_2020--2021学年苏科版七年级下册数学 第七章 平面的图形认识（word版含解析）

苏科版七年级下册数学 第七章 平面的图形认识（二）
解答题专项培优集训（三）
1．课上教师呈现一个问题：
已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点F作MN∥CD．
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和；
②由辅助线作图可知，∠2＝∠1，从而由已知∠1的度数可得∠2的度数；
③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；
④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；
⑤从而可求∠EFG的度数．
（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．
辅助线：　 　
分析思路：
（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠BOD＝20°，求∠COE的度数．
3．如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，
（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
4．如图，AB∥DG，AD∥EF．
（1）试说明：∠1+∠2＝180°；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．
5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．
（1）按照小明的思路，求∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，求∠BOC的度数．
7．（1）已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D，（提示：过E作EF平行AB）
（2）已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
①如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；
②如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
8．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠EBC的度数．
9．如图所示，直线AB，EF交于点O，OD平分∠BOF，CO⊥EF于点O，∠AOE＝70°，求∠COD的度数．
10．已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3＝60°．求∠1的度数．
11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠AOE＝32°．
（1）求∠DOB的度数；
（2）OF是∠AOD的角平分线吗？为什么？
12．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝50°，求∠AED的度数．
13．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：DE∥AC．
14．如图所示，已知AD∥BC，BE平分∠ABC，∠A＝110°．求∠ADB的度数．
15．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．
（1）说明：∠AOD＝2∠COE；
（2）若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
（3）若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
参考答案
1．解：（1）辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N．
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG＝∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；
②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数和；
③又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；
④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°；
⑤由PN∥EF，可推出∠3＝∠4；AB∥CD可推出∠2＝∠3，由此可推∠2＝∠4，所以可得∠2的度数；
⑥从而可以求出∠EFG的度数．
（2）如图，过点O作ON∥FG ，
∵ON∥FG，
∴∠EFG＝∠EON∠1＝∠ONC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠ONC＝∠BON＝30°，
∵EF⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EFG＝∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°．
2．解：∵AB，CD相交于点O，∠BOD＝20°，
∴∠AOC＝∠BOD＝20°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC﹣＝90﹣20＝70°．
3．解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵CD∥AB，∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC＝70°，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，
∴EF∥AB；
（2）∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD，
∵∠CEF＝70°，
∴∠ECD＝110°，
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，
∴∠ACB＝40°．
4．解：（1）∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，
∴∠1＝42°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝42°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝42°．
5．（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
6．解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠EOD＝50°，
∴∠ADO＝90°+50°＝140°，
∴∠BOC＝140°．
7．（1）证明：如图1过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D；
（2）①解：如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；
证明：由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
②解法一：
证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
解法二：证明：由结论可得∠G2＝∠1+∠G2FD
∵FG2平分∠EFD，
∴∠EFG2＝∠G2FD，
∵∠EG1F+∠EG1 G2＝∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，
∴∠EG1 G2＝∠2+∠EFG2，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠EG1 G2，
∴∠EG1F+∠G2＝180°
8．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C，
∴∠C+∠BAD＝90°；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝5∠DBE＝5α，
∴∠AFC＝5α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝5α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+5α+（5α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝9°，
∴∠ABE＝9°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝9°+90°＝99°．
故答案为：∠A+∠C＝90°．
9．解：∵∠BOF＝∠AOE＝70°
又∵OD平分∠BOF，
∴，
∵CO⊥EF，
∴∠COF＝90°，
∴∠COD＝∠COF﹣∠DOF＝90°﹣35°＝55°．
10．解：∵EF与CD交于点H，（已知），
∴∠3＝∠4．（对顶角相等），
∵∠3＝60°，（已知），
∴∠4＝60°．（等量代换），
∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知），
∴∠4+∠FGB＝180°．（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠FGB＝120°．
∵GM平分∠FGB，（已知），
∴∠1＝60°．（角平分线的定义）．
11．解：（1）∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOE＝64°，
∵∠DOB与∠AOC是对顶角，
∴∠DOB＝∠AOC＝64°；
（2）∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝58°，
∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝116°，
∴∠AOD＝2∠AOF，
∴OF是∠AOD的角平分线．
12．解：∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，∠BAC+∠C＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠BAC＝130°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝BAC＝65°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAE＝115°．
13．证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，
∴AD∥EF．
∴∠1＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3．
∴DE∥AC．
14．解：如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ADB＝∠CBD，
又∵∠A＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD＝
∴∠CBD＝×70°＝35°
∴∠ADB＝35°．
15．解：（1）∵OE平分∠COB，
∴∠COE＝∠COB，
∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD＝2∠COE；
（2）∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠EOC＝∠BOC＝65°，
∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝180°﹣65°＝115°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF＝∠DOE＝57.5°；
（3）设∠AOC＝∠BOD＝α，则∠DOF＝α+15°，
∴∠EOF＝∠DOF＝α+15°，
∴∠EOB＝∠EOF+∠BOF＝α+30°，
∴∠COB＝2∠EOB＝2α+60°，
而∠COB+∠BOD＝180°，即，3α+60°＝180°，
解得，α＝40°，
即，∠AOC＝40°．