2020-2021学年八年级数学人教版 下册 17.1 用勾股定理求最短路径课件（23张）

(共23张PPT)
勾股定理的应用之
求解几何体的最短路线长
B
A
蚂蚁怎么走最近?
例1
如图
在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
问题情境
A
′
　　应有公，字财有，公元一千九百三十三年农历五月二十一生，檀林河东罗家冲人氏。于世不久，父丧母亡。家居深山，交通闭塞，徒存四壁，苦不堪言，少有田亩，衣食两难。有兄二人，相继出外谋生；公及弟妹，时龄尚幼，不谙世事，幸叔收养，方有立锥丸地，借以喘息栖身。年稍长，学耕耘，事稼穑，吃苦耐劳，得以早熟，学农活一学即会，长浑身干事气力。公虽无缘学堂，然敏学善思，苦难心悟，茅塞顿开，以精明聪敏为众所闻。是时，社会黑暗，世道无公，虽勤爬苦做、精打细算，仍忍受饥寒、难以为继。每遇春荒，不知饱饭何在；历载彻寒，未得棉衣裹身。所尝之苦，每思之，潸然泪下矣；常忆念，概莫能及哉！　　然沧海桑田，星移斗转；世事更迭，其为必然。刘邓大军，挺进大别，战略反攻，序幕拉开。高山铺一役，威慑敌胆，史之所书，甚为壮怀。及至一千九百四十九年，蕲阳民众得见天日，檀林深山拥揽光明。公激情昂奋，一腔赤诚，投身新政。劳作之余，习练文化；公务之中，宣讲政策。浑身之正气，满脑之机灵，始得基层组织赏识，并于一千九百六十四年为党之一员。娶妻孙氏，亦为中共纳新。公任小队保管，饥荒连连，秋毫无犯；履会计岗位，账清目明，分厘不贪；担队长之职，身先士卒，农活拚干。红旗飘飘，尽显党员本色；忠心耿耿，常持赤子情怀。　　公所事小队之公务，甚得组织褒奖，遂委以大队财经队长、村主任之职至殁年。公之于公兮，可谓披胆沥胆，催耕催种、兴修水利、抗洪救灾、急难险重，无一不冲锋在前；公之于民兮，可谓倾其所能，邻里纠纷、儿婚女嫁、稚童辍学、扶困助弱，无一不情至力竭。时至今夕，人常念道，修赤东大堤，时值腊月，严寒刺骨，公往返百余公里，徒步来回。只因里程遥偏，无宿营之处，为不违工期，遂河床挖坑、权当床铺，扁担垫身、且作床单，蓑衣覆体、是为棉被。朔风起，霜花降，焉能入睡？夜露寒，冰凝背，何以寝安？又年岁中，暴雨如注，山洪突发，河水暴涨，抗旱机泵，卷入洪流，雨水洗刷，深陷泥潭。公无视湍流之急，冒雨投河，众人感佩，悉数相帮，汗雨淋身，腾挪许久，方遂愿淘出。于公如斯，于民亦然。不乏村民难之受帮、困之受济者，口口相传，嘱晚辈、告儿孙，记公之恩德。此番情景，孰可忘怀？　　公虽家境贫寒，但强而不怠，白手起家，兴室创业。常叨念古训：一粥一饭、当思来处不易，半丝半缕、恒念物力维艰。公既念之，亦践行之，严苛以求已，宽厚始待人。时年，三子女继出，家仅瓦屋两间，尤显拥蹇，添缮居室，迫在眉尖。环顾四周，窥视家底，既乏料乏粮，亦无钱无帮，境之所困，未曾吁叹，迎难而上，决然速行。乏料，遂起早贪黑，房前屋后，就地取材；乏粮，则节餐缩食，饥餐饿顿，肚中省粮；无钱无帮，即少请帮工，压减开支，片刻不歇，自行张罗。时约一周，瓦屋两间，遂以垒成。子女年幼，幸有避风挡雨之所；贤妻梦圆，方奠安居乐业之基。责任制后，公值盛年，公干之余，更是披星戴月，劲足冲天，忙碌中不知倦怠。或耕种收获、或上山打柴，或出外卖炭、或与人帮工；即便年卅，或逢阴雨，亦田间地头、山岭沟壑，忙若常态，未曾清闲。抵年末，盘收成，信心满，欣慰露，总胜乡邻几分。公足矣！　　呜呼！天有不测风云，地有无端变故，人岂能避祸灾？公元一千九百九十年农历十月二十二日，公寝矣，时值壮年！檀河含悲，泗流垂首，妻儿恸哭，山乡哀号。后有人感公盛年早逝、业绩昭昭，作挽联缅怀，联曰：　　天孰有道，可怜幼出寒门含辛茹苦拚事业　　地岂瞒情，无愧心连集体沥胆披肝报家园　　公外襄田垄，内重家道，严于教子，以身示范，邻里景仰。公时在世，节衣缩食，供孩上学，豁达乐观，涵养家风，深得族人传颂，亦得子女传承。公之两女，均受家风熏陶，品行善良，持家守道，掌衬夫家，上孝下亲，左邻右舍，堪念其范；公之一子，更得公之真传，义薄云天，高朋满座，勤奋敬业，能力过人，赢得侪辈拥戴，深为组织器重。公之孙子女，天资聪慧，术有专攻，学业有成，皆取硕士头衔，一供职于央企要位，一奉薪于鄂省机关。人常言：在世播恩爱，积德荫子孙。公之所为，应此渊源，公寝亦安矣！　　噫吁！公之一生，乐善好施，帮人于急切之时；公之此世，正义凛然，挺身于危重之处。世之促，泽被子孙，香火燎原；行之难，名留后世，口碑犹在。有后生赞公生之所为、晚辈之忠孝，感概系之，作诗曰：　　幼时命苦失双亲，兄妹低龄陷赤贫。　　幸得堂前幺叔养，从兹处境运辰轮。　　居家克己亲朋眷，为队廉公远小人。　　儿女玄孙三辈旺，朱家代代育贤臣。　　注：清明前后，应友之托，代其捉笔，为父述传，欣然承应，以表缅怀，寄字天堂，遥祝寝安！
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
B
A
A’
r
O
4
怎样计算AB？
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
侧面展开图
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
解：AC
=
6
–
1
=
5
，
BC
=
24
×
=
12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2=
AC2+
BC2=169,
∴AB=13(m)
.
2
1
B
A
C
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（
）.
（A）3
（B）
√5
（C）2
（D）1
A
B
分析：
由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.
C
A
B
C
2
1
如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）
长方体中的最值问题
第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是
；
=
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是
=
三种情况比较而言，第二种情况最短
答案：
台阶中的最值问题
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
20
3
2
A
B
２０
２
3
2
3
2
3
Ａ
Ｂ
Ｃ
AB=25
例4、如图，长方体的长为15
cm，宽为
10
cm，高为20
cm，点B离点C
5
cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
?
10
20
B
A
C
15
5
长方体中的最值问题（续）
10
20
B
5
B
5
10
20
A
C
E
F
E
10
20
A
C
F
A
E
C
B
20
15
10
5
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图
制作实体模型
归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性规律，并记录在平面图或模型上
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（　　）
答案：
检测题二、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　）
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　）
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A
B
A1
B1
D
C
D1
C1
2
1
4
分析:
根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③
),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
A
B
D
C
D1
C1
①
4
2
1
AC1
=√42+32
=√25
;
②
A
B
B1
C
A1
C1
4
1
2
AC1
=√62+12
=√37
;
A
B1
D1
D
A1
C1
③
4
1
2
AC1
=√52+22
=√29
.
检测题四
小
结：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
a
b
c
A
B
a
b
c
b
c
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
AB=
c
二、正方体中的最值问题
A
B
C
A
B
C
2a
a
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和上面
前面和右面
四、圆柱(锥)中的最值问题
A
B
B
A
C
h
底面圆周长的一半
结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长