8.2 立体图形的直观图 课件（共60张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章

第八章　立体几何初步
§8.2　立体图形的直观图
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的
直观图.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
的线段
保持原长度不变
一半
知识点二　空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴.
(2)画底面：平面 表示水平平面，平面 和
表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中
和 都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
z
z′
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.(　　)
2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.(　　)
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
(　　)
4.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝ OA.
连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.
二、空间几何体的直观图的画法
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
反思感悟
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.
(尺寸自定)
解　画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝ MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；





③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
三、直观图的还原与计算
例3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为___________.
菱形
解析　如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面积是原图形面积的 倍.
跟踪训练3　(1)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
√
解析　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为
√
解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
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√
√
解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，
因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
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2.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是
√
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3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成
A.平行于z′轴且大小为10 cm
B.平行于z′轴且大小为5 cm
C.与z′轴成45°且大小为10 cm
D.与z′轴成45°且大小为5 cm
√
解析　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
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2.5
解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
5.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是_____.
16
解析　由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.
又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
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2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是
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解析　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
3.(多选)已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积为
A.16 B.64
C.32 D.无法确定
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√
解析　等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，

A′O′＝ ，那么原△ABC是一个
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
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解析　由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等边三角形.
5.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为
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6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.
(4,2)
解析　由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).
7.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为______(填具体形状)，其面积为_____ cm2.
矩形
8
解析　由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，
所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8 (cm2).
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8.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′

轴的距离为_____.
解析　画出直观图(图略)，
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9.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.




(1)画出水平放置的△ABC的直观图；
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解　①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①，
②画出对应的x′，y′轴，使其∠x′D′y′＝45°，
在x′轴上取点A，C，使D′A′＝DA，D′C′＝DC，
连接A′B′，C′B′，
则△A′B′C′，即为△ABC的直观图，如图②.
(2)求直观图的面积.
解　在图②中，作B′E⊥A′C′，E为垂足，
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10.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.
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解　一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角
为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，
所以原图形ABCD为直角梯形，且AB⊥BC，且AB
＝2A′B′＝2，AD＝A′D′＝1，
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综合运用
11.如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知O′B′＝4，且△ABO的面积为16，过点A′作A′C′⊥x′轴于点C′，则A′C′的长为
√
解析　由直观图可知△ABO为直角三角形且AB⊥BO，OB＝4，
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12.(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是
A.AB＝BC＝AC B.AD⊥BC
C.AB⊥BC D.AC>AD>AB>BC
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解析　由直观图知△ABC为直角三角形，
AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D为BC的中点，如图所示，
又A1B1＝B1C1，
故AB错误，CD正确.
13.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为____ cm，宽为_____ cm，建筑物的高为_____ cm.
4
0.5
3.6
解析　由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm,1 cm,2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，
所以长方体的直观图的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm.
所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6 (cm).
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14.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.
8 cm
解析　由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm).
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拓广探究
15.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为
√
解析　设△AOB的边OB上的高为h，
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16.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图(尺寸自定).
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解　(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A′B′C′D′－ABCD；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE－BCF.
直观图如图所示.
本课结束