8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件（共51张PPT）2020-2021年高一下学期数学人A教版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解空间中两直线间的位置关系.
2.理解空间中直线与平面的位置关系.
3.掌握空间中平面与平面的位置关系.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.异面直线
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面
直线不共面的特点，作图时，
通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
知识点一　空间中两直线的位置关系
任何一个
2.空间两条直线的三种位置关系
共面直线
：在同一平面内，有且只有___________
：在同一平面内，___________
异面直线：不同在任何一个平面内，___________
相交直线
平行直线
一个公共点
没有公共点
没有公共点
知识点二　直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有_______
公共点
公共点
公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示


?
?
?
无数个
有且只有一个
没有
知识点三　平面与平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
公共点
有 个公共点(在一条直线上)
符号表示
_____
________
图形表示
?


?
思考　平面平行有传递性吗？
答案　有　若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.
没有
无数
α∥β
α∩β＝l
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(　　)
2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(　　)
3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　　)
4.若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行.(　　)
×
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
一、两直线的位置关系
平行
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______；
异面
解析　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
相交
解析　直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
异面
解析　直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
反思感悟
判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
√
解析　可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′
所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.
二、直线与平面的位置关系
例2　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
√
解析　直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，
故直线上有无数多个点在平面外.
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是
A.若a∥b，b?α，则a∥α
B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α
D.若a∥α，b?α，则a∥b或a与b异面
√
√
√
解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，AB?平面ABB1A1，
A1B1?平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α，所以a与α无公共点，
又b在α内，所以a与b无公共点，
所以a∥b或a与b异面.
反思感悟
在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
跟踪训练2　下列命题中正确的个数是
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；
假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.
三、平面与平面的位置关系
例3　(多选)以下四个命题中，正确的有
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且
不为0，那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面
平行或相交
√
√
解析　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，
即平行另一个平面，所以AB错误.
反思感悟
利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
跟踪训练3　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
√
解析　根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示.
3
随堂演练
PART THREE
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
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√
解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；
若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
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5
2.若直线l∥平面α，直线a?α，则
A.l∥a B.l与a异面
C.l与a相交 D.l与a没有公共点
√
解析　若直线l∥平面α，直线a?α，
则l∥a或l与a异面，
故l与a没有公共点，故选D.
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3.(多选)两平面α，β平行，a?α，则下列四个命题正确的是
A.a与β内的所有直线平行 B.a与β内无数条直线平行
C.a与β至少有一个公共点 D.a与β没有公共点
√
√
解析　a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；
根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有____条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C，面ABC1D1，面ADC1B1，面BB1D1D，面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有____个.
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3
解析　与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；
与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.
5.m与n是异面直线，m∥a，n∥b，则a与b的位置关系是___________.
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相交或异面
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)两直线的位置关系.
(2)直线与平面的位置关系.
(3)平面与平面的位置关系.
2.方法归纳：举反例、特例.
3.常见误区：异面直线的判断.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
√
解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，
又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
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2.与同一平面平行的两条直线
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
√
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解析　与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.
3.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作
A.0个 B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
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√
解析　平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：
①直线与平面相交，可以作0个平行平面；
②直线与平面平行，可以作1个平行平面.
4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是
A.三条交线为异面直线
B.三条交线两两平行
C.三条交线交于一点
D.三条交线两两平行或交于一点
√
解析　三个平面两两相交，有两种情况：一是如三棱柱的三个侧面，三条交线两两平行；
二是如三棱锥的三个侧面，三条交线相交于一点.
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5.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
√
解析　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中没有
与体对角线AC1平行的棱，
要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，
只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，
∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，
∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.
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6.不重合的两个平面把空间分成________部分.
3或4
解析　若两个平面平行，则把空间分成3部分；
若两个平面相交，则把空间分成4部分.
7.若点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的位置关系是_______.
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相交
解析　∵点A∈α，B?α，C?α，
∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
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8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_____对.
8
解析　以底边所在直线为准进行考察，
因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，
不可能组成异面直线，
而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，
所以共有4×2＝8(对)异面直线.
9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
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解　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.
10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
解　a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
∴a，b无公共点.
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综合运用
11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
√
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解析　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，
所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
12.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是
A.α内的所有直线均与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
√
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解析　若直线a不平行于平面α，
则a∩α＝A或a?α，故D项正确.
13.(多选)以下四个命题中正确的有
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
√
√
解析　对于A，正确；
对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；
对于C，正确；
对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
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14.在以下三个命题中，正确的命题是
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.
A.①② B.②③
C.③ D.①③
√
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对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.
命题③是正确的.
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；
拓广探究
15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中
A.AB∥CD B.AD∥EF
C.CD∥GH D.AB∥GH
√
解析　把正方体的展开图还原成正方体，
得到如图所示的正方体，
由正方体性质得，
AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面.
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16.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，C?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
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解　平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
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又∵P，C不重合，



∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交.
本课结束