8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件（共57张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用
计算公式求几何体的表面积与体积.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
?
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
?
底面积：S底＝____
侧面积：S侧＝____
表面积：S＝________
圆锥



?
底面积：S底＝___
侧面积：S侧＝___
表面积：S＝_______
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋转体
圆台
?
上底面面积：S上底＝______
下底面面积：S下底＝____
侧面积：S侧＝__________
表面积：S＝_______________
_____
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l
＋rl)
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体
体积
说明
圆柱
V圆柱＝Sh＝_____
圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥
V圆锥＝ Sh＝______
圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台

圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
πr2h
__________________
知识点三　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).

2.球的体积公式V＝ .
4πR2
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　　)
2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.
(　　)
3.球的体积是关于球半径的一个函数.(　　)
4.球的表面积是球的体积的6倍.(　　)
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
√
解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为
A.7 B.6 C.5 D.3
√
解析　设圆台较小底面的半径为r，
则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
反思感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1　圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是
√
解析　设底面半径为r，则πr2＝S，
又侧面展开图为一个正方形，
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
√
√
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.
224π
解析　设上底面半径为r，
则下底面半径为4r，高为4r，如图.
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，
解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
反思感悟
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
跟踪训练2　圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 ，则圆锥的体积是
√
解析　作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝4.
三、球的表面积与体积
√
∴S球＝4πR2＝16π.
A.4π B.12π
C.24π D.48π
√
∴S球＝4πR2＝12π.
反思感悟
计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径.
√
解析　正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，
(2)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为______.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
简单组合体的表面积与体积
典例　如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积.
解　正方体的表面积为S正方体＝4×4×6＝96，
圆柱形孔的半径为1，高为4，
∴圆柱的侧面积S圆柱侧＝2π×1×4＝8π，
∴所求的表面积为S＝96＋8π－2π＝96＋6π，
正方体的体积为V正方体＝4×4×4＝64，
圆柱的体积为V圆柱＝4π，
∴所求的体积为V＝64－4π.
素养提升
(1)求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解.
(2)识别几何体的结构特征，提升直观想象素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.若圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积为
A.π B.2π
C.3π D.4π
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3
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5
√
解析　设圆锥的母线长为l，
所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为
A.3 B.4
C.5 D.6
√
1
2
3
4
5
解析　设圆台的高为h，
故h＝3.
3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
√
解析　设圆柱的底面圆半径为r，
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5
4.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)
A.6 250 B.3 050
C.2 850 D.2 350
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3
4
5
√
1
2
3
4
5
解析　由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6 cm，高为8.8 cm的正方体的体积减去底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱的体积.
结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，
可估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm3.
5.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 ＝

_______.
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5
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)球的表面积和体积.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为
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√
解析　由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.
2.轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的
A.4倍 B.3倍 C. 倍 D.2倍
√
解析　设该等边圆锥的半径为R，
则母线l＝2R，
∴S底＝πR2，
∴S侧＝2S底.
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3.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给

出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ .如果球的

半径为 ，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为
√
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4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
√
解析　绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.
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5.(多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的
√
√
√
解析　如图所示，设圆台的上底面周长为C，
因为扇环的圆心角为180°，
所以C＝π·SA，又C＝10×2π，
所以SA＝20，同理SB＝40，
故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，
表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.
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6.一个球的体积为36π，则该球的表面积为______.
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36π
∴S球＝4πR2＝36π.
7.一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心与截面圆圆心的距离

为4 cm，则球的体积为______cm3.
解析　如图所示，
由已知得O1A＝3 cm，OO1＝4 cm，
从而R＝OA＝5 cm.
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8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为______，其体积之比为________.
2∶1
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
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9.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面积.
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解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为S.
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10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
解　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
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综合运用
11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π C.20π D.10π
√
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解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
12.正方体的内切球与其外接球的体积之比为
√
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13.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.6寸
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解析　由已知得天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，
则盆口面积为196π，盆底面积为36π，
又盆深18寸，盆中水深9寸，
∴积水水面面积为100π，
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14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为__________.
3∶1∶2
解析　设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
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拓广探究
15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为_____ cm，表面积等于______ cm2.
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224π
解析　设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.
根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2＝2.5×8πl，
∴l＝20 cm.
圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).
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16.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？材料最省为多少？
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解　要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.
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