(共37张PPT)
XJ版九年级下
2．7 正多边形与圆
第2章
圆
第2课时 用三角函数解圆中的
计算问题
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D
一、选择题
C
A
B
5．【中考·黔东南州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
二、填空题
6．【中考·玉林】如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos
E＝________.
7．【中考·泰安】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos
C的值为________．
8．【中考·荆州】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.
9．【2020·北京】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
三、解答题
证明：连接OD，如图所示．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AD⊥BD.
∵OF⊥AD，∴OF∥BD.∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°.
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°.
∴∠CDA＝∠BDO.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.
∴∠ADC＝∠AOF.
10.【中考·镇江】如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以点O为圆心，OD长为半径的圆过点B.
(1)求证：直线AB与⊙O相切．
证明：证明：连接OB，如图所示．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD.
∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，
∴∠D＋∠OCD＝90°.∴∠D＋∠ABC＝90°.
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，
∴∠OBD＋∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB.
∵点B在⊙O上，
∴OB是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切．
(2)若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝_______．
11．【中考·广安】如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC.
证明：连接OC.
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
即∠OCB＋∠OCA＝90°.
∴∠PCA＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.
∴∠PCA＝∠ABC.
解：∵AE∥PC，∴∠CAF＝∠PCA.
∵AB⊥CG，∴AC＝AG，
∴∠ABC＝∠ACG.
∵∠PCA＝∠ABC，∴∠ACG＝∠CAF.
∴AF＝CF＝10.
︵
︵
12．【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF.
(1)求证：BF是⊙O的切线．
证明：连接AE，如图．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴2∠1＝∠BAC.
∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF.
∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°.∴AB⊥BF.
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线．
解：过点C作CH⊥BF于点H，如图.
13．【中考·广安】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的
外接圆⊙O交AC于点F，连接EF.
(1)求证：BC是⊙O的切线．
证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°.
∴AE是⊙O的直径．
∴AE的中点是圆心O.
如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA.∴OD∥AC.
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC⊥DO.
又∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．(共31张PPT)
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2.3 垂径定理
第2章
圆
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C
2．【2020·滨州】在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
C
B
【点拨】如图，过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE.
【答案】C
5．【中考·嘉兴】如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
C
【点拨】垂径定理包含“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弦”这样一个推论，故①②③都正确，④错误．
【答案】B
【点拨】连接OA，OB，OB交AF于G，如图，
设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5.
【点拨】根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特殊，容易误认为CD平分OB.
【答案】C
10．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD.
证明：如图，
过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
11．如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO＝8，BC＝12.
(1)求线段OD的长．
解：如图，连接OB.
解：连接AC，
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AF＝BF，∴AC＝BC.
(2)求⊙O的半径．
13．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若重型运输
卡车P沿道路ON方向行驶的速度
为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离．
解：如图，过点A作AD⊥ON于点D.
∵∠NOM＝30°，AO＝80米，
∴AD＝40米，即对学校A的噪
声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
解：如图，以A为圆心，50米长为半径画圆，分别交ON于B，C两点，连接AB，AC，(共36张PPT)
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2．7 正多边形与圆
第2章
圆
第1课时 正多边形与圆
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A
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B
1．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为( )
A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补
D．不能确定
D
3．【中考·湖州】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是( )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
C
C
【点拨】连接OA，OB，OD，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示．
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°.
【答案】B
A
7.【中考·威海】如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，则图中阴影部分的面积是( )
A．18＋36π
B．24＋18π
C．18＋18π
D．12＋18π
【点拨】如图，过点F作FH⊥BC交BC延长线于点H，连接AE.
【答案】C
8．如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
(1)正三角形；(2)正方形；(3)正六边形；(4)正八边形．
解：如图所示．(画法不唯一)
【答案】A
10．【中考·镇江】在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10，小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)．
(1)∠ABC＝________°；
30
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．
(参考值：sin
78°≈0.98，cos
78°≈0.21，tan
78°≈4.70)
11．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
解：如图，先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F和C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．(作法不唯一)
(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
解：四边形BCEF是矩形．
证明：如图，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝AF＝DE＝DC＝FE＝BC，
∠FED＝∠EDC＝120°.
∴∠DEC＝∠DCE＝30°.
∴∠FEC＝90°.
同理∠EFB＝∠FBC＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
12．【中考·铜仁】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G.
(1)求证：FG是⊙O的切线．
证明：连接OF，如图．
∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°.
∴∠ABF＝∠OFB.∴AB∥OF.
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG.
又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．
∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形．
∴∠AFO＝60°.
13．如图①②③④，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCD…分别内接于⊙O，点M，N分别从点B，C同时开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN相交于点P.
(1)图①中，∠APN＝________.
(2)图②中，∠APN＝________，
图③中，∠APN＝________.
60°
90°
108°
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数的关系．(直接写答案)(共38张PPT)
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2．2.2 圆周角
第2章
圆
第3课时 圆内接四边形
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见习题
1．下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
B
2．下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
A
3．下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
C
4．【2020·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
A
6．【2020·黄石】如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为( )
A．140°
B．70°
C．110°
D．80°
【点拨】如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP.
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°.
∵A，C，B，P四点共圆，
∴∠P＋∠ACB＝180°.
∴∠ACB＝180°－70°＝110°.
【答案】C
B
8．【中考·天水】如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
C
【点拨】如图，连接AC.
∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2.
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA.∴AC＝AD＝5.
【答案】D
10.【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
C
【点拨】连接EC.
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF＝∠ECF＝∠ACB＝90°.∴∠BCF＝∠ACE.
∵四边形BCDE内接于⊙O，
∴∠EFC＝∠ABC＝180°－∠EDC＝45°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°＝∠ABC，
∴AC＝BC.
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝∠BFC.∴△ACE≌△BCF(AAS)．
∴AE＝BF.
【答案】C
12．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164°
D．32°或148°
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处在于画图时考虑不全面而漏解．
【答案】D
解：如图，连接OA，OC，作OH⊥AC于点H.
(2)求证：AB＋BC＝BM.
证明：如图，在BM上截取BE＝BC，连接CE.
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠CEB＝60°.
∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°
＝∠ABC.
∴△ABC≌△MEC(AAS)．
∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM.
解：∠CP′D＋∠COB＝180°.
证明：∵四边形PCP′D是⊙O的圆内接四边形，
∴∠CP′D＋∠CPD＝180°.
又∵∠COB＝∠CPD，
∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
15．【中考·湖州】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°.
∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°.
∴BD＝CD.
解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°.
如图，连接OB，OC.
16．【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F.求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形；
证明：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B.
∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.
∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD.∴BD∥CF.
又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)AF＝EF.
解：如图，连接AE.
∵∠ADF＝∠B，
∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B.
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF＋∠EAF＝180°.
∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°.
∴∠EAF＝∠B.∴∠AEF＝∠EAF.
∴AF＝EF.(共38张PPT)
XJ版九年级下
2.5.3 切线长定理
第2章
圆
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B
1．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
2．【中考·南充】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
3．【2020·永州】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
4．【中考?哈尔滨】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为( )
A．60°
B．75°
C．70°
D．65°
D
【点拨】如图，设直角三角尺与光盘的切点为C，光盘所在圆的圆心为O，连接OA，OB，则∠BAC＝120°.
【答案】D
C
︵
【点拨】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠BFO＝∠BGO＝90°.
又OE＝OF＝OG，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形．
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3.
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG.
∴CM＝5－2－MN＝3－MN.
【答案】A
【点拨】如图，连接OD.
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝DT，故A正确．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°.
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT(SSS)．
∴∠DOC＝∠DOT.
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°.
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.
∴∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝∠ODB.
∴BD＝BO，故C正确．故选D.
【答案】D
9．如图，⊙O与正方形ABCD的四条边均相切，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M.若CM＋CN＝4，则⊙O的面积为________．
4π
10．【中考·枣庄】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，
且CD＝CB，连接DO并延长交CB的
延长线于点E.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OC.
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD(SSS)．
∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∴OD⊥CD.
∵OD为⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切．
(2)若BE＝2，DE＝4，求⊙O的半径及AC的长．
解：设⊙O的半径为r.
在Rt△OBE中，∵OE2＝OB2＋EB2，
∴(4－r)2＝r2＋22.
解得r＝1.5，即⊙O的半径为1.5.
11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.
∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形．
∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
12．【中考·威海】已知：AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的
切线DF交BC于点F.
(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF.
解：证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，
∴OA＝OD＝
OE＝OB＝1.
∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等边三角形．
∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.
∴△AOD和△BOE都是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.
∴△CDE是等边三角形．
∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF.
∴∠EDF＝90°－60°＝30°.
∴∠DFE＝90°.∴DF⊥CE.
∴CF＝EF.
(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断BF与CF是否相等，并说明理由．
解：相等．理由如下：
当点E运动至与点B重合时，BC与⊙O只有一个公共点，即BC是⊙O的切线．
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF＝DF.∴∠BDF＝∠DBF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∴∠BDF＋∠FDC＝∠C＋∠DBF＝90°.
∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.
13．(1)如图①，四边形ABCD的四条边均与⊙O相切，切点分别为E，F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：由切线长定理，得AE＝AH，
BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝
AH＋BF＋CF＋DH＝BC＋AD，
即AB＋CD＝BC＋AD.
(2)如图②，四边形ABCD的三边分别切⊙O于点F，G，H，试说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M.
由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.
∵AB＜AM＋BM，
∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，
即AB＋CD＜BC＋AD.(共38张PPT)
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2．5.2 圆的切线
第2章
圆
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B
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C
1．下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，下列补充的条件中不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
A
D
4．【中考·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
B
A
6．【2020·徐州】如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于( )
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
B
D
∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD.
【答案】A
9.如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°.若BD＝6，AB＝4，则弦BC的长为________．
【点拨】连接OC，CD，
∵AC与⊙O相切于点C，∴AC⊥OC.
∵∠CAB＝90°，∴AC⊥AB，∴OC∥AB，
∴∠ABC＝∠OCB.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO.
10．【中考·嘉兴】如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【答案】B
11．【2020·湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD.
由Rt△ABD≌Rt△ACD知BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．
12．【2020·营口】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图所示．
∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC.即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，∴AB为⊙O的切线．
解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
∵AD＝2，∴AO＝OD＋AD＝3x＋2.
∴3x＋2＝5x.∴x＝1.
∴OA＝3x＋2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3.
∴AC＝OA＋OC＝5＋3＝8.
13．【2020·青海】如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC
交⊙O于点D，连接CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OD，如图所示．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∵AD∥OC，
∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD.
∴∠COD＝∠COB.
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC(SAS)．
∴∠ODC＝∠OBC.
∵BC是⊙O的切线且OB为⊙O的半径，
∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.
又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
解：连接BD，如图所示．
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.
14．【中考·宜昌】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB.
(1)求证：DE＝OE.
证明：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，
∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD＝90°.
∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE.
(2)若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
解：∵OD＝OE，DE＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°.
又∵OA＝OB＝OE＝DE，
∴OA＝OB＝DE＝EC.
∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴△ABO≌△CDE，∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．(共21张PPT)
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阶段核心技巧
构造与圆的基本性质有关的基本图形的六种常用作辅助线的技巧
第2章
圆
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1．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于B，E，且AB＝OC，若∠DOE＝72°，求∠A的度数．
解：如图，连接OB.∵点B，E在⊙O上，CD为直径，∴OB＝OE＝OC.
又∵AB＝OC，∴OB＝AB＝OE.
∴∠A＝∠AOB，∠E＝∠EBO.
又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，
∴∠EBO＝∠E＝2∠A.
又∵∠DOE＝∠A＋∠E，
∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°.∴∠A＝24°.
2．如图，A，B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB为⊙O上关于点A，B的滑动角．
(1)若AB为⊙O的直径，
则∠APB＝________；
90°
4．如图，点A，B，C是⊙O的三等分点．
(1)求∠AOB的度数；
(2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO.
(1)求证：∠BAD＝∠CAO；
证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，∴∠ACE＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ACE＝∠ADB.
又∵∠B＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAO.
(2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长．
(1)四边形EBFD是矩形；
证明：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴BD为⊙O的直径．
∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，
∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°.
∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°.
∴四边形EBFD是矩形．
(2)DG＝BE.
又∵四边形BEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，BE＝DF.
∴∠DGF＝90°－∠DFG＝45°＝∠DFG.
∴DG＝DF，DG＝BE.(共41张PPT)
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2．2.2 圆周角
第2章
圆
第2课时 圆周角和直径的关系
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D
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【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.
【答案】A
4.【中考·滨州】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；
③BC平分∠ABD;
④AF＝DF；
⑤BD＝2OF;
⑥△CEF≌△BED.
其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥
B．①③⑤⑥
C．②③④⑥
D．①③④⑤
连接OD，∵BD⊥AD，OC∥BD，∴OC⊥AD.
又∵OA＝OD，∴∠AOC＝∠COD.
∵∠AOC＝2∠ABC，∠COD＝2∠CBD，
∴∠ABC＝∠CBD，因此③正确．∵OA＝OD，OC⊥AD，∴AF＝DF，因此④正确．∵AF＝DF，AO＝BO，∴BD＝2OF，因此⑤正确．
【答案】D
若△CEF≌△BED成立，则CF＝BD，此时CF＝2OF，而由已知无法推出CF＝2OF，故⑥不一定成立．因此①③④⑤一定成立，故选D.
【点拨】如图，连接BD.
∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC.
又∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD.
∵DE⊥AB，∴∠ABD＋∠BDE＝90°.
又∵∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE.∴∠ADE＝∠DAC.
∴FA＝FD＝5.
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠DEB，
∴△ADE∽△DBE.
∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8.
∴BE＝16.∴AB＝4＋16＝20.
【答案】C
6．下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
D
7．【中考?台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是( )
B
D
9．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4
cm，点F是弦BC的中点，∠ABC＝60°，若动点E以2
cm/s的速度在线段AB上由A向B运动，连接EF，设运动时间为t
s，当△BEF是直角三角形时，t的值
等于________．
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵点F为BC的中点，BC＝4
cm，
∴BF＝CF＝2
cm.
∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8
cm.
以下分为两种情况：
①如图①，当∠EFB＝90°时，
∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF.
∵FC＝BF，∴AE＝BE，即点E和点O重合，
AE＝4
cm，∴t＝4÷2＝2.
10．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E.
(1)试探究∠CBE与∠BAC之间的数量关系．
解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC.
11．【中考·宜昌】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形．
证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴BE＝CE.
又∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．
解：设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.
由(1)知BC＝2BE＝4.
【点拨】本题通过构造直径所对的圆周角，得到直角三角形，从而可利用勾股定理解决问题．
如图，连接BD.
∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2－AD2＝CB2－CD2，
∴(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或x＝－8(舍去)．
12．如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与E，D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.
(1)求证：△EFB≌△ADE.
证明：如图，连接FA.
∵∠FEB＝90°，
∴EF⊥AB，∠FEA＝90°.
∵BE＝AE，∴BF＝AF.
∵∠FEA＝90°，∴AF是⊙O的直径．
∴AF＝DE.∴BF＝ED.
∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°.
(2)当点A在⊙O上移动时，四边形FCDE的最大面积为多少．
解：四边形FCDE的最大面积＝4×2＝8.
13．【中考·温州】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF.
(1)求证：四边形DCFG是平行四边形．
证明：如图，连接AE，EF.
∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径．
∴∠FEC＝90°，易证Rt△EFC≌Rt△AFC(HL)，∴∠FCE＝∠FCA.易证△CEM≌△CAM(SAS)，∴∠CME＝∠CMA＝90°，即CF⊥AE.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠ACD＝90°，即DG⊥AE.
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∠AMC＝∠AED＝90°.
∴AB∥CD，CF∥DG.
∴四边形DCFG是平行四边形．
∵四边形DCFG是平行四边形，
∴FG＝CD＝3x.
∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x.
∴BG＝8x－3x－3x＝2x.(共30张PPT)
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阶段核心方法
证明圆的切线的常用方法
第2章
圆
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1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
2．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：PD与⊙O相切．理由：
如图，连接PO，
则∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.
∴∠OPD＝180°－∠OAP－∠OPA－∠D＝90°，
即OP⊥PD.
又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．
3．【2020·邵阳】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.
∴∠OAB＝∠C.
∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.
∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
解：由(1)可知AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AOD＝2∠B，
∴∠AOC＋∠C＝2∠B＋∠C＝3∠C＝90°.
∴∠B＝∠C＝30°.
4．【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.∴OD⊥BC.
又∵OD为半径，∴BC与⊙O相切．
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
解：如图，连接DE.
∵AE是⊙O的直径，AE＝10，
∴∠ADE＝90°，OA＝OE＝OD＝5.
∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.
5．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接PO，C是⊙O上的点，AC∥OP.
(1)求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠POB，∠POC＝∠OCA.
∴∠POB＝∠POC.
∵OC＝OB，OP＝OP，∴△POC≌△POB，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
(2)若∠A＝60°，AB＝4，求PC的长．
解：∵AB＝4，∴OB＝2.
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.
求证：CD与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA.
即OH是⊙O的半径．
又∵OH⊥DC，∴CD与⊙O相切．
7．【中考·江西】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，
且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线．
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E.
∵⊙O与BC相切于点C，∴AC⊥BC.
∵∠AOD＝∠BAD，AD⊥BD，
∴∠OAD＝∠ABD.
易知∠OAD＝∠OBC，
∴∠ABD＝∠OBC，∴OE＝OC，
∴点E在⊙O上，即OE为⊙O的半径．
∴AB为⊙O的切线．(共32张PPT)
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2．2 圆心角、圆周角
第2章
圆
2．2.1 圆心角
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1．下面四个图形中的角，是圆心角的是( )
D
C
【答案】C
4．在同圆或等圆中，不一定成立的是( )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的弧所对的弦相等
D．相等的弧所对的圆心角相等
B
D
6．观察下列图形及相应推理，其中正确的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
C
7．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO的长度相等的线段有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
D
【答案】D
9．如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
【答案】C
【易错总结】对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆心到弦的距离中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组量之间的关系判断不准，从而导致错误．
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
又∵AO＝BO，∴AD＝BE.
在Rt△AOE和Rt△DOF中，OA＝OD，
AE＝DF，∴Rt△AOE≌Rt△DOF，∴OE＝OF.
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥OD，
∴四边形OEPF是矩形．
又∵OE＝OF，∴四边形OEPF是正方形．
30
(2)求弦AD的长．
解：易知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°.
又∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，
∴AD＝OA＝4.
(3)若P是半径OC上一动点，连接AP，PD，请求出AP＋PD的最小值，并说明理由．
解：如图，延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P，连接AP，此时AP＋PD的值最小．
理由如下：∵OA⊥OC，OA＝OB，∴PA＝PB.
∴PA＋PD＝PB＋PD＝BD.∵两点之间，线段最短，
∴AP＋PD的最小值为BD的长．
过点O作OH⊥BD于点H.
由(2)知∠AOD＝60°.
(1)求证：△BFG≌△CDG.
∵BC＝BF，∴∠BCF＝∠BFG，∴∠CDG＝∠BFG.
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
又∵OD＝OB，
∴OC⊥BD，DH＝BH.(共51张PPT)
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2．5.4 三角形的内切圆
第2章
圆
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1．下列说法中错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
C
2．【中考·广州】如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
3．【中考·烟台】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
C
4.【中考·河北】如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为( )
A．4.5
B．4
C．3
D．2
【点拨】如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，
∴∠CAI＝∠BAI.由平移得AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID.∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI.
同理可得BE＝EI.
∴阴影部分的周长＝DE＋DI＋EI＝DE＋AD＋BE＝AB＝4，故选B.
【答案】B
5．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
【点拨】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2＋CA2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.
∵AB，AC与⊙O分别相切于点F，E，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，AF＝AE.
易知四边形OFAE为正方形．
设OE＝r，则AE＝AF＝r，
【答案】A
6．【中考?德州】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”该直角三角形的内切圆直径为( )
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步
C
【点拨】如图，过点B作BH⊥CD于点H.
【答案】C
【点拨】连接OA，OE，OD，OB，OB交DE于点H，如图．
∵等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AO平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD.
∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，
∴DH＝EH，OB⊥DE.
【答案】D
9.【中考·荆门】如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为( )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(3，－2)
D．(2，－3)
【点拨】如图，过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E.
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，且等于其内切圆的半径．
∴IF＝CF＝1，
则AE＝1，IE＝3－1＝2，
则OE＝4－1＝3，则I(3，2)，
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I′的坐标为(－2，3)．
【答案】A
10．如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆交于点D，和BC交于点E.求证：DI＝DB.
【易错总结】三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆．易混淆三角形的内心与外心的概念，造成错误．
证明：如图，连接BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI.
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
11．如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O是△ABC的内心．
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.
∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，
∴△OEF≌△OGH≌△OMN．
∴OD＝OP＝OQ.
∴点O是△ABC的内心．
(1)用海伦公式求△ABC的面积．
(2)求△ABC内切圆的半径r.
13．【中考·鄂州】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线．
∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OBP＝90°，∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
(2)求证：E为△PAB的内心．
证明：连接AE，如图．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.
∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB且交∠PAD的平分线于点E.
∴E为△PAB的内心．
∵∠DPA＋∠PAD＝90°，∠PAD＋∠BAC＝90°，
∴∠DPA＝∠BAC.
14．【中考·呼和浩特】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，
垂足为H.
(1)求证：E为BC的中点．
证明：连接OE，如图．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线．
又∵DE是⊙O的切线，∴DE＝BE.
∵O为AB的中点，∴E为BC的中点．
(2)若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
解：连接BD，如图．
由(1)可知DE是Rt△BCD的中线，
∴DE＝CE.
∴△DEC为等边三角形．(共35张PPT)
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2．5 直线与圆的位置关系
第2章
圆
2．5.1 直线与圆的位置关系
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1．在平面直角坐标系中，圆心P的坐标为(－3，4)，以r为半径在坐标平面内作圆．
(1)当r满足________时，⊙P与坐标轴有1个交点；
【点拨】当⊙P和y轴相切时，⊙P与坐标轴有1个交点，此时r＝3.
r＝3
(2)当r满足____________时，⊙P与坐标轴有2个交点；
【点拨】当⊙P和y轴相交，且和x轴相离时，⊙P与坐标轴有2个交点，此时3＜r＜4.
3＜r＜4
(3)当r满足______________时，⊙P与坐标轴有3个交点；
【点拨】当⊙P和y轴相交且和x轴相切或⊙P经过原点时，⊙P与坐标轴有3个交点，此时r＝4或5.
r＝4或r＝5
(4)当r满足___________时，⊙P与坐标轴有4个交点．
【点拨】当⊙P和x轴，y轴都相交且不经过原点时，⊙P与坐标轴有4个交点，此时r＞4且r≠5.
r＞4且r≠5
2.如图，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的长的取值范围是( )
A．8≤AB≤10
B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5
D．4＜AB≤5
A
B
4．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则正确反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
5．已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相切或相交
D
6．【中考·广州】平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
7．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；
③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；
⑤若d＜1，则m＝4.其中正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．5个
C
∴A(－4，0)，B(0，－3)．
∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝5.
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，如图，则PD⊥AB，PD＝1.
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为________________.
【点拨】由题意可得AB＝OC＝2，BC＝OA＝4，本题分四种情况．
(1)当⊙P与矩形OC，OA，BC三边相切时，圆的半径为1，圆心P的坐标为(1，1)；
(2)当⊙P与矩形OA，AB，BC三边相切时，圆的半径为1，圆心P的坐标为(3，1)；
(3)当⊙P与矩形OC，AB，BC三边相切时，圆的半径为2，圆心P的坐标为(2，0)；
(4)当⊙P与矩形OC，AB，OA三边相切时，圆的半径为2，圆心P的坐标为(2，2)．
本题易因考虑圆与哪三条边相切不全面而漏解．
【答案】(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
10．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
(2)请你判断BC与(1)中⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：BC与⊙P相切．证明：
如图，过P作PD⊥BC，交BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.
∴点P到BC的距离等于⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
11．【中考·徐州】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
︵
(1)求证：∠A＝∠DOB.
(2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
解：DE与⊙O相切．
理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.
∵DE⊥AE，∴OD⊥DE.
∴圆心O到DE的距离等于半径．
∴DE与⊙O相切．
12．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：如图①，过O点作OF⊥AM于点F，∵∠A＝30°，∴OA＝2OF.
当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，⊙O与AM相切．
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：如图②，过O点作OG⊥AM于
点G，则
BG＝CG.
13．【中考·扬州】如图，已知?OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．
解：DE与半圆O相切．
理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD∥OC，∴∠OCE＝∠D＝90°.
∴CO⊥DE.又∵CO为半径，∴DE与半圆O相切．
(2)①求证：CF＝OC.
证明：如图，连接OB.
∵OA＝OC，
∴平行四边形OABC是菱形．
∴OA＝OB＝AB.
∴△AOB为等边三角形．
∴∠BAO＝60°.
∵AD∥OC，
∴∠COF＝∠BAO＝60°.
∵OC＝OF，
∴△OCF是等边三角形．
∴CF＝OC.
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
解：在Rt△OCE中，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴∠E＝30°.(共39张PPT)
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2．6 弧长与扇形面积
第2章
圆
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见习题
见习题
见习题
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D
【点拨】作O点关于直线AB的对称点O′，连接O′A，O′B，
则OA＝OB＝O′A＝O′B，
∴四边形OAO′B为菱形．
【答案】B
5．【中考?长沙】一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
C
D
【点拨】如图，连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形．
∴CD∥OE.∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°.
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积．
【答案】A
B
【答案】B
11．【中考·齐齐哈尔】如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，则∠COA＝2∠B.
∵AD＝AB，∠D＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°.∴∠COA＝60°.
∴∠OAD＝180°－60°－30°＝90°.
∴OA⊥AD，又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AD是⊙O的切线．
(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】C
13．如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形ABD，分别以AB，AD为直径的两个半圆交于点E，求图中
阴影部分的面积．
14．【中考·长春】如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD边于点G.
(1)求证：△ABE≌△BCG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，AB＝BC，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，∴∠BAF＝∠EBF.
(2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求BF的长．
解：连接OF，如图．
︵
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°.
︵
解：CD是⊙O的切线．理由如下：
如图，连接OC，
(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：如图，连接OE，连接BE交OC于点F，(共33张PPT)
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2．2.2 圆周角
第2章
圆
第1课时 圆周角、圆心角、弧的关系
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60°或120°
D
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
C
4
∠C与∠D
∠A与∠B
B
4．【中考·宜昌】如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
A
B
【答案】C
7.【2020·杭州】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则( )
A．3α＋β＝180°
B．2α＋β＝180°
C．3α－β＝90°
D．2α－β＝90°
【点拨】∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°.
∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α.
∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α.
【答案】D
∵∠AOD＋∠COD＝90°，
∴β＋180°－2α＝90°，∴2α－β＝90°.
8．【中考·柳州】如图，A，B，C，D均是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
D
【答案】D
【答案】60°或120°
【易错总结】对于图形不明确型问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)．
解：如图即为补全的图形．
圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角度数的一半
∠BPC
(2)AE＝CE.
13．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
(1)求证：AD＝AN.
∵AB⊥CD，AM⊥BC，
∴∠CEB＝∠AMC＝90°，
∴∠ABC＋∠C＝∠CNM＋∠C，
∴∠ABC＝∠CNM.
又∠CNM＝∠AND，∴∠ABC＝∠AND，
∴∠D＝∠AND，∴AD＝AN.
解：连接OA，OB，如图．
14．【中考·德州】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：______________.
等边三角形
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由．
解：PA＋PB＝PC.
理由：如图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.
∵∠APC＝60°，
∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°.
∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠PAD＝∠BAC.∴∠PAB＝∠DAC(SAS)．
又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
∵△ABC是等边三角形，
∴点F为AB的中点，且CF过圆心O.(共61张PPT)
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第2章
圆
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见习题
见习题
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15°或75°
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
D
2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC的中点，求∠ACD的度数．
︵
︵
3．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________(结果保留根号)．
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
解：如图，连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝
∠B＋∠D＝30°＋20°＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
(1)求证：△ACD是等边三角形；
证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE.
(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．
解：如图，过点O作ON⊥AD于点N.∴AN＝DN.
由(1)知△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°.
5．A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400
km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300
km的范围内将受到影响．A市
是否会受到这次沙尘暴的影响？
解：如图，过点A作AC⊥BD于点C.
由题意，得AB＝400
km，∠DBA＝45°，
∴∠BAC＝45°＝∠DBA，∴AC＝BC.
在Rt△ABC中，设AC＝BC＝x
km.
由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
∴x2＋x2＝4002，
6．【2020·丹东】如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB.
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：BC所在直线与⊙O相切．
理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.
又∵∠ABF＝∠ABD＋∠DBF，
∠AFB＝∠CBF＋∠C，
∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBF＋∠C.
∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF.
∴∠ABD＝∠C.
∵∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线．
∵DF＝2，∴BD＝6.
设AB＝AF＝x，则AD＝x－2.
∵AB2＝AD2＋BD2，
∴x2＝(x－2)2＋62，解得x＝10.
∴AB＝10.∴⊙O的半径为5.
7．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB，OC于M，N.求证：
(1)MN∥BC；
证明：如图，连接OA，OD，
则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝360°÷10＝36°，则∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝108°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝36°.
∴∠ANO＝∠COD＋∠ODA＝36°＋36°＝72°.
∵∠BOC＝36°，OB＝OC，
∴∠BCO＝∠OBC＝72°.
∴∠ANO＝∠BCO.∴MN∥BC.
解：∵∠AON＝∠AOB＋∠BOC＝72°，
∠ANO＝72°，∴AN＝AO＝OB.
∵MN∥BC，∴∠AMB＝∠OBC＝72°.
(2)MN＋BC＝OB.
又∵AB＝BC，
∴AN＝AM＋MN＝AB＋MN＝BC＋MN.
∴MN＋BC＝OB.
8．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
解：在⊙O中，∠A＝∠D.
又∵∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC.∴EB＝EC.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC为等边三角形．∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°.
∵EG＝2，∴EF＝1.
又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4.
∴AC＝8，CE＝5.∴BC＝5.
如图，过点B作BM⊥AC于点M，
9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5
B．10
C．7.5
D．4
【答案】A
【答案】C
11．如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2
cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12
cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
A．13π
cm
B．14π
cm
C．15π
cm
D．16π
cm
【答案】B
D
︵
B
A
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE.
证明：如图，连接AE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD，由(1)知BE＝CE，
∴BC＝2BE＝6.
设AC＝x，则AD＝x－2.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.
在Rt△ADC中，
∵AD2＋CD2＝AC2，
∴(x－2)2＋32＝x2，
解得x＝9，即AC的长为9.
16．【中考·江西】如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.
(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
证明：如图①，连接OC，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形．
∴OB＝CD.
∵OA＝OB，∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形．
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD.
∴平行四边形ADCO是矩形．∴OC⊥CD.
∵OC是半圆的半径，∴CD是半圆的切线．
(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
解：∠AED＋∠ACD＝90°.
证明：如图②，连接BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBA＋∠BAE＝90°.
由(1)知AB⊥AD，∴∠DAE＋∠BAE＝90°.
∴∠ABE＝∠DAE.
∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE.
∵CD∥AB，AB⊥AD，
∴CD⊥AD，即∠ADE＝90°.
∴∠AED＋∠ACD＝∠DAE＋∠AED＝90°.
【点拨】如图，当圆心O在∠CAB的外部时，过点A作直径AD，连接OC，OB，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F.
【答案】15°或75°
18．【中考·绥化】如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD.
证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.
∴C是BD的中点．∴OC⊥BD.
(1)求证：直线CF是⊙O的切线．
∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠AFC＝∠ABD.
∴BD∥CF.
∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径，∴直线CF是⊙O的切线．
︵
解：设OC＝R.
易知BE＝DE.
∵DE＝2CE＝2，
∴BE＝DE＝2，CE＝1.
∴OE＝R－1.
(2)若DE＝2CE＝2.
①求AD的长；
∵OA＝OB，BE＝DE，
∴OE为△ABD的中位线．
∴AD＝2OE＝3.
②求△ACF的周长．(结果可保留根号)(共49张PPT)
XJ版九年级下
阶段核心题型
圆中常见的计算题型
第2章
圆
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1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB.
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°.∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
2．【中考·绍兴】在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长，请你解答．
解：连接OC，如图．
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∴∠OCD＝90°.
∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2.
∴AD＝AO＋OD＝1＋2＝3.
(2)以下是小明、小聪的对话：
小明：我添加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长．
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连接OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答．
【点拨】(2)题答案不唯一．
解：添加条件∠DCB＝30°，求AC的长．
连接OC，∵AB为的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠OCB＝90°.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
∴∠OCB＋∠DCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB.
3．【中考·衡阳】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线．
证明：连接OD，如图．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.∴CD＝BD.
∴OD⊥BC.
︵
︵
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°.
∴∠E＝∠ACB.∴BC∥EF.∴OD⊥EF.
∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)
解：连接OC，设OD交BC于点G，如图．
∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC.
又∵DE⊥AC，OD⊥EF，
∴四边形CEDG为矩形．∴DG＝CE＝2.
易知G为BC的中点．
︵
4．【2020·内江】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵OD⊥BC，∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，∴EC＝EB.
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
5．【2020·潍坊】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC.
(1)求证：CE是⊙O的切线．
证明：如图，连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD.
∵CE⊥AD，∴BF∥CE，
∵点C为劣弧BF的中点，∴OC⊥BF.
∵BF∥CE，∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
解：如图，连接OF，与AC交于点M，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACO＝30°.
∴∠BOC＝60°.
由(1)知CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.
又∵AD⊥CE，∴AD∥OC.
∴∠FAM＝∠OCM＝30°.∴∠FAB＝60°.
又∵OA＝OF，∴△AFO为等边三角形．
∴AF＝OF＝OC.
∵∠FMA＝∠OMC，∴△AFM≌△COM.
∴S△AFM＝S△COM.∴S阴影＝S扇形OFC.
︵
︵
6．如图，两个半圆形中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
【点拨】观察图形可知，阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，因此当小半圆形在大半圆形范围内左右移动时，阴影部分面积不变，所以我们可以通过平移，使两个半圆形的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
解：将小半圆形向右平移，使两个半圆形的圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
7．【中考·孝感】如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.
(2)求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵DE∥AB，∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(3)求线段DE的长．
如图，过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，
∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30
km/h，
受影响区域的半径为200
km，
B市位于点P北偏东75°的方
向上，距离P点320
km处．
(1)试说明台风是否会影响B市．
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
解：如图，以B为圆心，200
km为半径画圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同队队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员
乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，
你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
【点拨】本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，通过建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．
解：选择射门方式二较好，理由如下．设AQ与圆的另一交点为C，连接PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
10．如图，已知A，B两地相距1
km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350
m为半径的
圆形公园，则修建的这条水渠
会不会穿过公园？为什么？
解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.(共33张PPT)
XJ版九年级下
2．1 圆的对称性
第2章
圆
4
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C
D
C
B
见习题
A
B
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D
D
A
30°或110°
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15
见习题
见习题
见习题
16
见习题
C
1．下列条件中，能确定一个圆的是( )
A．以点O为圆心
B．以10
cm长为半径
C．以点A为圆心，4
cm长为半径
D．经过已知点M
2.【2020·黔东南州】如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE的长为________．
3．与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )
A．圆的外部(包括边界)
B．圆的内部(不包括边界)
C．圆
D．圆的内部(包括边界)
D
4．若⊙O的面积为25π，在同一平面内一个点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为( )
A．点P在⊙O外
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内
D．无法确定
【点拨】∵⊙O的面积为25π，
∴⊙O的半径r＝5.
∵OP＝4.9，OP＜r，
∴点P在⊙O内．
【答案】C
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4
cm，BC＝3
cm，点D是AB的中点．以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，则点D和⊙B的位置关系是( )
A．点D在⊙B内
B．点D在⊙B上
C．点D在⊙B外
D．不能确定
A
6．如图，在⊙O中，若点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
B
7．已知⊙O中最长的弦为8
cm，则⊙O的半径为( )
A．2
cm
B．4
cm
C．8
cm
D．16
cm
B
8．下列说法中，正确的有( )
①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦．
A．②③
B．③⑤
C．④⑤
D．②⑤
D
9.【2020·常州】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
10．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称轴有( )
A．1条
B．2条
C．4条
D．无数条
D
11．下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D．圆的每一条直径都是它的对称轴
D
12．【中考·绍兴】等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为________．
【点拨】如图，当BP在∠ABC内部时，连接AP.
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝70°.
∵BP＝BA＝AC，AP＝BC，BA＝AB，
∴△BAP≌△ABC(SSS)，
∴∠ABP＝∠BAC＝40°.
∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°.
当BP在∠ABC外部时，即BP′的位置，同理可得
∠ABP′＝40°，
∴∠P′BC＝∠ABC＋∠ABP′＝110°.
综上，∠PBC＝30°或∠PBC＝110°.
本题易考虑不周全而漏解．
【答案】30°或110°
13．如图，A，B，C都是⊙O上的点，且点A，O，B在同一条直线上，连接OC，AC.
(1)指出图中的半径与直径．
解：图中的半径有3条，分别是OA，OB，OC；直径有1条，是AB.
(2)指出图中的弦、弧、优弧．
14．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC.
(1)求∠AOB的度数．
解：∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB.
∴∠AOB＝∠A＝20°.
解：由(1)知∠AOB＝∠A，
∴∠OBE＝∠A＋∠AOB＝2∠A.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E.
∴∠E＝2∠A.
∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
(2)求∠EOD的度数．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD.
(1)过点D作DF⊥AC于点F，过点A
作AE⊥BD于点E，并求AE，AF
的长．
(2)若以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F
5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
16．某公园计划修建一个喷水池，其截面形状如图①所示，两个圆的半径相同．
(1)有人建议改为如图②所示的形状，且大圆的直径不变，原来准备的材料够吗？请你比较两种方案，说一说两种方案所需材料
的关系．
解：设大圆的半径为R，则题图①中两个大圆的周长之和为2×2πR＝4πR.
设题图②中3个小圆的半径分别为r1，r2，r3，则3个小圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋2πr3＝2π(r1＋r2＋r3)．
∵r1＋r2＋r3＝R，
∴3个小圆的周长之和为2πR.
∴题图②中所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR.
故原来准备的材料够，这两种方案需要的材料一样多．
(2)若将图②中的3个小圆改成n个小圆，(1)中的结论是否成立？为什么？
解：将题图②中的3个小圆改成n个小圆，结论仍然成立．理由如下：
设n个小圆的半径分别为r1，r2，…，rn，则n个小圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋…＋2πrn＝2π(r1＋r2＋…＋rn)．
∵r1＋r2＋…＋rn＝R，
∴n个小圆的周长之和为2πR，
∴所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR.
故这两种方案需要的材料一样多．(共34张PPT)
XJ版九年级下
2．4 过不共线三点作圆
第2章
圆
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D
B
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A
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见习题
C
B
见习题
13
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见习题
见习题
见习题
1．给定下列条件可以确定一个圆的是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知三点
D．已知不在同一直线上的三点
D
2．画一个圆经过平面内的三个点，关于符合条件的圆的个数，下列结论中正确的是( )
A．符合条件的圆最多有一个
B．符合条件的圆一定有一个
C．符合条件的圆最少有一个
D．符合条件的圆有无数个
A
3．已知AB＝4
cm，则过点A，B且半径为3
cm的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】过点A，B且半径为3
cm的圆的圆心应当在线段AB的垂直平分线上，且到A，B两点的距离为
3
cm，这样的圆心有2个，故选B.
B
4.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
【点拨】连接BC，根据垂径定理的推论，作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．
B
5．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
C
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的( )
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
B
7．【2020·河北】有一题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC.如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇
淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A
还应有另一个不同的值．”下列
判断正确的是( )
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【答案】A
8．边长分别为6，8，10的三角形的外接圆半径是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
B
B
10.【中考·广元】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到
AC距离的最大值是__________．
【点拨】过点O作OM⊥AC于点M，延长MO交⊙O于点P，
则此时点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值为PM的长．
【点拨】由题意可得，存在两种情况，当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC，
当△ABC为锐角三角形时，
如图中的△A2BC.
连接A1A2，交BC于D.
∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，
∴A1A2垂直平分BC.
∴A1A2为⊙O的直径，BD＝CD＝1.
【答案】C
12．【中考·临沂】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，
∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接CD，如图所示．
13．【2020·凉山州】如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.
证明：作直径BE，连接CE，如图所示．
14．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，
BC于点P，Q.
求证：点P是△ACQ的外心．
︵
证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵AB⊥CE，AB是直径，∴AC＝AE.
∵C是AD的中点，∴AC＝CD，
∴CD＝AE.∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝PC.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
又∠QCP＋∠ACP＝∠CAP＋∠CQP＝90°，
∴∠QCP＝∠CQP.∴CP＝PQ.
∴CP＝AP＝PQ，即点P是△ACQ的外心．
15．已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆．
(1)如图①，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP.
求证：AP＋BP＝PC.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝∠BPC＝60°.
(2)如图②，若点P是AB上任意一点，连接AP，BP，CP，则结论AP＋BP＝PC还成立吗？试证明你的结论．
︵
解：成立．证明：如图，在PC上取一点D，使PD＝PA，连接AD.
∵∠APD＝∠ABC＝60°，∴△APD为等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AP＝AD，AB＝AC，
∴△APB≌△ADC.∴PB＝DC.
∴AP＋BP＝PD＋DC＝PC.
