x2-13x+9
C.y=5x2+13x+9
D.y=5x2+13x-9
【答案】C
9.【2020·杭州】设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,(  )
A.若h=4,则a<0
B.若h=5,则a>0
C.若h=6,则a<0
D.若h=7,则a>0
【答案】C
10.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价格为y万元,那么y与x之间的函数表达式为(  )
A.y=60(1-x)2
B.y=60(1-x)
C.y=60-x2
D.y=60(1+x)2
A
【答案】B
12.若函数y=(3-m)xm2-7-x+1是关于x的二次函数,则m的值为(  )
A.3
B.-3
C.±3
D.9
【答案】B
【易错总结】求二次函数中字母的值时,要根据二次函数的定义,在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下,必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中,往往容易忽略二次项系数不为0这个条件,只是从自变量的最高次数是2入手列方程求m的值,从而得出错解.
13.某广告公司设计一个周长为12
m的矩形广告牌,设计费为每平方米1
000元,设矩形一边的长为x
m,面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数表达式,并确定自变量x的取值范围;
(2)若要求设计的广告牌的边长为整数,请你填写下表,并探究当x取何值时,广告牌的设计费最多.
x(m)
S(m2)
设计费(元)
当x=3时,广告牌的设计费最多.
14.观察如图所示图形的构成规律.
(1)如果第n个图中有S个圆,试写出S与n的函数表达式;
解:S=n2+1.
(2)这个函数是不是二次函数?
解:是二次函数.
解:王刚所举的例子是正确的,其余四名同学所举的例子错误.y=(x+2)2-x2整理后为y=4x+4,是一次函数,故李红所举的例子是错误的.y=ax2+bx+c(a,b,c为常数),当a=0时此函数是一次函数或常数函数,当a≠0时此函数是二次函数,故赵华所举的例子是错误的.
(1)评一评,上面五名同学所举的例子正确吗?若错误,错在哪里?
解:写一个二次函数的表达式应注意的问题:①自变量只有一个;②自变量的最高次数是2;③二次项系数不为0;④含自变量的代数式必须是整式.
(2)想一想:写一个二次函数的表达式应注意哪些问题?
16.如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上.设AE=x,正方形EFGH的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式;
解:y=2x2-4x+4.
(2)若正方形EFGH的面积为2,求AE的长.
解:令y=2,则2x2-4x+4=2,
整理得x2-2x+1=0,
解得x1=x2=1,即AE的长为1.(共30张PPT)
XJ版九年级下
1.3 不共线三点确定二次
函数的表达式
第1章
二次函数
4
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6
7
1
2
3
5
见习题
A
A
见习题
B
C
D
8
C
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10
11
9
B
见习题
见习题
1.已知二次函数y=ax2+bx,阅读下面的表格信息,由此可知y与x的函数表达式是________.
x
-1
1
y
0
2
【答案】y=x2+x
2.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状相同,开口方向也相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的表达式为(  )
A.y=-2(x-1)2+3
B.y=-2(x+1)2+3
C.y=-(2x+1)2+3
D.y=-(2x-1)2+3
B
【答案】A
4.若二次函数y=x2+bx+5,配方后为y=(x-3)2+k,则b与k的值分别为(  )
A.-6,-4
B.-6,4
C.6,4
D.6,-4
A
C
6.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为(  )
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2+2x+3
C.y=-x2+2x-3
D.y=-x2-2x+3
【答案】D
7.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:
若输入的数是x时,输出的数是y,且y是x的二次函数,则y与x的表达式为____________.
y=x2+1
输入

1
2
3
4
5

输出

2
5
10
17
26

8.【2020·长沙】“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.
在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:p=at2+bt+c(a≠0,a、b、c是常数),如图记录了
三次实验的数据.
根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(  )
A.3.50分钟
B.4.05分钟
C.3.75分钟
D.4.25分钟
C
9.【中考·烟台】对于抛物线y=ax2+bx+c,y与x的部分对应值如下表:
x
-1
0
2
3
4
y
5
0
-4
-3
0
下列结论:①抛物线的开口向上;
②抛物线的对称轴为直线x=2;
③当0<x<4时,y>0;
④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;
⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1<x2.
其中正确的个数是(  )
A.2
B.3
C.4
D.5
【点拨】根据题意知该抛物线的表达式可以写为y=ax(x-4),把(-1,5)代入可解得a=1>0,∴抛物线的开口向上,①正确.
抛物线的表达式为y=x2-4x,∴抛物线的对称轴为直线x=2,②正确.∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0),∴当0【答案】B
10.【2020·宁波】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A、C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围;
解:把B(1,0)的坐标代入y=ax2+4x-3,
得0=a+4-3,解得a=-1,
∴y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴A(2,1),
∵对称轴为直线x=2,点B、点C关于直线x=2对称,
∴C(3,0),∴当y>0时,1<x<3.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
解:易知D(0,-3),
∴点D平移到A,抛物线向右平移2个单位长度,向上平移4个单位长度,可得抛物线的表达式为y=-(x-4)2+5.
11.【中考·菏泽】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),
C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的函数表达式;
(2)记抛物线的顶点为D,求△BCD的面积;
由B,C两点坐标易得直线BC的表达式为y=-x+4,如图,作抛物线的对称轴,交BC于点H,则点H的坐标为(1,3).