8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台课件（共66张PPT）—2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册第八章立体几何初步

第八章　§8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体
的结构并进行有关计算.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.空间几何体：如果我们只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2.多面体、旋转体
知识点一　空间几何体、多面体、旋转体的定义
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个__________
围成的几何体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫做 ，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
形状
大小
平面多边形
一条定直线
旋转面
图形





?
?
相关概念
面：围成多面体的各个 ；
棱：相邻两个面的_______
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的定直线
多边形
公共边
思考　构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？
答案　构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.常见几何体可以分为多面体和旋转体.
知识点二　棱柱的结构特征
1.棱柱的结构特征
棱柱
图形及表示
定义：有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
?




如图可记作：棱柱
ABCDEF—A′B′
C′D′E′F′
相关概念：底面(底)：两个互相 的面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的 ；
顶点：侧面与底面的_________
分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
平行
四边形
平行
平行
公共边
公共顶点
2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱： 的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；
(2)斜棱柱： 的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；
(3)正棱柱：底面是正多边形的 叫做正棱柱(如图③)；
(4)平行六面体：底面是 的四棱柱也叫做平行六面体(如图④).
思考　棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
答案　棱柱的侧面一定是平行四边形.
侧棱垂直于底面
侧棱不垂直于底面
直棱柱
平行四边形
知识点三　棱锥的结构特征
棱锥
图形及表示
定义：有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
?



如图可记作：棱锥S—ABCD
相关概念：底面(底)： 面；
侧面：有公共顶点的各个 ；
侧棱：相邻侧面的 ；
顶点：各侧面的_________
多边形
三角形
多边形
三角形面
公共边
公共顶点
分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；
(2)底面是 ，并且顶点与底面中心的连线 底面的棱锥叫做正棱锥
正多边形
垂直于
知识点四　棱台的结构特征
棱台
图形及表示
定义：用一个 的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
?




如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′
相关概念：上底面：平行于棱锥底面的 ；
下底面：原棱锥的 ；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
平行于棱锥底面
截面
底面
思考　棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
答案　一定相交于一点.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.所有的棱柱两个底面都平行.(　　)
2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(　　)
3.棱柱最多有两个面不是四边形.(　　)
4.棱锥的所有面都可以是三角形.(　　)
√
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的说法的序号是_______.
一、棱柱的结构特征
③④
解析　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
所以说法正确的序号是③④.
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解　是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解　截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
反思感悟
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
跟踪训练1　下列命题中正确的是
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
√
二、棱锥、棱台的结构特征
例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
√
√
解析　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；
棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错.
棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错.
(2)有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
√
解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；
由棱台的定义知，④正确；
②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.
反思感悟
判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
?
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2　下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是_______.
①②
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
空间几何体的表面展开图
典例　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)
√
解析　其展开图是沿盒子的棱剪开，
无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，
但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.
相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
解　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；
图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；
图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.
把表面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
素养提升
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.下面多面体中，是棱柱的有
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
解析　根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
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2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
√
解析　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
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3.(多选)下列说法不正确的是
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√
√
√
解析　由棱台的定义知A正确，B，C不正确；
棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
4.三棱柱的平面展开图是
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5.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_____ cm.
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解析　棱柱有10个顶点，则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，侧棱长为 ＝12 (cm).
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)多面体、旋转体的定义.
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.方法归纳：举反例法，定义法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.有两个面平行的多面体不可能是
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都错
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解析　由棱锥的结构特征可得.
2.下列关于棱柱的说法中，错误的是
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
√
解析　显然A正确；
底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；
底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；
D正确.
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3.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是
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A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
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解析　(1)图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；




(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3).
4.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是
A.Q?M?N?P B.Q?M?N?P
C.P?M?N?Q D.Q?N?M?P
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解析　根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，
所以{正方体}?{正四棱柱}?{长方体}?{直四棱柱}，故选B.
5.(多选)下列说法错误的是
A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体
是棱锥
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六
棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
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解析　有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；
棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱长延长后不一定交于一点，故B错误；
当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
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6.一个棱台至少有____个面，面数最少的棱台有____个顶点，有____
条棱.
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7.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是_____.
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8.直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则AC1的长为______.
解析　依题意该直四棱柱为长方体，
9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
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解　如图折起后的几何体是三棱锥.
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
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10.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
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解　如图①所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
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(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
解　如图②所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
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(3)三棱柱.
解　如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
综合运用
11.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为
A.12 B.9 C.6 D.3
√
解析　设原棱锥的高为h，
因而棱台的高为3，故选D.
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12.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，
AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，
AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
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选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.
13.在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有_____条.
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解析　如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).
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解析　设长方体长、宽、高为x，y，z，
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拓广探究
15.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为______.
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解析　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.
16.如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
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解　不对.水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
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解　不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
(3)如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
解　用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时(1)对，(2)不对.
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