7.2.2 复数的乘、除运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

7.2.2　复数的乘、除运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.＝(　　)
A．1＋i　　　　　　　
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
A．－4　
B．－　　　　
C．4　　　　
D．
5．设复数z的共轭复数是
，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　)
A．
B．
C．－
D．－
二、填空题
6．i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
三、解答题
9．已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值．
把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
11．(多选题)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　)
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
12．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
13．(一题两空)若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________，z1z2＝________.
已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明u为纯虚数．
参考答案
1.D　[＝＝－1－i，选D．]
2.C　[z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C．]
3.B　[＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．]
4.D　[∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＋i.
故z的虚部为，选D．]
5.A　[∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.
z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.]
6.1　[∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z·＝1.]
7.1　[∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]
8.　[∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.]
9.[解]　(1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
即2m＋n＋3＋(4－m)i＝1－i，
所以
解得m＝5，n＝－12.
10.[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
11.BD　[∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C错误；
z的虚部为－1，D正确．故选BD．]
12.ABC　[A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；B，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
13.　16－i　[＝＝
＝
＝，
∵为纯虚数，
∴
∴a＝.
∴z1·z2＝(3－4i)
＝8－i＋6i＋8
＝16－i.]
14.[解]　因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，
所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，
即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，
整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，
所以解得]
15.[解]　(1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.
此时ω＝2x.
因为－1＜ω＜2，
所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
∴u＝＝
＝
＝＝－i.
因为x∈，y≠0，
所以≠0，
所以u为纯虚数.