第18章平行四边形 单元训练卷（Word版 含解析）

第18章平行四边形 单元训练卷
1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（　　）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．2
3．已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的度数为（　　）
A．125° B．135° C．145° D．155°
4．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
5．如图，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（　　）
A．4 B．8 C．8 D．10
6．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD于点E，则BE：ED等于（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．2：5
8．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　 　．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE＝CD，连接OE，BE，AC与BE相交于点F，∠ABE＝∠ACB，则下列结论：①BE＝DE；②OE⊥BD；③△AEF是等腰三角形；④当AE＝2，则OE的长为，其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）
13．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　 　．
14．?ABCD中，∠BAC＝60°，AC、BD相交于点O，且∠BOC＝2∠ACB，若AB＝4，则BD的长为　 　．
15．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为　 　．
16．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　 　．
17．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为　 　．
18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为　 　．
19．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
20．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形．
（2）连接CE，若CE＝EF，直接写出长度等于2AE的线段．（不包括AD）
21．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
22．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E在CD边上，以线段CE为边长在正方形ABCD的外部作正方形CEFG，以线段AD和DE为邻边作矩形ADEH，若S正方形CEFG＝S矩形ADEH．
（1）求线段CE的长；
（2）若点M为BC边的中点，连接MD，求证：MD＝MG．
23．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：DE＝CE．
（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．
24．在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，AC和BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）如图1，求证：四边形ODEC是矩形；
（2）如图2，连接OE，当AD∥BC时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．
25．如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．
（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
26．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作?ECFG．
（1）证明?ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
27．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．
28．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
参考答案
1．解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴DE＝DC＝2，
∴EC＝2，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEC＝∠AEC＝，
∴∠BEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴BC＝CE＝2，
∴AD＝BC＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°＝125°，
故选：A．
4．解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝＝4，
∴BE＝8．
故选：C．
6．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵AE⊥BD，
∴BE＝OE＝OB，
∴ED＝3BE，
∴＝，
故选：A．
8．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
9．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
10．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）（舍弃）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）；
故选：C．
11．解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°
∴MN2＝MC2+NC2
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2，
∴MC＝NC，
∴BM＝DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS）
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF，
∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAF，
在△MAN和△MAF中，
，
∴△MAN≌△MAF（SAS），
∴∠AMN＝∠AMB，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝90°，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
∵AB＜BE，
∴BE≠DE，故①错误；
∵BO＝DO，BE≠DE，
∴OE与BD不垂直，故②错误；
如图，作CH⊥BE于H，EG⊥BD于G．设BE与AC的交点为F．
则∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD
∴∠ABE+∠CBH＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠ABE＝∠ACB，
∴∠BCH＝∠GCH，
∴BH＝FH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，
设AB＝x，则ED＝CD＝AB＝x，
∵AE＝2，所以AD＝AE+ED＝2+x，
∴CG＝CB＝2+x，
∵AD∥BC，
∴∠AEG＝∠CBH＝∠CGH＝∠AGE，
∴AF＝AE＝2，故③正确；
∴AC＝AG+CG＝4+x，
在Rt△ABC中：AB2+BC2＝AC2，
∴x2+（x+2）2＝（x+4）2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍），
∴AB＝CD＝6，AD＝AC＝8，AC＝BD＝10，
∵AC与BD交于点O，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝5，
∵sin∠BDA＝＝＝，cos∠BDA＝＝＝，
∴EF＝ED＝，DF＝ED＝，
∴OF＝OD﹣DF＝5﹣＝，
在Rt△EFO中：
OE2＝OF2+EF2＝（）2+（）2＝＝13，
∴OE＝，故④正确．
故其中正确的结论是③④．
故答案为：③④．
13．解：在正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，
设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2，
解得：x＝2（负值舍去），
∴AE＝4，
∵点F为AE的中点，
∴AF＝EF＝2，
分两种情况：
①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD，
在Rt△MGN和Rt△ADE中，
，
∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL），
∴∠NMG＝∠EAD，
∴∠NMG+∠AMF＝90°，
∴∠EAD+∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2，
设MF＝m，则AM＝2m，
由勾股定理，得
4m2﹣m2＝12，
解得m＝2（负值舍去），则AM＝4；
②如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H，
则NG＝CD＝AD，
在Rt△ADE和Rt△NGM中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL），
∴∠GNM＝∠DAE＝30°，
∴∠GMN＝60°，
△AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM，
∴∠AFM＝∠DAE＝30°，
∴AM＝MF，
∵MH⊥AF，
∴AH＝FH，
设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x，
∵F是AE的中点，
∴AE＝2AF＝4AH＝4x，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x，
∵AD＝6，即6x＝6，
x＝1，即AM＝2x＝2；
故答案为：4或2．
14．解：如图，作BE⊥AC于点E，延长CE到点C′，使EC′＝EC，连接BC′，
∴BE是CC′的垂直平分线，
∴BC＝BC′，
∴∠C′＝∠ACB，
∵∠BOC＝∠C′BO+∠C′，
∴∠BOC＝∠C′BO+∠ACB，
∵∠BOC＝2∠ACB，
∴2∠ACB＝∠C′BO+∠ACB，
∴∠ACB＝∠C′BO，
∴∠C′＝∠C′BO，
∴OB＝OC′，
设OE＝x，
∴C′E＝CE＝OE+OC＝x+OC，
∴CC′＝2CE＝2（x+OC）＝2x+2OC，
∵AC＝2OC，
∴AC′＝CC′﹣AC＝2x，
∴OC′＝AC′+OA＝2x+OC，
∴OB＝OC′＝2x+OC，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，BE＝2，
∴OB＝OC′＝2+3x，
在Rt△OBE中，根据勾股定理，得
OB2＝OE2+BE2，
∴（2+3x）2＝x2+（2）2，
解得x＝或x＝﹣2（舍去），
∴OB＝2+3x＝，
∴BD＝2OB＝7．
故答案为：7．
15．解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC（AAS），
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝5，
∴BG＝，GM＝2，
∴AG＝2，AB＝5，
∴HF＝，
∴CF＝×＝，
∴CM＝，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝，
∵在△BKC和△CQD中，
∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，
∴△BKC≌△CQD（AAS），
∴CQ＝BK＝，
DQ＝CK＝，
∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，
∴DQ＝QF＝，
∴DF＝×＝．
故答案为．
16．解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为，
故答案为．
17．解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，
∴△ADF≌△TBE（SAS），
∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，
∴AT＝＝＝2，
∴AE+AF＝AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥2，
∴AE+AF的最小值为2，
故答案为2．
18．解：在BC上截取BN，使BN＝BE，过点G作GH⊥EF于点H，
∵BF平分∠EBC，
∴∠EBF＝∠CBF，
又∵BE＝BN，BF＝BF，
∴△BEF≌△BNF（SAS），
∴EF＝NF，∠EFB＝∠NFB＝45°，
∴∠EFN＝90°，
∴∠EFD+∠NFC＝90°，
又∵∠EFD+∠FED＝90°，
∴∠NFC＝∠FED，
又∵∠D＝∠NCF＝90°，
∴△NFC≌△FED（AAS），
∴ED＝FC＝2，
在Rt△FED中，DF＝1，
∴EF＝＝＝，
在Rt△EDC中，EC＝＝＝，
设BN＝BE＝x，作GQ⊥BE于Q，GP⊥BC于P．
在Rt△ABE中，∵AB2+AE2＝BE2，
∴32+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝5，
∵BG平分∠EBC，GQ⊥BE，GP⊥BC，
∴GQ＝GP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EG＝EC＝，
故答案为．
19．解：如图作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为2+．
20．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，
又∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝BD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵∠CAB＝90°，AD是BC边上的中点，
∴AD＝BC＝DC＝BD，
∴?ADCF是菱形；
（2）解：长度等于2AE的线段为CD、CF、AF、DB（不包括AD），理由如下：
由（1）得：四边形ADCF是菱形，AD＝BC＝DC＝BD，
∴AD＝AF＝CF＝CD，
∴CD＝CF＝AF＝BD＝AD＝2AE．
21．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
22．（1）解：设CE＝x，则FG＝EF＝x，FH＝6+x，
∵S正方形CEFG＝S矩形ADEH，
∴S正方形CEFG+S矩形BCEH＝S矩形BCEH+S矩形ADEH，
即S矩形BGFE＝S正方形ABCD，
∴x（x+6）＝36，解得x1＝3﹣3，x2＝﹣3﹣3（舍去），
即CE的长为3﹣3；
（2）证明：∵点M为BC边的中点，
∴MC＝3，
在Rt△MCD中，DM＝＝3，
∵MG＝MC+CG＝3+3﹣3＝3，
∴MD＝MG．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
又∵AE＝DE，
∴DE＝CE．
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AE═ED＝1，
∴∠DAE＝∠EDA，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，
∴BE＝2AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝3，
∴BH＝DH＝，
∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，
∴AB＝2AH，BH＝AH，
∴AH＝，AB＝2AH＝，
即菱形的边长为．
24．（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴∠COD＝90°，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵∠COD＝90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，
∵AD∥BC，
∴∠BCO＝∠DAO，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴DE＝CO，
∴DE＝AO，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴AD＝OE，AD∥OE，
∴BC＝OE，BC∥OE，
∴四边形OECB是平行四边形，
综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．
25．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC
＝2（180°﹣∠BAC）
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）
＝2∠BAC﹣180°．
26．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．
27．（1）证明：∵四边形ABFG和四边形BCED是正方形，
∴BC＝BD，AB＝BF，∠CBD＝∠ABF＝90°，
∴∠CBD+∠ABC＝∠ABF+∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBF，
在△ABD和△FBC中
，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△FBC，
∴∠BAD＝∠BFC，AD＝FC＝6，
∴∠AMF＝180°﹣（∠BAD+∠ANM）
＝180°﹣（∠BFC+∠BNM）＝180°﹣（180°﹣∠ABF）
＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，
即AD⊥CF，
∴四边形ACDF的面积S＝S△ACD+S△ADF
＝+＝＝＝18．
28．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：
由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴△FAE是直角三角形，
如图，过E作EN∥CD，交BD于N，
∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBE＝45°，
∴△NBE是等腰直角三角形，
∴EN＝BE＝DF，
在△MNE和△MDF中，
∵，
∴△MNE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
∵AE＝AF，
∴AM⊥EF，AM＝EF．