6.3 平面向量的坐标表示 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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平面向量的坐标表示
一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知向量
，则
（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
2.若向量
，且
与
共线，则实数
的值为（???
）
A.?-1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?2
3.已知向量
，
，
，则向量
可用向量
表示为（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
4.已知向量
，
，满足
，则
（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?-4
5.已知向量
，
，且
，则
的坐标可以为（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
6.在下列各组向量中，互相垂直的是（???
）
A.?
，
??????????????????????????????????B.?
，
C.?
，
????????????????????????????????????D.?
，
，
7.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量
，
，若
，则
的值为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.设
R，向量
且
，则
(?
?)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?10
9.已知向量
，则与
平行的单位向量的坐标为（???
）
A.??????????????????????????????????????????????????B.?
或
C.??????????????????????????????????????????????????????D.?
或
10.已知向量
，
，则
与
（???
）
A.?平行且同向????????????????????????B.?垂直????????????????????????C.?平行且反向????????????????????????D.?不垂直也不平行
二、多选题（共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
11.设向量
，
，则下列叙述错误的是(???
)
A.?若
时，则
与
的夹角为钝角??????????????????B.?
的最小值为2
C.?与
共线的单位向量只有一个为
?????D.?若
，则
或
三、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
12.已知
，则
在
方向上的投影为________.
13.已知向量
是平面的一组基底，若
，则
在基底
下的坐标为
，那么
在基底
下的坐标为________.
14.向量
，
，且
，则
________，
________．
15.已知向量
，
，若
，则
________．
16.已知向量
，
，则向量
的坐标是________．
四、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知平面向量
，
且
与
共线.
（1）求
的值；
（2）
与
垂直，求实数
的值.
18.已知向量
，设函数
．
（1）求
的最小正周期及对称轴；
（2）当
时，求函数
的值域．
19.已知向量
．
（1）若
，求k的值；
（2）若
，求m的值.
20.已知
是同一平面内的三个向量，其中
.
（1）若
，且
，求
的坐标；
（2）若
，且
，求
与
的夹角θ的余弦值.
21.已知向量
，
，
（1）若
，求
的值﹔
（2）若
，求
值.
22.已知向量
，
.
（1）求
的值
；
（2）求向量
与
夹角的余弦值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】
，
。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
?2.【答案】
B
【解析】
，
,
,
与
共线,
,解得：
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量
与
的坐标，再利用两向量共线的坐标表示，进而求出k的值。
3.【答案】
B
【解析】根据平面向量基本定理,可设
代入可得
即
,解得
所以
故答案为：B
【分析】根据平面向量基本定理,设
.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.
4.【答案】
D
【解析】向量
，
，
，
故答案为：D
【分析】由向量平行的坐标运算求解即可.
5.【答案】
B
【解析】设
由
，且
，所以
①
又
，所以
②
由①②可知：
或
故向量
或
故答案为：B
【分析】设
的坐标，然后根据
以及
，简单计算，可得结果.
6.【答案】
A
【解析】若两个向量
、
垂直，则
，
对于A，
，满足条件；
对于B，
，不满足条件；
对于C，
，不满足条件；
对于D，
，不满足条件；
故答案为：A
【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．
7.【答案】
B
【解析】
，
故答案为：B
【分析】利用向量的数量积公式进行化简，转化为三角函数问题，即可求出结果.
8.【答案】
C
【解析】
向量
且
，
，
，
从而
，
因此
，
故答案为：C．
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示，从而建立关于x,y的方程组，从而求出x,y的值，从而求出向量的坐标表示，从而结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标表示，从而用向量求模的坐标公式，从而求出向量的模。
9.【答案】
D
【解析】由已知
，所以与
平行的单位向量为
或
．
故答案为：D．
【分析】由单位向量的定义，计算
，即得．
10.【答案】
B
【解析】由于
，所以
与
垂直.
故答案为：B
【分析】通过计算
判断出
的关系.
二、多选题
11.【答案】
C,D
【解析】对于A选项，若
与
的夹角为钝角，则
且
与
不共线，则
，
解得
且
，A选项中的命题正确；
对于B选项，
，当且仅当
时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项，
，与
共线的单位向量为
，即与
共线的单位向量为
或
，C选项中的命题错误；
对于D选项，
，即
，解得
，D选项中的命题错误.
故答案为：CD.
【分析】根据
与
的夹角为钝角，得出
且
与
不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与
共线的单位向量为
可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.
三、填空题
12.【答案】
3
【解析】根据投影的概念可得
在
方向上的投影为：
。
故答案为：3。
【分析】利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而结合已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出向量
在向量
方向上的投影。
13.【答案】
【解析】解：设
，
解得
故
，则
在基底
下的坐标为
.
故答案为：
【分析】设
，再根据
得到方程组，解得.
14.【答案】
-2；-20
【解析】
，
，且
，
，解得
，则
，
因此，
.
故答案为：-2；-20.
【分析】利用共线向量的坐标表示可得出关于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可计算得出
的值.
15.【答案】
【解析】∵
，向量
，
∴
，易知
，
∴
，
故答案为：
．
【分析】由向量平行得关系式，可求得
．
16.【答案】
(2,3)
【解析】
【分析】利用
，代入点坐标，即可．
四、解答题
17.【答案】
（1）解：由题意得：
，
因为
与
共线
所以
，
解得
（2）解：由（1）可知
，于是
，
而
，
由于
，
从而
，
解得：
【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2）
由（1）可知
，
再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数
的值
。
18.【答案】
（1）解：
函数
的最小正周期为
对称轴为
（2）解：由得当
，
，
函数
的值域为
【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出函数f(x)的最小正周期；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称轴。
（2）利用换元法将正弦型函数f(x)转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数在
的值域。
19.【答案】
（1）解：
即
（2）解：
【分析】（1）根据向量共线坐标关系得方程，解方程得k的值；（2）根据向量垂直坐标关系得方程，解方程得m的值；
20.【答案】
（1）解：设
，因为
，所以
，?
①
又因为
，所以
，
②
由①②联立，解得
或
（2）解：由已知
，可得
，
又由
，
，解得
，所以
【分析】（1）设
，由
，和
，列出方程组，求得
的值，即可求解；（2）由
，求得
，结合夹角公式，即可求解.
21.【答案】
（1）解：由
得，
，
，
（2）解：由
得，
，
【分析】（1）由向量垂直知数量积为0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得
，根据弦化切即可求解.
22.【答案】
（1）解：向量
（1，1），
（﹣3，4），
则
（4，﹣3），
∴|
|
5
（2）解：由（1）向量
与
夹角的余弦值为
cos
，
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．
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