湖北省恩施州咸丰县春晖高级中学校2020-2021学年高一下学期3月第一次月考数学试题 Word版含答案解析

春晖学校高一数学月考试题（三）
2021.3.10
一、单选题
1．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．false，false
B．false，false
C．false，false
D．false，false
2．已知，，，则（ ）
A．false三点共线 B．false三点共线
C．false三点共线 D．false三点共线
3．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（ ）
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
4．已知false，则false的值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．对于任意两个向量false和false，下列命题正确的是（ ）
A．若false，false满足false，且false与false同向，则false B．false
C．false D．false
6．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若falsefalse，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．已知向量false，false，false，false为向量false在向量false上的投影向量，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．设false为false内的两点,且false,false ,则false的面积与false的面积之比为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题
9．false是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若false，则false B．false，则 false
C．若 false，则存在唯一的实数false，使false D．一定存在实数false，使false
10．对于函数false，下列结论正确的是（ ）
A．最小正周期为false
B．函数图象的对称中心为false
C．单调递增区间为false
D．false的图象可由函数false的图象向左平移false个单位得到
11．已知向量false是同一平面false内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若存在实数false，使得false，则false与false共线
B．若false与false共线，则存在实数false，使得false
C．若false与false不共线，则对平面false内的任一向量false，均存在实数false，使得false
D．若对平面false内的任一向量false，均存在实数false，使得false，则false与false不共线
12．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．false B．false C．false D．false
三、填空题
13．已知向量false， false与false垂直，则false__________．
14．已知false，则false＝________.
15．已知false，false，false与false的夹角为45°，若向量false与false的夹角为锐角时，则false的取值范围为______
16．将函数false的图象向左平移false个单位长度，得到函数false的图象，若false对任意false成立，则实数false的最小值为_____．此时，函数false在区间false上的图象与直线false所围成的封闭图形的面积为______.
四、解答题
17．已知向量false与false的夹角false，且false，false．
（1）求false，false；
（2）求false与false的夹角的余弦值．
18．已知向量false，设函数false．
（1）求false的最小正周期及对称轴；
（2）当false时，求函数false的值域．
19．如图，在菱形false中，false.
（1）若false，求false的值；
（2）若false，求false.
20．（1）已知平面向量false、false，其中false，若false，且false，求向量false的坐标表示；
（2）已知平面向量false、false满足false，false，false与false的夹角为false，且（false+falsefalse）false（falsefalse），求false的值.
21．设false为false的重心，过false作直线false分别交线段false(不与端点重合)于false．若false．
（1）求false的值；
（2）求false的取值范围．
22．如图，在false中，false，false.
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）设点false在以false为圆心，false为半径的圆弧false上运动，且false，其中false. 求false的最大值.
参考答案
1．D
【分析】
本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的false、false是否共线，即可得出结果.
【详解】
选项A：因为false，所以false、false共线，不能作为基底；
选项B：因为false，所以false、false共线，不能作为基底；
选项C：因为false，所以false、false共线，不能作为基底；
选项D：因为false，所以false、false不共线，可以作为基底，
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.
2．A
【解析】
试题分析：，所以A、B、D三点共线，答案选A.
考点：平面向量的共线定理
3．C
【分析】
求得false中false关于时间false的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
设false，则false（false为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.
对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.
对于B选项，当false时，false；当false时false.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.
对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.
对于D选项，由false得false，其中false，所以false，故false或false，即false或false，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有false分钟距离地面不低于65米. D选项正确.
故选：C
4．C
【分析】
将角false表示为false，然后利用诱导公式可得出结果.
【详解】
false
故选：C.
【点睛】
在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、“小化锐”外，还需善于观察，寻找角的关系，如false，false，false，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系．
5．B
【分析】
根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.
【详解】
A.向量不能比较大小，所以A不正确；
B.根据向量减法运算公式可知，当向量false与false不共线时，两边之和大于第三边，即false，当false与false反向时，等号成立，不B正确；
C.false，故C不正确；
D.当向量false与false不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即false，故D不正确.
故选：B
6．B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得false
即false，解得false，即false，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.
7．A
【分析】
首先计算false，再根据投影公式计算投影向量的模.
【详解】
false
由投影公式可知false.
故选：A
【点睛】
本题考查投影的计算，属于基础题型.
8．A
【分析】
作false，false，根据平行四边形法则可知false，从而得到false，进而得到false；同理可得false，进而求得结果.
【详解】
作false，交false于false；false，交false于false
false四边形false为平行四边形 false
又false false，即false
false，即false，同理可得：false
false
本题正确选项：false
【点睛】
本题考查平面向量在几何中的应用，关键是能够利用向量加法的平行四边形法则建立等量关系，进而根据线段的比例关系得到面积比.
9．AC
【分析】
A. 根据false是任意的非零向量，由平行关系的传递性判断. B. 将false变形为false，再根据false是任意的非零向量判断.C. 由平面向量共线定理判断.D. 由共线向量定理判断.
【详解】
A. 因为false是任意的非零向量，且false，由平行关系的传递性可得false，故正确.
B. false，因为false是任意的非零向量，所以得到false，故错误.
C. 由平面向量共线定理知，若 false，则存在唯一的实数false，使false，故正确.
D. 只有当false时，由共线向量定理知，才存在实数false，使false，故错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，共线定理，数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．AB
【分析】
利用正弦函数的性质判断各选项．
【详解】
false，A正确；
false，false，∴对称中心是false，B正确；
false，false，增区间是false，C错；
函数false的图象向左平移false个单位得到图象的解析式是false，D错．
故选：AB．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦（型）函数的性质．对函数false，其性质可以利用正弦函数false的性质求解，把false作为false中的false计算可得．如对称点、对称中心，单调区间等．
11．ACD
【分析】
根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.
【详解】
根据平面向量共线的知识可知A选项正确.
对于B选项，若false与false共线，可能false，当false为非零向量时，不存在实数false，使得false，所以B选项错误.
根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.
12．BC
【分析】
首先利用周期确定false的值，然后确定false的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】
由函数图像可知：false，则false，所以不选A,
当false时，falsefalse，
解得：false，
即函数的解析式为：
false.
而false
故选：BC.
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝false即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
13．false
【解析】
向量false，false与false垂直，故false，即false，故答案为false.
14．false
【分析】
利用二倍角公式将所求式子中的二倍角展开，分子分母同时除以false可得关于false的式子，代入求得结果.
【详解】
false.
故答案为：false
15．false
【分析】
两个向量夹角是锐角的等价条件是两个向量的数量积大于零，且两个向量不能同向，从而求得false的取值范围.
【详解】
falsefalse与false的夹角为锐角，
即false，且false，
所以false，
false，
解得：false或false且false．
故答案为：false
【点睛】
本题考查数量积的运算、夹角运算，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况进行排除．
16．false false
【分析】
先将函数false化简为false，由平移得到false的解析式，false对任意false成立，即函数false的对称轴为false，可求出false的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积.
【详解】
false
false
由false图象向左平移false个单位长度.
则得到false.
所以false.
由若false对任意false成立，则函数false的对称轴为false.
得false，所以false，false
则false的最小值为false；
此时false，由对称性可知，如图.
即false右边阴影部分false的面积等于左边false的面积.
所求面积即为直线false以及false围成矩形面积，即为false.
故答案为：. false， false
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题.
17．（1）false，false；（2）false.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出false的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出false的值；
（2）计算出false的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得false与false的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知，得false，
false；
（2）设false与false的夹角为false，
则false，
因此，false与false的夹角的余弦值为false.
18．（1）false，false；（2）false.
【分析】
先把false化为“一角一名一次”结构，根据正弦型函数的图像和性质分别求周期，对称轴和值域.
【详解】
false
false
（1）函数false的最小正周期为false
对称轴为false
（2）由得当false，
false，
false
false函数false的值域为false．
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于false或false的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式；
(3)求三角函数的值域要用函数的单调性.
19．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）利用平面向量基本定理，取false为基底，利用向量加减法可解；
（2）把所有的向量用基底false表示后，计算false.
【详解】
解：（1）因为false，
所以false，
所以false，
故false.
（2）∵false，
∴false
∵false为菱形∴false
∴false.
false，
即false.
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
20．（1）false或false；（2）false
【分析】
（1）设false，根据题意可得出关于实数false、false的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量false的坐标；
（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得false的值．
【详解】
（1）设false，由false，可得false，
由题意可得false，解得false或false.
因此，false或false；
（2）falsefalse，false
化简得false，
即false，解得false
21．(1) false；(2) false.
【解析】
试题分析：（1）用false表示false，再表示false，利用三点共线，可求得结果；（2）由（1）中结论得用false表示false，再利用二次函数的值域的求法，最终可得false的值的范围.
试题解析：(１)连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点，设false，则
false， false ①
又false， ②
false，false
false三点共线，故存在实数false，使false，false
false，消false得：false，即 false
或者另一种解法由②式得falsefalse， ③
将③代入①得false．false三点共线，
故false,即 false．
(２) false， 即false，
false
其中false时，false有最大值false，false时，false有最小值2，
于是false的取值范围是false．
考点：三点共线、二次函数.
【思路点晴】本题考查学生对向量几何表示的认识．由题意可知若要建立false、false的等式关系，需从三点共线的角度进行解决，这是本题的难点，基底的选取应该是false．由第一问的false、false的等式关系，可用false表示false，或者用false表示false，代入false中转化成二次函数求最值的问题．本题难度中等.
22．（Ⅰ）false ；（Ⅱ）1.
【分析】
(I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；
(II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.
【详解】
（Ⅰ）false
false.
（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则false，false.
设false，false，
由false，
得false.
所以false.
所以false，false，
false
false
false，
因为false，false.
所以，当false，即false时，false的最大值为false.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．