7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课件（共52张PPT）2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第七章

第七章　§7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想
解题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝ ；
(2)z1－z2＝ .
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝ ；
(2)(z1＋z2)＋z3＝ .
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
知识点二　复数加、减法的几何意义
z1＋z2
z1－z2
思考　类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
答案　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个虚数的和或差可能是实数.(　　)
2.在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(　　)
3.复数与复数相加、减后结果只能是实数.(　　)
4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.(　　)
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　设m∈R，复数z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，

若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.
一、复数代数形式的加、减运算
∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞).
反思感悟
复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
跟踪训练1　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限.
二、复数加、减法的几何意义
例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
反思感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.
(2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是___________.
(－∞，2)
解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.
三、复数模的综合问题
例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是
√
解析　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以点Z在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
跟踪训练3　△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
√
解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心.
3
随堂演练
PART THREE
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1.复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于
A.－1＋i B.1－I
C.i D.－i
√
解析　原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
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2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
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3.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
√
解析　∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，
即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上.
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4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝______.
－1
解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
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5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________.
5－2i
所以点C对应的复数是5－2i.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加、减运算法则.
(2)复数加、减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽略模的几何意义.
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课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为
A.－4＋20i B.－2＋10i
C.－8＋20i D.－2＋20i
√
解析　z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.
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2.复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是
√
解析　∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，
∴m－1<0，∴m<1.
3.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是
√
解析　由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，
则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1).故选A.
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4.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为
A.3 B.2
C.1 D.－1
√
解析　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i
＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
√
解析　设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，
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6.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝_________.
5－9i
－8－7i
解析　z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
7.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝__________.
解析　因为z＋2i是实数，
所以可设z＝a－2i(a∈R)，
由|z|＝4得a2＋4＝16，
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8.设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________.
解析　z1＋z2＝3＋3i，
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
解　 (1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；
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(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).
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解　(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
10.已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝ .
(1)求复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？
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解　设由z0＝2＋2i，知Z0(2,2)，
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(2)求|z|的最小值和最大值.
解　当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值.
综合运用
11.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若 ，则点D对应的复数是
A.1－3i B.－3－i
C.3＋5i D.5＋3i
√
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解析　∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
∴点D对应的复数为3＋5i.
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12.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为
√
解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
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4－4i
14.设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是_______.
100
解析　因为x＋yi＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)，
所以x2＋y2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2
＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos(θ＋φ)，
又－1≤cos(θ＋φ)≤1，
所以(x2＋y2)max＝50＋50＝100.
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拓广探究
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15.已知复数|z|＝1，则复数3＋4i＋z的模的最大值为_____，最小值为____.
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解析　令ω＝3＋4i＋z，
则z＝ω－(3＋4i).
∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，
∴复数ω在复平面内对应的点表示以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为 ＋1＝6；
圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为
－1＝4，∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.
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16.已知复平面内?ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，O为坐标原点.
(1)求点C，D对应的复数；
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∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∴点D对应的复数为2＋i＋3－i＝5.
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(2)求?ABCD的面积.
故?ABCD的面积为7.
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