7.2.2 复数的乘、除运算课件（共52张PPT） 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第七章

第七章　§7.2　复数的四则运算
7.2.2　复数的乘、除运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝____
结合律
(z1z2)z3＝______
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝_________
思考　|z|2＝z2，正确吗？
答案　不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
知识点二　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的 .
共轭复数
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.(1＋i)(2＋i)＝_______.
1＋3i
解析　依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
2－i
3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第____象限.
四
解析　因为z＝i(－2－i)＝1－2i，
所以复数z对应的点在第四象限.
2
题型探究
PART TWO
例1　计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
一、复数代数形式的乘法运算
解　(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2
＝1－i2＋4＋4i＋i2
＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思感悟
(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开.
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
√
解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
√
解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
二、复数代数形式的除法运算
例2　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
√
解析　∵z(2－i)＝11＋7i，
－2＋i
＝－2＋i.
反思感悟
复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
√
三、在复数范围内解方程
例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
反思感悟
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
解　∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
(2)试判断1－i是不是方程的根.
解　由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
核心素养之数学运算与逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN YU LUO JI TUI LI
i的运算性质
典例　(1)复数z＝ ，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为

A.1 B.－1 C.i D.－i
√
所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.
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素养提升
(1)①i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)；
②记住以下结果，可提高运算速度.
(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
(2)通过i的运算性质进行复数运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
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随堂演练
PART THREE
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1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1
√
解析　∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.
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2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
√
解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
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A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
故复数对应的点在第二象限.
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4.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝_______.
－2＋4i
0
∴原式＝－i＋i－i＋i＝0.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)复数的乘法及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)在复数范围内解方程.
(4)i的运算性质.
2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
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课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.在复平面内，复数z＝i(－2＋i)对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析　z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，
故复平面内复数z＝i(－2＋i)对应的点位于第三象限.
√
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3.(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是
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√
√
解析　计算得AD为实数，BC为纯虚数.
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4.(1＋i)20－(1－i)20的值是
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
√
解析　∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，
又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，
∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0.
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A.1±3i B.3±i C.3＋i D.3－i
√
∴z＝3±i.
6.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
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2
解析　由已知(a＋bi)2＝3＋4i，
得a2－b2＋2abi＝3＋4i.
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7.在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为___________.
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解析　因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
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9.计算：
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＝i6＋i＝－1＋i.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
解　把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
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综合运用
11.若复数 的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上
A.y＝2x B.y＝
C.y＝|x| D.y＝－2x2－1
√
把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.
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故z的虚部为2，
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14.已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0(a，c∈R)的一个根是2＋3i，则a－c＝______.
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解析　由题意，得a(2＋3i)2＋(2＋3i)＋c＝0，
即－5a＋2＋c＋(12a＋3)i＝0.
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拓广探究
15.据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 等于
√
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解析　欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)，
16.已知复数z满足z＋2i， 均为实数，复数(z＋xi)2(x∈R)在复平面内

对应的点在第一象限，其中i为虚数单位.
(1)求复数z；
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴z＝4－2i.
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(2)求实数x的取值范围.
解　∵复数(z＋xi)2＝[4＋(x－2)i]2＝16－(x－2)2＋8(x－2)i＝(12＋4x－x2)＋(8x－16)i，且复数(z＋xi)2在复平面内对应的点在第一象限，
即实数x的取值范围是(2,6).
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