新疆维吾尔自治区呼图壁县第一中学2020-2021学年高二第二学期期初考试数学试卷 Word版含答案

呼图壁县第一中学2020-202学年第二学期高二年级
期初 数学 模块测试卷
分 值：100分 时 间：90分钟
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在区间应是（ ）
A． B． C． D．
4．三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，平面，则棱的长为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．如图所示程序框图的功能是计算表达式的值，则①、②两处填入正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（ ）
B．
C． D．
8．设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设是等差数列的前项和，若，则=__________.
12．设x＞﹣1，则当y＝x+取最小值时，x的值为__.
13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则它的外接球的表面积为______．
14．圆与直线相切于点，则直线的方程为_________.
三、解答题
15．已知中，，是边上一点，，，.
（1）求的长； （2）求的长.
16．如图所示，平面，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
17．某次数学测试后，数学老师对该班n位同学的成绩进行分析，全班同学的成绩都分布在区间，制成的频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间的有12人.
（1）求n；
（2）根据频率分布直方图，估计本次测试该班的数学平均分(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).
（3）现从，两个分数段的试卷中，按分层抽样的方法共抽取了6份试卷.若从这6份试卷中随机选出2份作为优秀试卷，求选出2份优秀试卷中恰有1份分数在的概率.
18．已知数列的前项和为，已知对任意的都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的两个点，点是线段的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求.
参考答案
1．D
【分析】
根据对数的定义域求解集合，然后利用交集的定义计算
【详解】
，则
故选：D.
2．C
【分析】
化简可比较a，b的大小，根据的单调性，可求得c的范围，即可得答案.
【详解】
由题意得：，，所以，
又因为在为增函数，
所以，所以，
故选：C
3．B
【分析】
利用函数的零点存在定理求解.
【详解】
由函数，
因为，
所以函数的零点所在区间应是
故选：B
4．A
【分析】
由已知中的三视图可得DC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形,解三角形即可求解.
【详解】
由三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图可知，
DC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为，
故，
在Rt△DBC中，由DC=4，，可得DB=．
故选：A
5．A
【分析】
分析条件和程序框图中的数据可得答案.
【详解】
①处应填，这样第一次循环后，若填，第一次循环后，不满足
②处应填，最后输出的结果才是
故选：A
6．D
【分析】
求解不等式的解集，利用几何概型的长度比公式代入求解.
【详解】
不等式的解集为，所以概率.
故选：D.
7．D
【分析】
由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解.
【详解】
,
即，得.
故选：D.
8．D
【分析】
在A中，与相交、平行或异面；
在B中，与不一定平行，有可能相交；
在C中，⊥或∥或与相交；
在D中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得∥．
【详解】
由直线、，和平面α、，知：
对于A，若∥，∥，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于B，
若，与不一定平行，有可能相交，故B错误；
对于C，若⊥，?，则⊥或∥或与相交，故C错误；
对于D，若⊥，⊥，?，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得∥，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．
9．A
【分析】
由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.
【详解】
由图像可得函数的最小正周期为，则.
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
10．C
【分析】
先令得到，即等价于与有两个交点，然后画出函数图像，根据图像即可求解.
【详解】
解：令，
即，
即与有两个交点，
分别画出与的图象，如下所示：
由图可知：当时，即时，与有两个交点，
故.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
11．
【分析】
利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质将化简，即可求解.
【详解】
由等差数列的前项和公式可得：，
故答案为：.
12．1
【分析】
直接由y＝x+＝x+1+﹣1，结合基本不等式可得x+1＝取最小值，从而得解.
【详解】
∵x＞﹣1，∴x+1＞0，
则y＝x+＝x+1+﹣1≥3，
当且仅当x+1＝即x＝1时取等号，
故答案为：1
13．
【分析】
根据三视图知该几何体是四棱锥，把它放入棱长为1的正方体中，结合图中数据求出该几何体的体积和它的外接球的表面积．
【详解】
根据三视图知，该几何体是四棱锥，把它放入棱长为1的正方体中如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的体积为：
，
它的外接球的直径为，
则，
所以外接球的表面积为．
故答案为，．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体的体积与外接球的表面积应用问题，是基础题．
14．
【分析】
（1）首先求，再写成圆的标准方程，求圆的半径；（2）利用圆的切线的几何性质，求直线的斜率，再求直线方程.
【详解】
（1）由条件可知点在圆上，即，解得：，
圆的方程，
所以圆的半径；
（2）设圆的圆心，，
由条件可知直线与直线垂直，所以直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：；
15．（1）；（2）.
【分析】
（1）在中，利用正弦定理直接求解；
（2）在中，用余弦定理解得.
【详解】
解：（1）由已知得，
在中，，
∴，得.
（2）中，由余弦定理得，
又，，，
∴，
解得.
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）取的中点，连接，，根据FG为中位线，可得且，由题意得且，，则可得为平行四边形，则.利用线面平行的判定定理，即可得证；
（2）根据平面，可得，又为等腰三角形，F为BC中点，可得，利用线面垂直的判定定理，即可得证.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为，分别为，的中点，
所以且.
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则.
因为平面，平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，
所以.
因为为的中点，且，
所以，又，
所以平面，因为.
所以平面.
17．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据成绩在区间的有12人可列式求解；
（2）由频率分布直方图列出式子即可求出平均值；
（3）先列出所有的抽取结果，再求出恰有一份分数段在的情况，即可得出概率.
【详解】
（1）由题可知：.
（2）.
（3）由频率分布直方图可知：成绩分布在有12人，在有6人，抽取比例为，所以内抽取人数为4人，抽取人数为2人.
记中4人为a，b，c，d，记的2人分别为e，f，
则所有的抽取结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种.
恰有一份分数段在有(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)共8种，
所以，概率.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，当时求解即可；
（2）由（1）可得，代入中化简可得，由裂项相消法求和即可.
【详解】
（1）当时， ，
当时，满足上式，
所以
（2）由（1）得
，

19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意得，根据a，b，c的关系，可求得a的值，即可得答案；
（2）解法一：由题意得AB的斜率存在，设为k，可得直线AB的方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可得的表达式，根据的中点为，可得k的值，代入弦长公式，即可得答案；
解法二：利用点差法，可求得直线AB的斜率k，进而可得直线AB的方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案.
【详解】
（1）由条件知，，，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解法一：
当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不符合题意，
故可设直线的方程为，并设，
联立方程消去，得，
，
由点是线段的中点知，，
所以，解得，
代入得，
所以.
解法二：
当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不符合题意，
设，其中，代入椭圆方程，
，两式相减得，
由点是线段的中点知，，
直线斜率为，
直线方程为，
联立方程，消去，得，
所以，
所以.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握弦长公式，并灵活应用，在处理直线的中点与斜率问题时，可用点差法求解，简化计算，提高正确率，考查计算化简的能力，属中档题.