8.4.1 平面 课件（共61张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平　面
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周 的.
知识点一　平面
无限延展
画法
我们常用矩形的直观图，即 表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向
一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画
图示
?



?
?
2.平面的画法
平行四边形
3.平面的表示法
图①的平面可表示为 、平面ABCD、 或平面BD.




思考　几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案　没有边界；常用平行四边形表示平面.
平面α
平面AC
知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
?

A在l外
A?l
?

A在α内
A∈α
?

A在α外
A?α
?

l在α内
_____
?

l在α外
l?α
?

l，m相交于A
l∩m＝A
?

l，α相交于A
_________
?

α，β相交于l
_________
?

l?α
l∩α＝A
α∩β＝l
知识点三　平面的基本性质及作用
1.三个基本事实
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，_________
一个平面
?
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在_____
_______
?
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?____
有且只有
两个点
这个
平面内
l?α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________
?
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
公共直线
推论
内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
?
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面

?
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
?

2.三个推论
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　)
3.空间不同三点确定一个平面.(　　)
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
×
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)点A在平面α内但在平面β外；
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
解　A∈α，A?β.(如图①)
(2)直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
解　A∈a，B∈a，A∈α，B?α，a?α.(如图②)
(3)直线a在平面α内，也在平面β内.
解　α∩β＝a.(如图③)
反思感悟
用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
跟踪训练1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作
A.A∈b，b∈β B.A∈b，b?β
C.A?b，b?β D.A?b，b∈β
√
解析　直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，b?β.
(2)如图所示，用符号语言可表述为
A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D.α∩β＝m，n?α，A∈m，A∈n
√
解析　由题图知α∩β＝m，n?α且m∩n＝A，A∈m，A∈n.
二、点、线共面
例2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
证明　如图所示，∵a∥b，
∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l?α，即过a，b，l有且只有一个平面.
反思感悟
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
证明点共线、线共点问题
典例　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点.
证明　如图，∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于点M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明　∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
素养提升
(1)点共线与线共点的证明方法
①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)利用3个基本事实及推论，证明点共线及线共点问题，提升逻辑推理素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
1
2
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4
5
√
√
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；
CD两种说法是错误的.
1
2
3
4
5
2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是
√
解析　B中直线a不应超出平面α；
C中直线a不在平面α内；
D中直线a与平面α相交.
1
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4
5
3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为
A.A?a，a?α，B∈α B.A∈a，a?α，B∈α
C.A?a，a∈α，B?α D.A∈a，a∈α，B∈α
√
4.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
1
2
3
4
5
√
解析　A项，三个点可能共线；
B项，点可能在直线上；
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
5.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
1
2
3
4
5
P∈直线DE
解析　因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)点、线、面之间的位置关系.
(3)平面的基本性质及作用.
2.方法归纳：同一法、纳入法.
3.常见误区：三种语言的相互转换.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.下列图形中不一定是平面图形的是
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.四边相等的四边形
1
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√
2.(多选)下列说法不正确的是
A.三点可以确定一个平面
B.空间中两条直线能确定一个平面
C.共点的三条直线确定一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示一个平面
√
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√
√
解析　不共线的三点有且仅有一个平面，故A错误；
只有平行或相交的直线才能确定一个平面，故B错误；
当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误；
圆和平行四边形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确.
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3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
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√
解析　若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交.
若这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故选C.
4.(多选)下图中图形的画法正确的是
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√
√
√
5.如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则
A.l?α B.l?α
C.l∩α＝M D.l∩α＝N
√
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解析　∵M∈a，a?α，∴M∈α，
又∵N∈b，b?α，∴N∈α，
又M，N∈l，∴l?α.
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6.如图所示的图形可用符号表示为___________.
α∩β＝AB
7.设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M____l.
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∈
解析　∵a∩b＝M，a?α，b?β，
∴M∈α，M∈β.
又∵α∩β＝l，∴M∈l.
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8.给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确的有_____.(填序号)
①
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解析　①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；
②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，
但A，B，C，D，E不共面；
③显然不正确；
④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.
9.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
证明　如图，∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB?β，
∴O∈β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
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10.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点.
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证明　不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，
∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1?平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可证，S∈平面ACC1A1，
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三线共点.
综合运用
11.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
√
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解析　如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确.
12.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
√
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解析　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
即C1，M，O三点共线，
∴A，B，C均正确，D不正确.
13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是__________.
正六边形
解析　如图所示，作RG∥B1D1交C1D1于点G，
则RG＝PQ，连接QP并延长与CB的延长线交于点M，
连接MR交BB1于点E，易知E为BB1中点，
连接PE，PE为截面与正方体的交线，
则QP＝PE＝ER＝RG，同理，连接并延长PQ交CD
的延长线于点N，连接NG交DD1于点F，连接QF，
可知QP＝QF＝FG＝GR，所以截面PQFGRE为正六边形.
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14.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_____个平面.
7
解析　可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
拓广探究
15.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上，也不在直线BD上
√
解析　由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，
∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.
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16.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
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解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在平面SBD和平面SAC的交线上.
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，
如图所示，
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，
则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
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本课结束