8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共63张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用
计算公式求几何体的表面积与体积.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
?
图形
表面积
多面体
?





多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是
的面积
展开图
思考　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？
答案　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的 ，h为棱柱的___
棱锥


S为棱锥的 ，h为棱锥的___
棱台

S′，S分别为棱台的______
，h为棱台的___
底面积
高
底面积
高
上、下
底面面积
高
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　　)
2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(　　)
3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(　　)
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别

为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
解　如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，
则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
反思感悟
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
①多面体的表面积是各个面的面积之和.
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：
①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
√
解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，
则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
反思感悟
求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.
跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的

棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为____.
三、简单组合体的表面积与体积
例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312 (m3)，
故仓库的容积是312 m3.
反思感悟
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
跟踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
几何体体积的求法
典例1　等积变换法
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解　由 ＝ ，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
典例2　分割法
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
素养提升
(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.
(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.
(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
1
2
3
4
5
√
解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的
√
解析　令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.已知正四棱锥，其底面边长为8，棱长为 ，则正四棱锥的侧面积为
A.48 B.64
C.80 D.120
√
4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.
1
2
3
4
5
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的

体积为_____.
解析　 ＝
1
2
3
4
5
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
2.方法归纳：等积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为
A.48 B.64
C.16 D.96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是
√
3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为
√
解析　设棱柱的高为h，底面积为S，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
√
√
解析　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为______，体积为_____.
解析　因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为____.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为_______ cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1 012
9.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
解　如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是
√
解析　如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，
△ABC为等边三角形，AB＝a，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，

则正四棱锥的表面积为______，体积为_______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
48
解析　如图，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE，
∵OE＝2，∠OPE＝30°，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的

体积为_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，
∵E，H分别为AD1，CD1的中点，
∵F，G分别为B1A，B1C的中点，
∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EHGF为平行四边形，
又EG＝HF，EH＝HG，∴四边形EHGF为正方形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.
36
∴该几何体的表面积为36.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，
连接MD，因为M是AE的中点，
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，
本课结束