7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

7.1.1　数系的扩充和复数的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题：
(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
(2)x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　
B．1
C．2
D．3
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为
(　　)
A．－2
B．3
C．－3
D．±3
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)
A．3－3i
B．3＋i
C．－＋i
D．＋i
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　　)
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
5．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
7．(一题两空)已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
11．(多选题)下列命题正确的是(　　)
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　)
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
13．(一题两空)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________.
14．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin
θ＋(cos
θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
参考答案
1.B　[(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]
2.B　[由题知解得m＝3，故选B．]
3.A　[3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A．]
4.C　[由题意知解得a＝－4.]
5.B　[因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
6.－2　[∴m＝－2.]
7.2　±2　[由复数相等的充要条件有
?]
8.③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
9.[解]　∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
10.[解]　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
11.AD　[对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．]
12.B　[由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以
解得
所以z＝3－i.]
13.－1　2　[由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
解得x＝－1，y＝2.]
14.[解]　(1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin
θ
＝sin2θ－2sin
θ＋3
＝(sin
θ－1)2＋2.
∵－1≤sin
θ≤1，∴当sin
θ＝1时，λmin＝2，
当sin
θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．