人教版数学八年级下册：18.2.1 矩形 同步练习（2课时Word版附答案）

18．2.1　矩形
第1课时　矩形的性质
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )
∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
2．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
3．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是 ．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10.求：
42989500(1)矩形较短边的长；
(2)矩形较长边的长；
(3)矩形的面积．
6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝( )
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝ ．
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝12，则HE等于( )
A．24 B．12 C．6 D．8
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E.若OE∶ED＝1∶3.AE＝，则BD＝( )
A．2 B．4 C．4 D．2
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
A．1 B. C．2 D.
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积．
13．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)求证：△ABM≌△CDN；
(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．
第2课时　矩形的判定
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 ．(写出一种情况即可)
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，CE∥AB，且CE＝AB.求证：四边形CDBE是矩形．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件 ，使四边形ABCD为矩形．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
5．如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
6．下列命题正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
7．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC B．MB＝MO
C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
10．如图，在?ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
12．如图，在△ABC中，点Q是边AC上一个动点，过点Q作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求QC的长；
(2)连接AE，AF.问：当点Q在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案：
18．2.1　矩形
第1课时　矩形的性质
1．D
2．C
3． 8．
4．2.5_cm．
5．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB.
又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．
∴AB＝OA＝AC＝5，即矩形较短边的长为5.
(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，
则BC＝＝＝5.
即矩形较长边的长是5.
(3)矩形的面积S＝AB·BC＝5×5＝25.
6．B
7．3．
8．B
9．C
10．B
11．C
12．解：∵BE为ED所折，
∴BE＝ED.∵AD＝9，
设AE＝x，则ED＝BE＝9－x，
在Rt△ABE中，AB＝3，AE＝x，BE＝9－x.
∴BE2＝AE2＋AB2.
∴(9－x)2＝x2＋32.
∴x＝4.
∴AE＝4.
∴S△ABE＝AB·AE＝×3×4＝6.
13．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BFE＋∠BEF＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90°.∴∠BFE＋∠CFD＝90°.
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)．
∴BF＝CD.
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠MAB＝∠NCD.
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN(SAS)．
(2)连接EF，交AC于点O.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴EO＝FO，AO＝CO.
∴O为EF，AC中点．
∵∠EGF＝90°，∴OG＝EF＝AB＝.
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴OA＝.
∴AG＝OA－OG＝1或AG＝OA＋OG＝4.
∴AG的长为1或4.
第2课时　矩形的判定
1．答案不唯一，如：AD＝BC或AB∥CD等．
2．证明：∵AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，
∴CD⊥AB，AD＝BD＝AB.∴∠CDB＝90°.
∵CE＝AB，∴CE＝BD.
∵CE∥AB，∴CE∥BD.
∴四边形CDBE为平行四边形．
又∵∠CDB＝90°，
∴四边形CDBE是矩形．
3．答案不唯一，如：AB∥CD
4．证明：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AC＝2AO，BD＝2OD.
∵OA＝OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵AF，DF分别是∠DAB，∠ADC的平分线，
∴∠FAD＝∠BAE＝∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.
∴∠FAD＋∠FDA＝90°.∴∠AFD＝90°.
同理：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴∠AFD＝∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
6．A
7．A
8． 12．
9．．
10．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC.
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.
∵E为BC的中点，∴EB＝EC.
∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF.
∴四边形ABFC是矩形．
11．证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．
(2)∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD.
∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.
12．解：(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠QCE＝∠BCE，∠QCF＝∠DCF.
∵EF∥BC，
∴∠QEC＝∠BCE，∠QFC＝∠DCF.
∴∠QEC＝∠QCE，∠QFC＝∠QCF.
∴QE＝QC，QF＝QC.
∴QE＝QF.
∵∠QCE＋∠BCE＋∠QCF＋∠DCF＝180°，
∴∠ECF＝90°.
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
EF＝＝10，
∴QC＝QE＝EF＝5.
(2)当点Q在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE，AF.
当Q为AC的中点时，AQ＝CQ，
∵EQ＝FQ，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．