7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件（共52张PPT）—2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册第七章复数

第七章　§7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本
概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做_____
，满足i2＝ .
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义： 所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
知识点一　复数的有关概念
虚数
单位
－1
z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数
知识点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(b＝0)，
(b≠0)(当 时为纯虚数
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a＝0
知识点三　复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di? ，a＋bi＝0? .
a＝c且b＝d
a＝b＝0
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.(　　)
2.复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)
3.z＝bi是纯虚数.(　　)
4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.(　　)
×
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　下列命题中正确的是
A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2
D.实数集是复数集的真子集
一、复数的概念
√
解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.
对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；
两个虚数不能比较大小，则B错误；
对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则C错误；
显然，D正确.
反思感悟
复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪训练1　(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
√
√
解析　对于A，当b＝0时，a＋bi＝0为实数，故A错误；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；
对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；
对于D，i的平方为－1，故D错误.
二、复数的分类
例2　当m为何实数时，复数z＝ ＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)虚数；
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)纯虚数；
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
(3)实数.
延伸探究
本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
解　因为z>0，所以z为实数，
反思感悟
复数分类问题的求解方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数?b＝0；
②z为虚数?b≠0；
③z为纯虚数?a＝0且b≠0.
跟踪训练2　若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为
A.1 B.2
C.1或2 D.－1
√
解析　根据复数的分类知，
即a＝2.
三、复数相等的充要条件
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.
解　由复数相等的充要条件，
(2)若关于x的方程3x2－ －1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解　设方程的实根为x＝m，
反思感悟
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝______.
5
解析　因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
解得m＝5.
3
随堂演练
PART THREE
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3
4
5
A.0 B.1 C.2 D.3
√
故纯虚数的个数为2.
1
2
3
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√
1
2
3
4
5
3.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值可以为
A.－1 B.2
C.1 D.－2
√
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，
所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，
解得m＝1(m＝－1舍).
4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝____，y＝_____.
1
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3
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5
1　 1
解析　∵x2－y2＋2xyi＝2i，
1
2
3
4
5
5.已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝______.
－1
解析　由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
解析　因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.
而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
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2.以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是
A.1－i B.1＋i
C.－3＋3i D.3＋3i
√
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解析　－3＋i的虚部为1,3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，
故所求复数为1－i.
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3.在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则
A.a＝0或a＝2 B.a＝0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
√
解析　因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，
所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
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4.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 020i＝2－bi，则a2＋bi等于
A.2 020＋2i B.2 020＋4i
C.2＋2 020i D.4－2 020i
√
解析　因为a＋2 020i＝2－bi，
所以a＝2，－b＝2 020，
即a＝2，b＝－2 020，
所以a2＋bi＝4－2 020i.
5.(多选)下列命题中错误的有
A.若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B.若复数z∈R，则其虚部不存在
C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3
D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应
√
√
√
解析　由复数相等的定义知A正确；
实数的虚部为0，故B错误；
对于C，只有当z1，z2，z3∈R时，才有z1＝z2＝z3，否则不成立，故C错误；
对于D，a＝0时，ai＝0，故D错误.
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6.若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是_____.
1
所以x＝y＝1，所以xy＝1.
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7.若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝____________.
解析　由题意知sin 2α＝0,1－cos 2α≠0，
∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，
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8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为_____.
2
9.当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)实数；
解　由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
∴m＝5或m＝－3.
(2)虚数；
解　当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
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(3)纯虚数；
∴m＝－2.
(4)0.
∴m＝－3.
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10.分别求满足下列条件的实数x，y的值.
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
解　∵x，y∈R，
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解　∵x∈R，
∴x＝3.
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综合运用
11.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是
A.(－1,3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C.(－3,1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
√
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
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12.若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则
A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1 D.a≠2
√
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解析　复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，
则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，
解得a≠－1.
13.已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
√
解析　由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，
∴z＝3－i.
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14.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是______.
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{3}
所以所求的实数m的取值集合是{3}.
拓广探究
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16.已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
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解　∵z1为纯虚数，
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6].
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本课结束