7.3　复数的三角表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

7.3　复数的三角表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．复数－i的三角形式是(　　)
A．cos＋isin
B．cos＋isin
C．cos－isin
D．cos＋isin
2．复数sin
50°－isin
140°的辐角的主值是(　　)
A．150°　　　　　
B．40°
3．复数sin
4＋icos
4的辐角的主值为(　　)
A．4
B．－4
C．2π－4
D．－4
4．若复数cos
θ＋isin
θ和sin
θ＋icos
θ相等，则θ的值为(　　)
A．
B．或
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos
θ－isin
θ)的三角形式是(　　)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知z＝cos＋isin，则arg
z2＝________.
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是________．
三、解答题
9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg
z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg
z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.
11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　)
A．1
B．－1
C．－
D．－
12．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　　)
A．2π－3θ
B．3θ－2π
C．3θ
D．3θ－π
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg
z∈，则z的三角形式为________．
14．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
参考答案
1.A　[－i＝cosπ＋isinπ
＝cos＋isin
＝cos＋isin.]
2.D　[sin
50°－isin
140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos
320°＋isin
320°.]
3.D　[sin
4＋icos
4＝cos＋isin.]
4.D　[因为cos
θ＋isin
θ＝sin
θ＋icos
θ，
所以cos
θ＝sin
θ，即tan
θ＝1，
所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．]
5.A　[因为1＋i＝，
cos
θ－isin
θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cos
θ－isin
θ)
＝
＝.]
6.π　[因为arg
z＝，所以arg
z2＝2arg
z＝2×＝.]
7.1－i　[(1＋i)
＝
＝
＝＝1－i.]
8.　[由题知，z1＝2，
z2＝2，
所以的辐角的主值为－＝.]
9.[解]　因为z1＝2，
设z2＝2(cos
α＋isin
α)，α∈(0，π)，
所以z1z＝8.
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，
又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.
10.[解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg
z2＝，
所以z2＝＝＋i，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝·
＝2＝－＋i.
11.B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg
z＝，
所以所以a＝－1，故选B．]
12.B　[＝＝cos
3θ＋isin
3θ.
因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜，
所以π＜3θ－2π＜，故选B．]
13.z＝2　[由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.
因为arg
z∈，所以z＝－1－i应舍去，
所以z＝－1＋i＝2.]
14.[解]　由题意可设z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β＋isin
β.
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以所以tan＝，
故tan(α＋β)＝＝.