2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用章末质量检测 Word含解析新人教B版选择性必修第三册

章末质量检测(二)　导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则li
的值为(　　)
A．f′(x0)　　　　　　　　B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)
D．0
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．1
B.
C．－
D．－1
3．下列各式正确的是(　　)
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
5．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0　　
B．2
C．1　　　
D．－1
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1B．－3C．a<－1或a>2
D．a<－3或a>6
7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2
B．1
C．0
D．由a确定
8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A．－5
B．7
C．10
D．－19
9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)
A．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln
x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a<－4
C．a≥0或a≤－4
D．a>0或a<－4
11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
12．已知函数f(x)的定义域为(m，n)，导函数f′(x)在(m，n)上的图像如图所示，则f(x)在(m，n)内的极小值点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知三次函数f(x)，当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数图像过原点，则f(x)＝________.
14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
15．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
16．经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axex－x2－2x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x>0时，若曲线y＝f(x)在直线y＝－x的上方，求实数a的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a，
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x＋a)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,4]上的最小值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
章末质量检测(二)　导数及其应用
1．解析：
＝2
＝2f′(x0)，故选B.
答案：B
2．解析：y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
答案：A
3．解析：由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
答案：C
4．解析：f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
答案：D
5．解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
答案：A
6．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0，
即a2－3a－18>0.
解得a>6或a<－3.
答案：D
7．解析：f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.
答案：C
8．解析：∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.
答案：A
9．解析：不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式?g(x)>0?g(x)>g(1)．
∴x>1，故选C.
答案：C
10．解析：f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0,1)，
∵f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0,1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0,1)上恒成立．
设g(x)＝－2x2－2x＝－22＋，则g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(x)的最大值为g(0)＝0，
g(x)的最小值为g(1)＝－4.
∴a≥0或a≤－4.
答案：C
11．解析：设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝·(2x－1)′＝，
所以k＝＝2，解得x0＝1.
所以点A的坐标为(1,0)．
所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝.
答案：A
12．解析：根据极小值点的导数符号特征左负右正解答．
点A的左右两边导数左负右正，所以A是极小值点；
点O的左右两边导数都正，所以O不是极小值点；
点B的左右两边导数左正右负，所以B是极大值点；
点C的左右两边导数左负右正，所以C是极小值点；
故选B.
答案：B
13．解析：设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，由题意，知
解得
故f(x)＝x3－6x2＋9x.
答案：x3－6x2＋9x
14．解析：设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln
2，∴x0＝－ln
2，
∴y0＝eln
2＝2，∴点P的坐标为(－ln
2,2)．
答案：(－ln
2,2)
15．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2答案：(－2,2)
16．解析：设切点为，则＝－，
∴x0＝1，即切点为(1,1)，斜率为－1，
∴直线方程为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
17．解析：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又因为点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝xex－x2－2x，所以f′(x)＝ex(x＋1)－2x－2，f′(0)＝－1.
又因为f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.
(2)当x>0时，“曲线y＝f(x)在直线y＝－x的上方”等价于“axex－x2－2x>－x恒成立”，即x>0时aex－x－1>0恒成立，
由于ex>0，所以等价于当x>0时，a>恒成立．
令g(x)＝，x>0，则g′(x)＝.
当x>0时，有g′(x)<0.
所以g(x)在区间(0，＋∞)单调递减．又g(0)＝1
从而对任意x>0，<1恒成立．
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
19．解析：(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0.解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln
a－a2＋.
20．解析：(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln
x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln
3，φ(2)＝2－2ln
2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln
23.
所以实数a的取值范围为(2－2ln
2,3－2ln
3]．
21．解析：(1)f
′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，
由f
′(x)>0，解得x>－a－1；
由f
′(x)<0，解得x<－a－1.
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)，单调增区间为(－a－1，＋∞)．
(2)①当－a－1≥4，即a≤－5时，
f(x)在[0,4]上单调递减，所以f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.
②当－a－1≤0，即a≥－1时，
f(x)在[0,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝a.
③当－5f
′(x),
f(x)的变化如下表：
所以f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1＝－.
综上，当a≤－5时，
f(x)在[0,4]上的最小值为(a＋4)e4；当a≥－1时，
f(x)在[0,4]上的最小值为a；当－5f(x)在[0,4]上的最小值为－.
22．解析：(1)f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故　即　解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，
所以f(x)－＝.
设函数h(x)＝2ln
x－(x>0)，
则h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>.
故当x>0，且x≠1时，f(x)>.
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