课时作业(十七) 利用导数解决实际问题
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16
B．30,15
C．40,20
D．36,18
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
3．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100
B．150
C．200
D．300
4．某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数，且关系式为y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数，且关系式为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产该产品( )
A．6千台
B．7千台
C．8千台
D．9千台
二、填空题
5．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
6．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10
km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.
三、解答题
8．如图，一矩形铁皮的长为8
cm，宽为5
cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
9．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
[尖子生题库]
10．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40
km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
课时作业(十七) 利用导数解决实际问题
1．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．
答案：A
2．解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4
0.所以当x＝4时，y最小．
答案：B
3．解析：由题意，得总成本函数为
C(x)＝20
000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．
答案：D
4．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，
所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6，
经检验知x＝6既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台.
答案：A
5．解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
答案：800
6．解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当∴当x＝时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
答案：，
7．解析：设轮船的速度为x
km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．
因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0)．
所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20
km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．
答案：20
8．解析：设小正方形的边长为x
cm，
则盒子底面长为(8－2x)
cm，宽为(5－2x)
cm，V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1
cm时，盒子容积最大．
9．解析：设每次进书x千册(0所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．
10．解析：设C点距D点x
km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋
.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30
km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省．
PAGE课时作业(十六) 导数与函数的极值、最值
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
2．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
3．已知函数f(x)＝x2－2(－1)k
ln
x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是( )
A．{2,4,6,8，…}
B．{0,2,4,6,8，…}
C．{1,3,5,7，…}
D．N＋
4．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0
B.
C.
D.
二、填空题
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
6．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
8．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
课时作业(十六) 导数与函数的极值、最值
1．解析：根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．
答案：B
2．解析：f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
答案：D
3．解析：∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(
)
要使f(x)存在极值，则方程(
)在(0，＋∞)上有解．
∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，
所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．
答案：A
4．解析：f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
答案：C
5．解析：∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
答案：(－∞，－1)
6．解析：设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图像与x轴有3个交点，
故
∴－2答案：(－2,2)
7．解析：由f(x)＝＋2ln
x，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
8．解析：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
9．解析：(1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
经检验符合题意，故a＝－6，b＝9.
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．解析：因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得PAGE课时作业(十五) 导数与函数的单调性
一、选择题
1．函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2)
B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞)
D．(e2，＋∞)
2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝xex
C．y＝x3－x
D．y＝ln
x－x
4．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
二、填空题
5．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________．
6．在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为________．
7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
三、解答题
8．设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax(a>0)．求f(x)的单调区间．
9．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
[尖子生题库]
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
课时作业(十五) 导数与函数的单调性
1．解析：因为y＝x＋xln
x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln
x<0，解得0即函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是(0，e－2)．
答案：B
2．解析：由导函数f′(x)的图像知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增，故选C.
答案：C
3．解析：B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
答案：B
4．解析：f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.
答案：A
5．解析：令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<，又x∈(0，π)，解得答案：
6．解析：由xf′(x)<0可得，
或
由题图可知当－1当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
则或
解得0∴xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
7．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
答案：(0，＋∞)
8．解析：∵f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
9．解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－32＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
10．解析：因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
PAGE课时作业(十四) 求导法则及其应用
一、选择题
1．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
2．函数f(x)＝x＋xln
x在(1,1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x－y＋1＝0
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2
B.
C．－
D．－2
4．函数y＝(2
019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2
019－8x)2
B．－24x
C．－24(2
019－8x)2
D．24(2
019－8x)2
二、填空题
5．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
6．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
7．已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f′＝________.
三、解答题
8．已知曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，求a的值．
9．已知点P是曲线y＝x2－ln
x上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
课时作业(十四) 求导法则及其应用
1．解析：f′(x)＝＝
.
答案：A
2．解析：∵f′(x)＝(x＋xln
x)′
＝1＋x′ln
x＋x(ln
x)′
＝1＋ln
x＋1＝2＋ln
x，
∴f′(1)＝2＋ln
1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案：B
3．解析：∵y＝＝1＋，
∴y′＝－，∴y′|x＝3＝－.
∴－a×＝－1，即a＝－2.
答案：D
4．解析：y′＝3(2
019－8x)2×(2
019－8x)′
＝3(2
019－8x)2×(－8)＝－24(2
019－8x)2.
答案：C
5．解析：f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.
答案：
6．解析：设P(x0，y0)．∵y＝xln
x，∴y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x.
∴k＝1＋ln
x0.又k＝2，∴1＋ln
x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln
e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．
答案：(e，e)
7．解析：∵f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
∴f′＝f′cos
－sin
＝－1，
∴f′(x)＝－cos
x－sin
x，
∴f′＝－cos
－sin
＝－.
答案：－
8．解析：由y＝x＋ln
x，得y′＝1＋，
得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
9．解析：过P作y＝x－2的平行直线，
且与曲线y＝x2－ln
x相切，
设P(x0，x－ln
x0)，
则k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1，
∴x0＝1或x0＝－(舍去)，
∴点P的坐标为(1,1)．
∴dmin＝＝.
10．解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.
PAGE课时作业(十三) 基本初等函数的导数
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos
x，则y′＝sin
x
B．若y＝sin
x，则y′＝－cos
x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)或(－1，－1)
3．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4
B．－4
C．28
D．－28
4．若f(x)＝sin
x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A.
B.
C.π
D.π
二、填空题
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
6．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
7．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
三、解答题
8．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
9．求曲线f(x)＝x2过点P(1,0)的切线方程．
[尖子生题库]
10．(1)设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
019(x)＝( )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
(2)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
课时作业(十三) 基本初等函数的导数
1．解析：∵(cos
x)′＝－sin
x，∴A不正确；
∵(sin
x)′＝cos
x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．
答案：C
2．解析：切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
答案：D
3．解析：∵y′＝3x2，
∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，
∴k－b＝28.
答案：C
4．解析：∵f(x)＝sin
x，∴f′(x)＝cos
x.
又∵f′(α)＝cos
α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.
答案：A
5．解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
答案：1
6．解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
∵y′＝(ln
x)′＝，
由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln
2.
由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.
答案：ln
2－1
7．解析：依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
8．解析：(1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设切点M(x0，y0)，因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
9．解析：设切点为Q(a，a2)，f′(x)＝2x,
f′(a)＝2a，
所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝0或2，所求的切线方程为y＝0或y＝4x－4.
10．解析：(1)f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos
x)′
＝sin
x，所以4为最小正周期，
故f2
019(x)＝f3(x)＝－cos
x.
(2)与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
答案：(1)D (2)
PAGE课时作业(十二) 导数及其几何意义
一、选择题
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
2．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且li
＝1，则f′(x0)等于( )
A．1
B．－1
C．－
D.
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
4．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3
二、填空题
5．在曲线f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，则：
(1)＝____________；(2)f′(1)＝____________.
6．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是________．
7．求曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为____________．
三、解答题
8．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
9．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，求点P的坐标．
[尖子生题库]
10．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
课时作业(十二) 导数及其几何意义
1．解析：∵f′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
答案：C
2．解析：∵
＝
＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－.
答案：C
3．解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
答案：D
4．解析：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝
[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，
∴x0＝±1.
答案：C
5．解析：(1)＝＝
＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝
＝
(2＋Δx)＝2.
答案：(1)2＋Δx (2)2
6．解析：因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝
＝
(Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
答案：4x＋y－2＝0
7．解析：∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝
＝x.
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
答案：45°
8．解析：f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
9．解析：设P(x0，y0)，则
y′＝
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
10．解析：设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
PAGE课时作业(十一) 函数的平均变化率
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．4
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
4．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
D．－3Δt－6
二、填空题
5．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．
6．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
7．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的平均速度是________．
三、解答题
8．一正方形铁板在0
℃时，边长为10
cm，加热后会膨胀，当温度为t
℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积从0
℃到t
℃的平均变化率．
9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4
s附近的平均速度．
[尖子生题库]
10．在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有________．
①y＝x平均变化率为1
②y＝x2平均变化率为2.3
③y＝x3平均变化率为3.99
④y＝平均变化率为0.3
课时作业(十一) 函数的平均变化率
1．解析：由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
答案：B
2．解析：∵x＝2，Δx＝0.1，
∴Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
答案：B
3．解析：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.
答案：C
4．解析：平均速度为
＝＝－3Δt－6，
故选D.
答案：D
5．解析：
第二年婴儿体重的平均变化率为＝0.25(千克/月)．
答案：0.25
6．解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
答案：[x3，x4]
7．解析：
＝
＝
＝2－6t－3Δt.
所以物体的平均速度是：2－6t－3Δt
答案：
2－6t－3Δt
8．解析：铁板面积S的增量ΔS＝102(1＋at)2－102＝100(2at＋a2t2)，
因此铁板面积从0
℃到t
℃的平均变化率为＝＝100(2a＋a2t)．
9．解析：＝＝
＝
＝(25＋3Δt)m/s，
即该物体在4
s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.
10．解析：根据平均变化率的计算公式，可得＝，
所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为＝，
①的平均变化率为＝1，正确；
②的平均变化率为＝2.3，正确；
③的平均变化率为＝3.99，正确；
④的平均变化率为≈－0.77，错误．
答案：①②③
PAGE