2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章三角形 单元测试题（Word版 含答案）

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章　三角形 单元测试题
(时间：120分钟　满分：150分)
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分.)
1.下列各组数不可能是一个三角形的边长的是( )
A．1，2，3　　　　　B．4，4，4　　　　　C．6，6，8　　　　　D．7，8，9
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
A．DE是△ABE的高 B．DE是△BCD的高
C．AC是△ABC的高 D．AD是△ACD的高
3．下列说法不正确的是( )
A．全等三角形的对应边和对应角相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的周长相等 D．面积相等的三角形是全等三角形
4．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是( )
A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°
5．如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是( )
A．68° B．62° C．60° D．50°
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
7．如图，如果AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于O点，那么图中的全等三角形一共有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )
A．75° B．80° C．85° D．90°
9．如图，在△ABC中，已知点D，E分别为边BC，AD上的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S△BEC的值为( )
A．2 cm2 B．1 cm2 C．0.5 cm2 D．0.25 cm2
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．△ABC中，当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时，这个三角形是_____三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
12．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12 cm，且AB＝4 cm，BC＝3 cm，则DF的长为_____．
13．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝_____．
14．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③∠C＝∠EFA；④AD＝AC.其中正确的结论是_____(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题(本大题共6个小题，共54分)
15．(8分)如图，已知线段a和∠α；求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝AC＝2a.不写作法，保留作图痕迹．

16．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，B，C，D在同一直线上，FD∥EC，∠D＝42°.
(1)求∠ACB的度数；
(2)求∠B的度数．
17．(9分)如图，D，E，F，B在一条直线上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE，试说明：AE∥CF.
18．(9分)如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上．现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形．
(1)在图1中画出一个三角形与△PQR全等；
(2)在图2中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．
19．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于点E.
(1)试说明：AC＝AE；
(2)若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
20．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O.
(1)求∠BOC的度数；
(2)点F在BC上，BF＝BE，试说明：△COD≌△COF；
(3)BE，CD，BC三条线段之间有怎样的数量关系？请直接写出结果．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是_____．
22．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF＝6，BG＝3，DH＝4，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____．
23．如图，在△ABC中，∠A＝84°，点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB平分线的交点．若∠P＝100°，则∠ACB的度数是_____．
24．已知AD是△ABC的高，且∠BAD＝35°，∠CAD＝60°，则∠BAC的度数是_____．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是_____．(填写正确的序号)
①DF＝BE；②△ADF≌△ABE；③FA平分∠DFE；④AE平分∠FAB；⑤BE＋DF＝EF；⑥CF＋CE＞FD＋EB.
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD＝CE，则易证得AD＝BE.
(1)若把△DCE绕点C顺时针旋转一定角度(如图2)，连接AD，BE，判断AD与BE是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
(2)若把△ACB和△CDE都改为一般等腰三角形(如图3)，且∠ACB＝∠DCE，则AD＝BE还成立吗？

图1　　 　图2 图3
27．(10分)探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C.若∠A＝50°，则∠ABX＋∠ACX＝_____；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2，…，G9.若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．
28．(12分)(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：DE＝BD＋CE；
(2)拓展：如图2，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

图1　　 图2　 　图3
参考答案
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章　三角形 单元测试题
(时间：120分钟　满分：150分)
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
A
A
D
B
A
A
D
1.下列各组数不可能是一个三角形的边长的是(A)
A．1，2，3　　　　　B．4，4，4　　　　　C．6，6，8　　　　　D．7，8，9
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是(A)
A．DE是△ABE的高 B．DE是△BCD的高
C．AC是△ABC的高 D．AD是△ACD的高
3．下列说法不正确的是(D)
A．全等三角形的对应边和对应角相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的周长相等 D．面积相等的三角形是全等三角形
4．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是(A)
A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°
5．如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是(A)
A．68° B．62° C．60° D．50°
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
7．如图，如果AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于O点，那么图中的全等三角形一共有(B)
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝(A)
A．75° B．80° C．85° D．90°
9．如图，在△ABC中，已知点D，E分别为边BC，AD上的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S△BEC的值为(A)
A．2 cm2 B．1 cm2 C．0.5 cm2 D．0.25 cm2
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．△ABC中，当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时，这个三角形是直角三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
12．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12 cm，且AB＝4 cm，BC＝3 cm，则DF的长为5_cm．
13．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝105°．
14．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③∠C＝∠EFA；④AD＝AC.其中正确的结论是①②③(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题(本大题共6个小题，共54分)
15．(8分)如图，已知线段a和∠α；求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝AC＝2a.不写作法，保留作图痕迹．
解：如图所示．

16．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，B，C，D在同一直线上，FD∥EC，∠D＝42°.
(1)求∠ACB的度数；
(2)求∠B的度数．
解：(1)∵FD∥EC，∠D＝42°，∴∠BCE＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
(2)∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.
17．(9分)如图，D，E，F，B在一条直线上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE，试说明：AE∥CF.
解：∵BF＝DE，
∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴∠AEB＝∠CFD.∴AE∥CF.
18．(9分)如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上．现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形．
(1)在图1中画出一个三角形与△PQR全等；
(2)在图2中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．
解：
19．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于点E.
(1)试说明：AC＝AE；
(2)若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
解：(1)∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°.
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED(AAS)．
∴AC＝AE.
(2)由(1)，得△ACD≌△AED，∴DC＝DE.
∵S△ACB＝S△ACD＋S△ADB，
∴S△ACB＝AC·CD＋AB·DE.
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，
∴24＝×8×CD＋×10×DE.
∴DE＝.
20．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O.
(1)求∠BOC的度数；
(2)点F在BC上，BF＝BE，试说明：△COD≌△COF；
(3)BE，CD，BC三条线段之间有怎样的数量关系？请直接写出结果．
解：(1)在△ABC中，∠A＝60°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×(180°－60°)＝60°.
∴∠BOC＝180°－60°＝120°.
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.
在△OBE和△OBF中，
∴△OBE≌△OBF(SAS)．
∴∠BOE＝∠BOF.
∵∠BOC＝120°，∴∠BOE＝60°.
∴∠BOF＝∠COF＝∠COD＝60°.
在△COD和△COF中，
∴△COD≌△COF(ASA)．
(3)BC＝BE＋CD.
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是16或17．
22．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF＝6，BG＝3，DH＝4，计算图中实线所围成的图形的面积S是50．
23．如图，在△ABC中，∠A＝84°，点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB平分线的交点．若∠P＝100°，则∠ACB的度数是56°．
24．已知AD是△ABC的高，且∠BAD＝35°，∠CAD＝60°，则∠BAC的度数是95°或25°．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是③⑤⑥．(填写正确的序号)
①DF＝BE；②△ADF≌△ABE；③FA平分∠DFE；④AE平分∠FAB；⑤BE＋DF＝EF；⑥CF＋CE＞FD＋EB.
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD＝CE，则易证得AD＝BE.
(1)若把△DCE绕点C顺时针旋转一定角度(如图2)，连接AD，BE，判断AD与BE是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
(2)若把△ACB和△CDE都改为一般等腰三角形(如图3)，且∠ACB＝∠DCE，则AD＝BE还成立吗？

图1　　 　图2 图3
解：(1)AD＝BE.
理由：∵∠ACD＝∠ACB－∠DCB，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠DCE－∠DCB.
∵∠BCE＝∠DCE－∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.
(2)AD＝BE还成立．
理由：∵∠ACD＝∠ACB－∠DCB，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠DCE－∠DCB.
∵∠BCE＝∠DCE－∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.
27．(10分)探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C.若∠A＝50°，则∠ABX＋∠ACX＝40°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2，…，G9.若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．

图1 　图2　 图3　 图4
解：(1)连接AD并延长至点F，
则∠BDF＝∠BAD＋∠B，∠CDF＝∠C＋∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF＋∠CDF，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
(2)②由(1)的结论易得∠DBE＝∠A＋∠ADB＋∠AEB，
∴∠ADB＋∠AEB＝∠DBE－∠A＝80°.
又∵∠DCE＝(∠ADB＋∠AEB)＋∠A，
∴∠DCE＝×80°＋50°＝90°.
③设∠A为x°，则∠ABD＋∠ACD＝140°－x°.
∵∠BG1C＝(∠ABD＋∠ACD)＋∠A，∠BG1C＝77°，
∴(140－x)＋x＝77，解得x＝70.
∴∠A＝70°.
28．(12分)(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：DE＝BD＋CE；
(2)拓展：如图2，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

图1　　 图2　 　图3
解：(1)证明：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∵∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴AE＝BD，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)结论DE＝BD＋CE成立．
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠ABD＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.
∴∠CAE＝∠ABD.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴AE＝BD，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(3)∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴S△ABD＝S△CAE.
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，
则S△ABC＝BC·h，S△ACF＝CF·h.
∵BC＝2CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝S△ABC＝6.
∵S△ACF＝S△CEF＋S△CEA＝S△CEF＋S△ABD＝6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为6.