第2课时 等比数列习题课
学习目标
1.掌握等差数列与等比数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)2.能用错位相减法求数列的前n项和.(逻辑推理、数学运算)
关键能力·合作学习
类型一 等差数列、等比数列性质的应用(逻辑推理、数学运算)
1.设Sn为正项等比数列{an}的前n项和,a5,3a3,a4成等差数列,则的值为
( )
A.
B.
C.16
D.17
2.等比数列{an}满足a3a5=4(a4-1),且a4,a6+1,a7成等差数列,则该数列的公比q为
( )
A.
B.-
C.4
D.2
3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,设其前n项和为Sn,若a1,a2+9,a3成等差数列,则S5=
( )
A.682
B.683
C.684
D.685
【解析】1.选D.正项等比数列{an}的公比设为q,q>0,a5,3a3,a4成等差数列,可得6a3=a5+a4,即6a1q2=a1q4+a1q3,
化为q2+q-6=0,解得q=2(-3舍去),
则===1+q4=1+16=17.
2.选D.由a3a5=4(a4-1),得=4a4-4,
即(a4-2)2=0,解得a4=2.
又a4,a6+1,a7成等差数列,
所以2(a6+1)=a4+a7,即2(2q2+1)=2+2q3,
所以q=2.
3.选A.数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,公比设为q,q>0,由a1,a2+9,a3成等差数列,可得2(a2+9)=a1+a3,即2(2q+9)=2+2q2,解得q=4(-2舍去),则S5==682.
等差、等比数列性质的综合应用
(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;
(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.
【补偿训练】
1.已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则=
( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选C.设等差数列{an}的公差d不为零,S3,S9,S27成等比数列,可得=S3S27,
即有(9a1+36d)2=(3a1+3d)(27a1+351d),
化简得d=2a1,则===9.
2.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1,a3,a2成等差数列,则q=
( )
A.
B.
C.
D.或
【解析】选C.等比数列{an}的各项均为正数,
即q>0,由a1,a3,a2成等差数列,
可得a3=a1+a2,即有a1q2=a1+a1q,
即有q2-q-1=0,
解得q=.
3.已知等差数列{an}的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则=
( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】选C.由等差数列{an}的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列,可得=a1a4,
即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化简得a1=d,
则===5.
类型二 错位相减法求数列的前n项和(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】已知等比数列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
四步
内容
理解题意
条件:(1)公比q>0;(2)a2a3=8a1;(3)a4,36,2a6成等差数列;(4)bn=.结论:(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和Tn.
思路探求
(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,q,求通项.(2)利用错位相减法求前n项和.
书写表达
(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2==4,又q>0,所以q=2,所以an=8·2n-4=2n-1.(2)
bn===n·,Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·,·Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·,
两式相减得:·Tn=+++…+-n·=-n·,所以Tn=8-(n+2)·.
题后反思
本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?
关于错位相减法求和
(1)适用范围:{an}是等差数列,{bn}是等比数列(q≠1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;
(2)求和步骤
①对求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;
②式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成
qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,
(i)(ii)式形成错位;
③(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;
④两边同除以1-q,整理得Sn.
(2020·全国Ⅰ卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
【解析】(1)设的公比为q,
由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.
因为a1≠0,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.
故的公比为-2.
(2)设Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,
-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.
所以Sn=-.
类型三 等比数列Sn与an的关系(逻辑推理、数学运算)
角度1 求Sn与an的关系?
【典例】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是
( )
A.Sn=2an-1
B.Sn=2an+1
C.Sn=4an-3
D.Sn=4an-1
【思路导引】分别表示出Sn与an,再确定关系.
【解析】选A.设等比数列的公比为q(q>0),
由a1=1,且-a3、a2、a4成等差数列,
得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.
所以Sn=,则Sn=2an-1.
本例中的等比数列{an},若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?
【解析】Sn==an-.
角度2 Sn与an的关系的应用?
【典例】数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于{an}的论断中正确的是
( )
A.一定是等差数列
B.可能是等差数列,但不会是等比数列
C.一定是等比数列
D.可能是等比数列,但不会是等差数列
【思路导引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.
【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1时,a2=3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.
关于等比数列Sn与an的关系
(1)Sn与an的关系可以由Sn=得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断;
(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.
1.设Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,3Sn=an+1-1,n∈N
,若ak=1
024,则k=
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选C.Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,3Sn=an+1-1,
n∈N
①,
当n≥2时3Sn-1=an-1,②
①-②得3an=an+1-an,
整理得=4(常数),当n=1时,3a1=a2-1,即=4,
所以数列{an}是以1为首项,4为公比的等比数列.
则an=1·4n-1=4n-1,
由于ak=1
024,即:4k-1=1
024,解得:k=6.
2.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则
( )
A.Sn=2an-1
B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an
D.Sn=3-2an
【解析】选D.Sn===3-2an.
3.(2020·徐州高一检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,满足Sn=2an+n(n∈N
).
(1)证明数列{an-1}是等比数列,并求出通项公式an.
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
【解析】(1)由Sn=2an+n,当n=1时,S1=2a1+1,得a1=-1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+(n-1),
两式作差可得:an=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,
所以an-1=2(an-1-1).
所以数列{an-1}是以a1-1=-2为首项,以2为公比的等比数列,所以an-1=-2·2n-1=-2n,an=1-2n.
(2)根据题意,Tn=1(1-2)+2(1-22)+…+n(1-2n)=1+2+…+n-(1·2+2·22+…+n·2n)
设An=1·2+2·22+…+2·2n,
2An=1·22+2·23+…+n·2n+1,两式作差化简得An=(n-1)2n+1+2,
所以Tn=-(n-1)2n+1.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}为等差数列,且,2,成等比数列,则{an}前6项的和为
( )
A.15
B.
C.6
D.3
【解析】选C.设数列{an}为公差为d的等差数列,且,2,成等比数列,
可得4=·=,可得a1+a6=2,
即有{an}前6项的和为×6(a1+a6)=6.
2.等比数列{an}中,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,则数列{an}的公比为
( )
A.1
B.2
C.-2
D.4
【解析】选B.等比数列{an}的公比设为q,
满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,
可得2(a2+1)=a1+a3,
即为2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).
3.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .?
【解析】因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,
解得a1=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),
所以an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,
所以an=-2n-1,所以S6==-63.
答案:-63
4.(教材二次开发:练习改编)数列,,,,…的前10项的和S10= .?
【解析】S10=+++…++,
则S10=++…++.
两式相减得,S10=+++…+-=-,
所以S10=.
答案:
5.求和:++++…+.
【解析】设Sn=++++…+
=++++…++,①
则Sn=+++…++.②
①-②,得Sn=++++…+-
=+++…+-
=+-=--
=-,
所以Sn=3-.
【新情境·新思维】
对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若{an}的“差数列”是首项为,公比为的等比数列,若a1=1,则a2
020= .?
【解析】根据题意,an+1-an=,
则a2
020=(a2
020-a2
019)+(a2
019-a2
018)+…
+(a2-a1)+a1=++……++1
=2-.
答案:2-
PAGE2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)2.掌握等比数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)3.会用等比数列的前n项和公式解决相关的问题.(数学运算、数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.类比等差数列前n项和公式,等比数列的前n项和是什么?如何推导?2.结合等差数列的性质,等比数列的性质有哪些?
1.等比数列的前n项和公式
q=1
na1
q≠1
a1,q,n
Sn=
a1,q,an
Sn=
对于等比数列的前n项和Sn==一定成立吗?
提示:不一定,当q=1时不成立.
2.等比数列前n项和的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)在等比数列中,若项数为2n(n∈N
),则= q .?
(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
等比数列前n项和公式Sn=(q≠1),是否可以写成Sn=Aan+B(AB≠0且A≠1)的形式?
提示:可以,A=-,B=.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=.
( )
(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=.
( )
(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0.
( )
提示:(1)×.Sn=.
(2)×.Sn=(q≠1).
(3)×.Sn==.
2.等比数列{an}的前n项和Sn=3n+1+a,则a的值为
( )
A.3
B.-3
C.-1
D.任意实数
【解析】选B.因为Sn=3n+1+a,
所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n.
n=1时,a1=S1=a+9.因为{an}为等比数列,
所以a+9=2×31,解得a=-3.
3.(教材二次开发:例题改编)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则S5= .?
【解析】S5===31.
答案:31
关键能力·合作学习
类型一 等比数列前n项和公式的应用(逻辑推理、数学运算)
1.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a1=1,a2a3=-8,则S6=
( )
A.
B.-24
C.-21
D.11
2.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7(n∈Z),则f(n)等于
( )
A.(4n-1)
B.(4n+1-1)
C.(4n+3-1)
D.(4n+4-1)
3.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1= .?
【解析】1.选C.设等比数列{an}公比为q,a1=1,a2a3=-8,
则a2a3=q3=q3=-8,解得q=-2,
所以S6==-21.
2.选D.依题意,f(n)可以看作以2为首项,4为公比的等比数列的前n+4项的和,
所以f(n)==(4n+4-1).
3.因为S3==6,S6==54,
所以=1+q3=9,
解得q3=8,则q=2,
所以=6,解得a1=.
答案:
等比数列前n项和的运算技巧
(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.
(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.
(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
【补偿训练】
1.(2020·南宁高一检测)设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=,3a4-10a3+3a2=0,则a4=
( )
A.9
B.27
C.81
D.
【解析】选A.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若3a4-10a3+3a2=0,则3a2q2-10a2q+3a2=0,即3q2-10q+3=0,解得q=3或,
又由数列{an}为递增的等比数列,则q=3,
若S4=,则S4==40a1=,
解得a1=,则a4=a1q3=9.
2.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= .?
【解析】设等比数列的公比为q,
由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,
即q2+q+=0,解得q=-,
所以S4===.
答案:
3.等比数列{an}中a1=2,a4=16,则其前n项和Sn= .?
【解析】设数列{an}的公比为q,
因为a1=2,a4=16.
所以2q3=16,解得q=2,
所以Sn==2n+1-2.
答案:2n+1-2
类型二 等比数列前n项和公式的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)
【典例】王老师借贷10
000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.062,1.015≈1.051)
四步
内容
理解题意
条件:(1)借贷10
000元;(2)月利率为1%;(3)复利计息借贷;(4)第二个月开始等额还贷;(5)6个月付清.结论:每月应支付多少元.
思路探求
解决等额还贷问题关键要明白以下两点:(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.(2)还贷金额:从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.
书写表达
方法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1≤n≤6),则a0=10
000,a1=1.01a0-a,a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a,…a6=1.01a5-a=…=1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a.由题意,可知a6=0,即1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a=0,a=.因为1.016≈1.062,所以a≈≈1
713.故每月应支付1
713元.方法二:一方面,借款10
000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6(元).另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a==a(1.016-1)×102(元).由S1=S2得a=.以下解法同方法一,得a≈1
713,故每月应支付1
713元.
题后反思
本题关键是找到a1,公比q,转化为等比数列前n项和求解
实际问题抽象为数学问题的方法策略
抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度,
由题意,得an+1=an,
因此数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn=a1+a2+…+an===125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
【拓展延伸】
解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列;
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,
列出方程(组)求解.
【拓展训练】
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,
所以an=192×=384×,
因为384×<30,
所以2n>12.8,经验证可得n≥4,
即从第4天开始,走的路程少于30里.
【补偿训练】
1.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺?
( )
A.
B.
C.9
D.10
【解析】选B.等比数列{an}中,
公比q=2,S5=5,S5===(25-1)a1=5,
所以a1=,
所以a2=a1·q=×2=.
2.国家计划在某地区退耕还林6
370万亩,2020年年底已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.
试问从2020年年底,到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)
【解析】设从2020年年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,…,an,….
则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,…,an=515(1+12%)n,…,Sn=a1+a2+…+an=
=6
370-515?515×1.12×(1.12n-1)=5
855×0.12.
所以1.12n=2.22,所以n≈7.
故到2027年年底该地区才能完成退耕还林计划.
类型三 等比数列前n项和的性质及应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 前n项和公式的函数特征?
【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则=
( )
A.
B.3
C.6
D.9
【思路导引】用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1,
所以=1,λ=3且q=3,
又a1=S1=3·3n-1-1=2,
==9;
方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,
当n=1时,有a1=S1=λ-1,
有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,
a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,
解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,
则==9.
将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5= .?
【解析】数列{an}是等比数列,
①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.
②故数列{an}的公比q≠1,
所以Sn==-
qn+,
故q=2,=-3,故a=-3.
所以S5=3×25-3=93.
答案:93
角度2 前n项和的性质?
【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=
( )
A.
B.-
C.
D.
【思路导引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,
S6-S3,S9-S6成等比数列,
又a7+a8+a9=S9-S6,
则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,
从而a7+a8+a9==.
方法二:因为S6=S3+S3q3,
所以q3==-,
所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×
=.
角度3 奇偶数项的前n项和问题?
【典例】等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80= .?
【思路导引】利用=q,及S2n=S奇+S偶求解.
【解析】设S1=a2+a4+a6+…+a80,
S2=a1+a3+a5+…+a79.
则=q=3,即S1=3S2.
又S1+S2=S80=32,所以S1=32,
解得S1=24.
即a2+a4+a6+…+a80=24.
答案:24
1.等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列
?Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N
).
即指数式的系数与常数项互为相反数,
其中A=.
2.在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇≠0);若项数为2n+1,则=q(S偶≠0).
3.若等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1).
1.等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= .?
【解析】根据题意得
所以
所以q===2.
答案:2
2.在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
【解析】因为{an}为等比数列,显然公比不等于-1,
所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
所以S3n=+S2n=+60=63.
3.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…
+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.
所以q===2.
又Sn=85+170=255,据Sn=,
得=255,
所以2n=256,所以n=8.
即公比q=2,项数n=8.
课堂检测·素养达标
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=
( )
A.11
B.5
C.-8
D.-11
【解析】选D.由8a2+a5=0,得=q3=-8,q=-2,
所以===-11.
2.(教材二次开发:例题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=
( )
A.3∶4
B.2∶3
C.1∶2
D.1∶3
【解析】选A.在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,
因为S10∶S5=1∶2,
所以S5=2S10,S15=S5,得S15∶S5=3∶4.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,则这个数列的前8项之和S8= .?
【解析】a1+a4=a1(1+q3)=18,a2+a3=a1(q+q2)=12,
两式联立解得q=2或,而q为整数,
所以q=2,a1=2,代入公式求得S8==510.
答案:510
4.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项的和S15= .?
【解析】S3=1,S6-S3=-2,
所以S9-S6=4,S12-S9=-8,S15-S12=16,
所以S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12)=1-2+4-8+16=11.
答案:11
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
【解析】(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0故2q2+q=0.
又q≠0从而q=-.
(2)由已知可得a1-a1=3,
故a1=4.
从而Sn==.
【新情境·新思维】
设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2n(n∈N
,n≥2),则S13=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意,因为a1=2,
n=2时,a2+a3=22,n=4时,a4+a5=24,
n=6时,a6+a7=26,n=8时,a8+a9=28,
n=10时,a10+a11=210,n=12时,a12+a13=212,
S13=2+22+24+26+28+210+212
=2+=.
PAGE第2课时 等比数列的性质
学习目标
1.掌握等比数列的性质及其应用.(逻辑推理、数学运算)2.掌握等比中项的实际应用.(数学运算、数学建模)3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.结合等差数列的性质,思考等比数列应该具备哪些性质?2.类比等差数列的单调性,分析等比数列的单调性?
1.等比数列项的运算性质
(1)等比数列的项之间的关系.
等比数列{an},m,n,p,q∈N
两项关系
an=amqn-m
三项关系
若m+n=2p,则an·am=
四项关系
若m+n=p+q,则am·an=ap·aq
(2)“子数列”性质.
对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;
若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.
(3)两等比数列合成数列的性质.
若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{},{an·bn},也为等比数列.
等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?
提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.
2.等比数列的单调性
递增数列
a1>0
q>1
a1<0
0
递减数列
a1>0
0a1<0
q>1
当q=1,q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)等比数列{an}中a2·a6=.
( )
(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.
( )
(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.
( )
提示:(1)×.a2·a6=.
(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.
(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=-<0,
所以数列{an}是摆动数列.
3.(教材二次开发:练习改编)在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11= .?
【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,
所以a8·a9·a10·a11=102=100.
答案:100
关键能力·合作学习
类型一 等比数列的性质及应用(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
1.已知数列{an}是正项等比数列,若是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是
( )
A.5
B.25
C.5
D.55
【解析】选B.因为是a2和a8的等比中项,
所以a2·a8=5,
又a1a9=a3a7==a2·a8=5,a5>0,
所以a5=,则a1a3a5a7a9=25.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8=
( )
A.110
B.160
C.360
D.2
160
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=10,a3+a4=60,
所以q2(a1+a2)=10q2=60,
解得q2=6.
则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2
160.
3.等比数列{an}中,a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,则a2a6a10=
( )
A.8
B.-8
C.4
D.8或-8
【解析】选B.根据题意,等比数列{an}中,
有a4a8=a2a10=,
a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,
则a4a8=4,a4+a8=-10,
则a4<0,a8<0,则有a6=a4q2<0,
即a6=-2,所以a2a6a10=(a6)3=-8.
利用性质简化运算
有关等比数列的计算,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质充分发挥项的“下标”的指导作用可优化解题过程.
【补偿训练】
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7=
( )
A.1
B.3
C.6
D.9
【解析】选D.因为等比数列{an}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a12=12,
即log3(a1·a2·…·a12)=12,
所以a1·a2·…·a12=312,
所以(a6a7)6=312,
所以a6a7=32=9.
2.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=32,则a2=
( )
A.-1
B.1
C.±1
D.2
【解析】选C.等比数列{an}中,a2a3a4=8,
则=8,则a3=2,
因为a7=32,所以q4==16,
解得q=±2,
所以a2=±1.
类型二 等比中项的实际应用(数学运算、数学建模)
【典例】某工厂2019年1月的生产总值为a万元,计划从2019年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2020年8月底该厂的生产总值为多少万元?
【思路导引】(1)该问题可以转化为等比数列模型吗?
(2)a1,q分别是多少?要求哪一个量?
【解析】设从2019年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,
所以=1+m%.
则数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列.
所以an=a(1+m%)n-1.
故2020年8月底该厂的生产总值为
a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19万元.
关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?
【解析】根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,x+d,d>0,
则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
由题意得
解得x=90,d=10,
故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),
即该厂第一季度实际生产电脑305台.
【拓展延伸】
在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.
【拓展训练】
某工厂三年的生产计划是从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划每年的产值.
【解析】由题意得,原计划三年中每年的产值组成等差数列,设为a-d,a,a+d(d>0),
则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.
又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列,所以(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].
将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d),
即d2+d-110=0.
解得d=10或d=-11(舍去).
所以原计划三年的产值分别为90万元,100万元,110万元.
【补偿训练】
(1)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
( )
(参考数据:lg
1.12≈0.05,lg
1.3≈0.11,lg
2≈0.30)
A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
【解析】选C.设2018年全年投入研发资金为a1=130,2018年后n年投入的研发资金为an,则数列{an}成以a1为首项,以1.12为公比的等比数列,
所以an=130×1.12n-1,令130×1.12n-1>200,得n>+1≈+1=4.8,
即当n≥5时该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.所以2022年会超过200万元.
(2)已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线强度减弱到原来的以下,则至少需要重叠玻璃板块数为(参考数据:lg
2≈0.301
0)
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选D.设经过n块玻璃板后,光线强度为an,
则数列{an}是以为公比的等比数列,
由题意可得,<,两边同时取对数可得,nlg
<-lg
4,
所以n>=≈6,则n=7.
类型三 等比数列和等差数列的综合应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 灵活设项解题?
【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【思路导引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.
【解析】因为三个数成等比数列,
设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,
所以a=4,所以三个数为,4,4q,
第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,
则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或,
所以这三个数为2,4,8或8,4,2.
本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
【解析】设三个数依次为,a,aq,
因为·a·aq=512,所以a=8.
因为+(aq-2)=2a,
所以2q2-5q+2=0,
所以q=2或q=,
所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
角度2 等差、等比数列的性质?
【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,
b5=a4+2a6,则a2
018+b9=
( )
A.2
274
B.2
074
C.2
226
D.2
026
【思路导引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2
018+b9.
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,
因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,
所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,
解得q=2,a1=d=1,
则a2
018+b9=1+2
017+28=2
274.
巧设等差数列、等比数列
(1)若三数成等差数列,常设成a-d,a,a+d.若三数成等比数列,常设成,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.
1.设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于 .?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,
a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,
则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),
即(6-d)2=(6-2d)(6+d),
化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,
因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.
答案:21
2.已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为 .?
【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,设公比为q,
a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,
所以2a3=(a2-4)+a4,
即2×2q2=2q-4+2q3,
整理,得(q-2)(q2+1)=0,
所以{an}的公比q=2.
答案:2
3.四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数.
【解析】设后三个数依次为,a,aq,
则第一个数为-a.
由题意得
解得或
所以所求的四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.
【拓展延伸】
等比数列与等差数列的区别与联系:
等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差;(2)a1和d可以为零;(3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项不唯一.
相同点
(1)都强调每一项与前一项的关系;(2)公差与公比都必须是常数;(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定.
联系
(1)若{an}为正项等比数列,则数列{logaan}为等差数列;(2){an}为等差数列,则数列{}为等比数列.
【拓展训练】
数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.
【思路导引】(1)可借助Sn-Sn-1=an(n≥2)来求出an;
(2)考虑方程的思想求出d,再求Tn.
【解析】(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.
故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.
(2)设{bn}的公差为d,
由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故可设b1=5-d,b3=5+d.
又a1=1,a2=3,a3=9,
由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.
解得d1=2,d2=-10.
因为等差数列{bn}的各项为正,所以d>0,所以d=2.
Tn=3n+×2=n2+2n.
【补偿训练】
在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设{an}的首项为a1,公比为q,
依题意得
解得
因此,an=3n-1.
(2)因为bn=log3an=n-1,
所以数列{bn}的前n项和Sn==.
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:习题改编)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】选D.设等比数列的公比为q,
因为==q3,即=a3a9,
所以a3,a6,a9成等比数列.
2.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值为
( )
A.48
B.72
C.144
D.192
【解析】选D.因为=q9=8(q为公比),
所以a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
3.在等比数列{an}中,若a1a2a3=8,a3a4a5=512,则a10等于
( )
A.512
B.256
C.1
024
D.2
048
【解析】选A.因为{an}为等比数列,
所以a1a2a3==8,
所以a2=2,因为a3a4a5==512,
所以a4=8,
由等比数列的性质可知a2,a4,a6,a8,a10成等比数列,公比为=4,
所以a10=2·44=2×28=29=512.
4.已知数列{an}为等比数列.
(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;
(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.
【解析】(1)因为a1a2a3==216,
所以a2=6,所以a1a3=36.
又因为a1+a3=21-a2=15,
所以a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.
当a1=3时,q==2,an=3·2n-1;
当a1=12时,q=,an=12·.
(2)因为a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,
所以q4=4,所以q=±.
【新情境·新思维】
已知数列{}是等比数列,公比为q,则数列{an}
( )
A.是等差数列,公差为log3q
B.是等差数列,公差为3q
C.是等比数列,公比为log3q
D.既不是等差数列,也不是等比数列
【解析】选A.因为数列{}是等比数列,
所以==q,
所以an+1-an=log3q(常数),
所以数列{an}
是等差数列,公差为log3q.
PAGE2.4 等
比
数
列
第1课时 等比数列
学习目标
1.理解等比数列的定义.(数学抽象)2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)3.了解等比数列与指数函数的关系、能在具体情境中识别数列的等比关系,能利用等比数列解决相应的问题.(逻辑推理、数据分析)
必备知识·自主学习
导思
1.类比等差数列,等比数列是如何定义的?如何定义等比中项?2.类比等差数列的通项公式,等比数列的通项公式怎样?如何推导?
1.等比数列的概念
一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,用q表示(q≠0).
(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?
提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.
(2)怎样利用递推公式表示等比数列?
提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).
2.等比中项
在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
(1)G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?
提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.
(2)如果2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗?
提示:由=得a2=8,即a=±2,答案不唯一.
3.等比数列的通项公式
首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.
(1)等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点组成的?与函数y=2x-1的图象有什么关系?
提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成的,这些离散的点都在函数y=2x-1的图象上.
(2)除了课本上采用的不完全归纳法,你还能用什么方法推导等比数列的通项公式.
提示:还可以用累乘法.
当n>2时,=q,=q,…,=q,
所以an=a1···…··=a1·qn-1.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.
( )
(2)若G是a与b的等比中项,则G=.
( )
(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.
( )
提示:(1)×.应等于同一个常数.
(2)×.G=±.
(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.已知2,b,8是等比数列,则实数b=
( )
A.6
B.4
C.-4
D.4或-4
【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,
所以b=±=±4.
3.(教材二次开发:练习改编)等比数列{an}中,a2=2,a5=,则公比q= .?
【解析】由定义知a2=a1q=2,①
a5=a1q4=,②
所以②÷①得q3=,所以q=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 等比数列基本量的运算(逻辑推理、数学运算)
1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=
( )
A.
B.-
C.-
D.
2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=
( )
A.4
B.3
C.2
D.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=,则{an}的通项公式an= .?
【解析】1.选C.设公比为q,则==q3=-8,
则q=-2,则a1==-.
2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以,且q>0,
解得a1=,q=2,
所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,
因为a2-a3=-2,a1+a3=,
所以
两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,
由公比q为整数可得,q=3,a1=.
所以an=3n-2.
答案:3n-2
利用基本量结合方程思想运算
(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决本题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以通过通项公式列方程(组)得出.
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.
【补偿训练】
1.已知等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1=
( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
【解析】选B.等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1===-1.
2.已知等比数列{an}中,a6=4,a8=8,则a10的值是
( )
A.5
B.6
C.14
D.16
【解析】选D.依题意,设公比为q,等比数列{an}中,a6=4,a8=8,
所以==q2==2,
又==q2=2,
所以a10=a8×q2=8×2=16.
3.已知a1=,an=,q=,则n= .?
【解析】因为a1=,q=,an=,
所以=×.
所以==.
所以n-1=3,
所以n=4.
答案:4
类型二 等比中项的应用(数学运算)
【典例】已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
四步
内容
理解题意
条件:b是a,c的等比中项.结论:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
思路探求
证明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可
书写表达
【证明】b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)·(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
题后反思
本题的关键是用递推法分析出ab+bc与a2+b2和b2+c2的关系.
等比中项法证明等比数列
“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,可以用它来判断或证明三个数成等比数列.
1.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是 .?
【解析】设三边为a,aq,aq2(q>1),
由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以q2=.
较小锐角记为θ,则sin
θ===.
答案:
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与的等比中项,则k等于
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.因为an=(n+8)d,
又=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
解得k=-2(舍去),k=4.
【拓展延伸】
等比中项的注意点
1.注意非零.若b2=ac且ac≠0,则a,b,c成等比数列.这里要注意条件ac≠0;若只有条件b2=ac,我们得不到a,b,c成等比数列的结论.
2.注意个数.当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
3.注意从第2项起.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
【拓展训练】
(1)三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c= .?
【解析】由题意得2b=a+c ①,
c2=ab ②,
由①得c=2b-a ③,
将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,
所以c=2b-a=2b-4b=-2b.
则a∶b∶c=4∶1∶(-2).
答案:4∶1∶(-2)
(2)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为 .?
【解析】设衰分比例为q,
则甲、乙、丙各分得,28,28q石,
所以+28+28q=98,
所以q=2或.
又0答案:
【补偿训练】
-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc= .?
【解析】设该等比数列的公比为q,
因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,
所以b2=-1×(-25)=25,
所以b=±5,
又因为b=-1×q2<0,
所以b=-5,
所以abc=b3=-125.
答案:-125
类型三 等比数列的判断与证明(逻辑推理、数学运算)
角度1 利用定义证明等比数列?
【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.
证明:{an+1}是等比数列.
【思路导引】证明为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=an+,
====,
所以=.
方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,
即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以=.所以是以为公比的等比数列.
若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:{an+1}是等比数列.
【证明】因为an+1=2an+1,
所以===2,
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2 已知Sn与an的关系证明等比数列?
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an+b(n∈N
,b∈R,b≠0).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)求证:{an+1}不是等比数列.
【思路导引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)考查出数列的前三项进行证明.
【证明】(1)因为Sn=an+b,
所以当n≥2时,Sn-1=an-1+b,
两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,
所以an=an-an-1,
所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,
故{an}是公比为3的等比数列.
(2)由(1)知a1=-2b,
所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,
(a2+1)2=1+36b2-12b.
(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,
因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),
故数列{an+1}不是等比数列.
数列{an}是等比数列的判断方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)等比中项法:对于数列{an},若=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
1.已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试判断{an}是否是等比数列.
【解析】an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).
当n≥2时,==2;当n=1时,==.
故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;
当a≠-1时,数列{an}不是等比数列.
2.已知数列的前n项和为Sn=2-an.求证数列{an}是等比数列.
【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1,
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,
所以an+1=an.又因为S1=2-a1,所以a1=1≠0.
又由an+1=an知an≠0,所以=,
所以数列{an}是等比数列.
【拓展延伸】
判断数列为等比数列时,根据定义,是从第2项起,后一项与前一项的比是同一非零常数,需验证n=1时是否成立.
【拓展训练】
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn+1)=n(n=1,2,…),试证明数列{an}是等比数列.
【证明】由已知可得Sn=10n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(10n-1)-(10n-1-1)=9×10n-1,
又当n=1时,a1=S1=9也满足上述通项公式,
所以数列{an}的通项公式an=9×10n-1.
而当n≥2时,==10为一常数,
所以数列{an}是等比数列.
【补偿训练】
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn,n∈N
.求证:数列为等比数列.
【证明】因为====2×,所以=2,又==1,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=
( )
A.15
B.24
C.32
D.64
【解析】选C.设公比为q,由a1=1,a4=8可得公比q=2,
故a6=a1q5=32.
2.下面四个数列中,是等比数列的是
( )
A.q,2q,4q,6q
B.q,q2,q3,q4
C.q,2q,4q,8q
D.,,,
【解析】选D.A项不符合等比数列定义;B,C两项中q不等于0时是等比数列,q=0时不是等比数列;D项符合等比数列的定义,公比是.
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1= .?
【解析】因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,
所以a1=3.
答案:3
4.已知等比数列{an}的公比为2,若a1+a3=4,则a2= .?
【解析】由等比数列{an}的公比为2,a1+a3=4,
所以a1(1+22)=4,解得a1=,
则a2=×2=.
答案:
5.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)-是否为该数列的项?若是,为第几项?
【解析】(1)因为2an=3an+1,
所以=,所以数列{an}是公比为的等比数列,
又a2·a5=,所以=,由于各项均为负,得a1=-,an=-.
(2)设an=-,则-=-,=,n=6,
所以-是该数列的项,为第6项.
【新情境·新思维】
“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数.若第一个单音的频率为f,第三个单音的频率为f,则第十个单音的频率为
( )
A.f
B.f
C.f
D.f
【解析】选B.根据题意,单音的频率组成等比数列{an},
设其公比为q(q>0),则有a1=f,a3=f,
所以q2=,解得q=,第十个单音的频率a10=a1q9=()9f=f.
PAGE第2课时 等差数列习题课
关键能力·合作学习
类型一 an与Sn的关系及应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
四步
内容
理解题意
条件:①数列{an}的前n项和为Sn;②an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.结论:是等差数列;求数列{an}的通项公式.
思路探求
(1)将已知等式变形,证明-为常数.(2)利用an与Sn的关系求通项公式.
书写表达
(1)当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,①又==2,
故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得=2n,所以Sn=.当n≥2时an=Sn-Sn-1②=-==-.当n=1时,a1=不适合上式.③故an=④注意书写的规范性:①明确变形目标,进行恰当变形是解题的关键;②③an与Sn的关系要理解全面;④表达形式要准确.
题后反思
已知前n项和Sn求通项an,一方面由n=1时,a1=S1求得a1,另一方面由n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an,并注意验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示,不符合则分段表示.
1.由Sn求通项公式an的步骤
第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;
第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;
第三步:验证a1与an的关系:
(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.
(2)若a1不适合an,则an=
2.Sn与an的关系式的应用
Snan
(1)“和”变“项”.
首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.
(2)“项”变“和”.
首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断{an}是否为等差数列?
【解析】(1)因为Sn=3n2+2n,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.
又a1=S1=5,满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.
(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,
所以{an}是等差数列.
【补偿训练】
设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于任意n∈N
,an与1的等差中项等于,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意知,=,得Sn=,
所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.
即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,
所以an+1-an=2,
所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.
类型二 等差数列前n项和的实际应用(数学建模)
【典例】1.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=
( )
A.23
B.32
C.35
D.38
2.甲、乙两物体分别从相距70
m的两处沿同一直线同时相向运动,甲第1分钟走2
m,以后每分钟比前1分钟多走1
m,乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1
m,乙继续每分钟走5
m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
【思路导引】1.儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.
2.(1)依据甲、乙两物体的路程之和为70
m列方程,其中甲的路程可以依据等差数列的前n项和公式表示;
(2)依据甲、乙两物体的路程之和为3×70
m列方程.
【解析】1.选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+×(-3)=207,解得a1=35.
2.(1)设n分钟后第一次相遇,依题意有2n++5n=70,整理得n2+13n-140=0.
解得n=7或n=-20(舍去).
第一次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第二次相遇,
依题意,有2n++5n=3×70,
整理得n2+13n-6×70=0,
解得n=15,n=-28(舍去).
第二次相遇是在开始运动后15分钟.
应用等差数列解决实际问题的一般思路
(2020·全国Ⅱ卷)
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
( )
A.3
699块
B.3
474块
C.
3
402块
D.3
339块
【解析】选C.设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d,由题意得9n2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27×9+×9=3
402(块).
【补偿训练】
朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1
864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1
864人全部派遣到位需要的天数为
( )
A.9
B.16
C.18
D.20
【解析】选B.根据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可得数列是首项a1=64,公差d=7的等差数列,该问题中的1
864人全部派遣到位的天数为n,则64n+·7=1
864,依次将选项中的n值代入检验得,n=16满足方程.
类型三 数列求和问题(数学运算)
角度1 裂项求和与并项求和问题
【典例】1.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于
( )
A.0
B.100
C.-100
D.10
200
2.(2020·大庆高一检测)已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)记Tn=+++…+,求Tn.
【思路导引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.
2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出an及Sn;
(2)对进行裂项,选择裂项相消法求和.
【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),
所以由已知条件知an=
即an=
所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),
所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+
(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.
2.(1)设等差数列{an}的公差为d,
所以,
所以,
所以an=2n+1,Sn==n(n+2);
(2)由(1)知:==,
所以Tn=+++…+
=
=
=-.
将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10
=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
角度2 求数列{|an|}的前n项的和?
【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.
【思路导引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;
(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得解得则an=n+2.
(2)bn=-2an+25=21-2n,
设{bn}的前n项和为Sn=n(19+21-2n)=20n-n2,
当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;
当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,
综上可得数列{|bn|}的前n项和为
Tn=
1.裂项相消求和
(1)适用数列:形如(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式:=.
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
(4)特殊裂项:
①==.
②=-.
③=.
④=1+.
2.关于并项法求数列的和
(1)适用形式:
①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.
3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.
(1)求an及Sn.
(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2(n∈N
),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意可得
即解得
则an=3+2(n-1)=2n+1,
所以Sn=3n+=n2+2n.
(2)由题意可得
bn===2,
所以Tn=b1+b2+…+bn=2
=2<2.
2.已知等差数列{an}中,记Sn是它的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】由S2=16,S4=24得
即
解得
所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N
).
①当n≤5时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n;
②当n≥6时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an
=2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+an)=2S5-Sn=2(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50,
故Tn=
【补偿训练】
等差数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+n--(n-1)2+(n-1)=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+n,
当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=n2-n+3
502,
所以Tn=
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于
( )
A.4
B.2
C.1
D.-2
【解析】选A.在Sn=2(an-1)中,令n=1得S1=2(a1-1),
即a1=2(a1-1),故a1=2.
所以S2=2(a2-1),即2+a2=2(a2-1),得a2=4.
2.+++…+=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.原式=++…+==.
3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两周共得 积分.?
【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周共得=105积分.
答案:105
4.已知数列{an}的通项公式为an=2n-30,Sn是{|an|}的前n项和,则S10= .?
【解析】an=2n-30,令an<0,得n<15,
即在数列{an}中,前14项均为负数,
所以S10=-(a1+a2+a3+…+a10)
=-(a1+a10)=-5[(-28)+(-10)]=190.
答案:190
5.(教材二次开发:例题改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.求这个数列的通项公式.
【解析】因为Sn=n2-9n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.
又n=1时,a1=S1=-8适合上式,
所以数列{an}的通项公式an=2n-10.
PAGE2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
必备知识·自主学习
导思
1.数列前n项和的定义是什么?2.等差数列前n项和公式是什么?
1.数列的前n项和
(1)定义:对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.
(2)表示:常用符号Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
由Sn=a1+a2+…+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之间是什么关系?
提示:S1=a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
2.等差数列前n项和公式
(1)两个公式及应用条件.
公式结构
适用条件
公式一
Sn=
知首项、末项、项数
公式二
Sn=na1+d
知首项、公差、项数
(2)应用:①求等差数列的前n项和;
②为求复杂数列的前n项和奠定基础;
③解决实际问题.
对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?
提示:公式二可变形为Sn=n2+n,当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N
.
( )
(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.
( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.
( )
(4)1+3+5+7+9=.
( )
提示:(1)×.n>1且n∈N
.
(2)√.等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…的特征,可用倒序相加法.
(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.
(4)×.1+3+5+7+9=.
2.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列{an}满足a1=1,n=50,d=2,则其前n项和Sn等于
( )
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
【解析】选D.S50=50×1+×2=2
500.
3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}的前8项和为
( )
A.128
B.80
C.64
D.56
【解析】选C.设数列{an}的前n项和为Sn,则S8====64.
关键能力·合作学习
类型一 有关等差数列的前n项和的计算(数学运算)
【典例】1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .?
2.根据下列条件,求相应等差数列{an}的有关未知数:
(1)a1=1,a3+a5=14,Sn=100,求d及n;
(2)S8=48,S12=168,求a1和d.
【思路导引】1.根据等差数列的通项公式,解方程,求出首项和公差,然后用等差数列的前n项和公式计算;
2.(1)先由a1=1,a3+a5=14,求公差,再根据Sn=100求n;(2)列方程组求首项和公差.
【解析】1.设等差数列的公差为d.
因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,
根据等差数列通项公式:an=a1+d,
可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,
整理可得:6d=6,解得:d=1.
根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,n∈N
,
可得:S10=10×+=-20+45=25,
所以S10=25.
答案:25
2.(1)a1=1,a3+a5=2a1+6d=14,所以d=2,
所以Sn=n+×2=100.所以n=10.
(2)在等差数列{an}中,S8=8a1+×8×7d=48,
所以2a1+7d=12,S12=12a1+×12×11d=168,
所以2a1+11d=28,
解方程组得a1=-8,d=4.
等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
类型
“知三求二型”
基本量
a1,d,n,an,Sn
方法
运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量
思想
方程的思想
注意
①利用等差数列的性质简化计算;②注意已知与未知条件的联系;③有时运用整体代换的思想
1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则
( )
A.an=2n-5
B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n
D.Sn=n2-2n
【解析】选A.由题知,解得
所以an=2n-5,故选A.
2.已知等差数列{an}中,
(1)a1=,S4=20,求S6.
(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an.
(3)a1=1,an=-512,Sn=-1
022,求d.
【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d
=2+6d=20,所以d=3.
故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.
(2)因为Sn=n·+=-15,
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),
所以a12=+(12-1)×=-4.
(3)由Sn===-1
022,解得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
【补偿训练】
在等差数列{an}中:
(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.
(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【解析】(1)方法一:由已知条件得
解得
所以S10=10a1+d=10×3+×4=210.
方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,
所以S10==5×42=210.
(2)S7==7a4=42,所以a4=6.
所以Sn====510.
所以n=20.
类型二 等差数列前n项和的性质(数学运算、逻辑推理)
角度1 关于通项公式的性质的应用?
【典例】(2020·汕尾高二检测)记等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则= .?
【思路导引】结合等差数列的性质,寻找a12,a1+a23,S23三者之间的联系.
【解析】因为=,则=====.
答案:
将本例条件“”改为“”,求+的值.
【解析】因为数列{an}和{bn}都是等差数列,
所以+=====.
角度2 有关奇数项和、偶数项和的问题?
【典例】在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于
( )
A.9
B.10
C.11
D.12
【思路导引】综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.
【解析】选B.因为等差数列有2n+1项,
所以S奇=,S偶=.
又a1+a2n+1=a2+a2n,
所以===,所以n=10.
角度3 构造新等差数列?
【典例】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.
【思路导引】方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;
方法二:依据数列是等差数列解答;
方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.
【解析】方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+d=10,所以d=-22,
所以前11项的和S110=11×100+d=11×100+×(-22)=-110.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,
则=(n-1)+a1,所以数列成等差数列.
所以=,即=,
所以S110=-110.
方法三:设等差数列{an}的公差为d,
S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d,
又S100-10S10=d-d=10-10×100,
即100d=-22,所以S110=-110.
等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.
(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则=.
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.
(4)项的个数的“奇偶”性质.
{an}为等差数列,公差为d.
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);
S偶-S奇=nd;=;
②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;
S偶-S奇=-an+1;=
(5)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),
则Sm+n=-(m+n).
(6)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
1.在等差数列{an}中,a1=-2
018,其前n项和为Sn,若-=5,则S2
020=
( )
A.0
B.2
018
C.-2
019
D.2
020
【解析】选D.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,
所以数列是等差数列,
设其公差为d,则5d=-,所以d=1,又a1=-2
018,所以=+2
019×1=1,所以S2
020=2
020.
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设S4=m(m≠0),则S8=3m,
所以S8-S4=2m,
由等差数列的性质知,S12-S8=3m,S16-S12=4m,
所以S16=10m,故=.
3.(1)一个等差数列共2
019项,求它的奇数项和与偶数项和之比.
(2)一个等差数列前20项和为75,其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2,求公差d.
【解析】(1)等差数列{an}共有1
010个奇数项,1
009个偶数项,
所以S奇=,S偶=.
因为a1+a2
019=a2+a2
018,
所以=.
(2)前20项中,奇数项和S奇=×75=25,偶数项和S偶=×75=50,又S偶-S奇=10d,所以d==2.5.
【补偿训练】
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.由等差数列的性质可得:
==
==7+.
只有n=1,2,3,5,11时,为整数,
可得使为整数的正整数n的个数是5.
2.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是
( )
A.130
B.170
C.210
D.260
【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),
所以30+S3m-100=2(100-30),
所以S3m=210.
类型三 等差数列前n项和的最值(数学运算)
【典例】(2020·榆林高二检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a3=-6,S7=-28.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【思路导引】(1)列关于a1与d的方程组,求a1与d,写出其通项公式;
(2)方法一:分析{an}从哪项开始符号发生改变,下结论;
方法二:根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数,利用二次函数的性质求最值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,
由题意得
解得a1=-10,d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-12.
(2)方法一:由(1)得,
当n<6时,an<0,当n=6时,an=0,
当n>6时,an>0.
所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,
最小值为S5=S6=5×(-10)+×2=-30.
方法二:由(1)得Sn=
=n2-11n=(n-5.5)2-,
因为n∈N
,所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,最小值为-30.
等差数列前n项和最值的两种求法
(1)符号转折点法.
①当a1>0,d<0时,由不等式组
可求得Sn取最大值时的n值.
②当a1<0,d>0时,由不等式组
可求得Sn取最小值时的n值.
(2)利用二次函数求Sn的最值.
知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为Sn=a-.
①若a>0,则当最小时,Sn有最小值;
②若a<0,则当最小时,Sn有最大值.
1.等差数列{an}中,Sn为它的前n项和,若a1>0,S20>0,S21<0,则当n= 时,Sn最大.
( )?
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选C.等差数列{an}中,前n项和为Sn,且S20>0,S21<0,
即a10+a11>0,并且a11<0,所以a10>0,
所以数列{an}的前10项和最大.
2.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.
所以Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.
所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.
方法二:由方法一,得d=-2.
因为a1=25>0,
由得
所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
由方法一,得d=-2<0,a1>0,
所以a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
【补偿训练】
1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,a2+a2
018=0,则S2
019= ;当Sn取得最大值时,n= .?
【解析】因为a2+a2
018=a1+a2
019=0,
所以S2
019==0.
因为a1>0,a1+a2
019=2a1+2
018d=0,
所以a1+1
009d=0,所以a1
010=0,
所以当Sn取得最大值时,n=1
009或1
010.
答案:0 1
009或1
010
2.(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
又a1=-7,所以d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)方法一:(二次函数法)由(1)得Sn==n2-8n=(n-4)2-16,
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,
则Sn==n2-8n.
由Sn最小?
即
所以≤n≤,
又n∈N
,所以n=4,此时Sn的最小值为S4=-16.
课堂检测·素养达标
1.在等差数列{an}中,若S10=4S5,则等于
( )
A.
B.2
C.
D.4
【解析】选A.由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d,所以10a1+45d=20a1+40d,
所以10a1=5d,所以=.
2.已知数列{an}的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则
( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为4的等差数列
D.不是等差数列
【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,
所以=2n+3,
当n≥2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,
故是公差为2的等差数列.
3.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列{an}中,a1=3,d=4,an=39,则Sn= .?
【解析】因为an=a1+(n-1)d,a1=3,d=4,an=39,
所以39=3+4(n-1),
解得n=10,
所以S10===210.
答案:210
4.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 .?
【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a5<0,a9>0且a5+a9=0?2a1+12d=0?a1+6d=0,即a7=0,
故S6=S7,且最小.
答案:6或7
5.在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8;
(2)已知a2+a4=,求S5.
【解析】(1)方法一:因为a6=10,S5=5,
所以
解得
所以a8=a6+2d=16.
方法二:因为S6=S5+a6=15,
所以15=,即3(a1+10)=15.
所以a1=-5,d==3.
所以a8=a6+2d=16.
(2)方法一:因为a2+a4=a1+d+a1+3d=,
所以a1+2d=.
所以S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5×=24.
方法二:因为a2+a4=a1+a5,
所以a1+a5=,
所以S5==×=24.
PAGE第2课时 等差数列的性质
必备知识·自主学习
导思
1.等差数列有哪些常用的性质?2.由等差数列可构成哪些新的等差数列?3.等差数列的单调性与公差有什么关系?
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系.
an=am+(n-m)d(m,n∈N
)
(2)多项关系.
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N
)
则an+am=ap+aq.
特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N
),则am+an=2ap.
(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N
)m≠n,如何求出公差d?其几何意义是什么?
提示:d=.等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d=为直线的斜率.
(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N
),则am+an=ap+aq?
提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.
所以am+an=2a1+(m+n-2)d.
同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,
因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
2.由等差数列构成的新等差数列
(1)条件.
{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列
(2)结论.
数列
结论
{c+an}
公差为d1的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd1的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d1的等差数列(k为常数,k∈N
)
{pan+qbn}
公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)
3.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d,
(1)当d>0时,数列{an}为递增数列.
(2)当d<0时,数列{an}为递减数列.
(3)当d=0时,数列{an}为常数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.
( )
(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列.
( )
(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq
,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N
).
( )
(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N
,则am+an=ar.
( )
提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.
(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.
(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.
(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.
2.在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7=
( )
A.5
B.8
C.10
D.14
【解析】选B.由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5.
因为a1=2,a3+a5=10,
所以a7=8.
3.(教材二次开发:练习改编)若{an}是等差数列,则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是
( )
A.bn=
B.bn=an+n2
C.bn=an+an+1
D.bn=nan
【解析】选C.{an}是等差数列,设an+1-an=d,
则数列bn=an+an+1满足:
bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d.
关键能力·合作学习
类型一 等差数列性质的应用
【典例】1.(2020·丽水高二检测)在等差数列{an}中,a4+a5+a6=15,则a5=
( )
A.5
B.10
C.15
D.20
2.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于
( )
A.0
B.37
C.100
D.-37
3.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
【思路导引】1.利用等差数列的性质可得a4+a6=2a5,进而可根据题目条件求a5的值;
2.关键是注意{an+bn}也是等差数列;
3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解;
思路二:根据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;
思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N
)求解.
【解析】1.选A.依据题意a4+a5+a6=3a5=15,所以a5=5.
2.选C.设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,
则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,
所以{an+bn}为等差数列,
又a1+b1=a2+b2=100,
所以{an+bn}为常数列,所以a37+b37=100.
3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,
因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,
所以
解得
所以a75=a1+74d=+74×=24.
方法二:因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.
设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,
所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.
所以a75=a60+d=20+4=24.
方法三:因为a60=a15+(60-15)d,
所以d==.
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q
=2r(m,n,p,q
,r∈N
),则am+an=ap+aq=2ar.
特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d取值的限制.
1.(2020·玉溪高二检测)等差数列{an}中,若a1+4a5+a9=24,则2a9-a13=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.由等差数列的性质可得,a1+4a5+a9=6a5=24,
故a5=4,
所以2a9-a13=a13+a5-a13=a5=4.
2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8= .?
【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,
所以可设其公差为d,则d===2,
所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.
方法二:由==d=2,
得b8=×5+b3=2×5+(-2)=8.
答案:8
【补偿训练】
1.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于
( )
A.45
B.75
C.180
D.300
【解析】选C.因为a3+a4+a5+a6+a7
=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450,
所以a5=90.
所以a2+a8=2a5=180.
2.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80.
求通项an.
【解析】因为a1+a5=2a3,
所以?
解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,
因为d=,所以d=3或-3,
所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.
类型二 等差数列中对称设项法的应用(数学运算)
【典例】已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
四步
内容
理解题意
条件:①四个数成等差数列;②这四个数的和为26;③第二个数与第三个数之积为40.结论:求这四个数
思路探求
设这四个数?列方程组?解方程组得这四个数
书写表达
设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,①则由题意得,②即解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.③注意书写的规范性:①巧设未知数,简化运算;②根据题目条件正确列方程组;③准确解方程组,给出全面的答案.
题后反思
恰当利用等差数列项与项之间的关系设未知数,简化运算是解答此类问题的关键.
设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.
设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.
【解析】设这三个数为a+d,a,a-d,
则a-d+a+a+d=12,①
(a-d)·a·(a+d)=48,②
由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以这三个数为6,4,2.
【补偿训练】
已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则,
又递增数列d>0,所以解得a=±,d=,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
类型三 等差数列的应用(数学建模、数学运算)
角度1 与其他知识的综合应用?
【典例】等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0
( )
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
【思路导引】根据等差数列的性质和题目条件可求a4+a6,判断判别式Δ的符号可得方程实数根的情况.
【解析】选A.由于a4+a6=a2+a8=2a5,而3a5=9,
所以a5=3,方程为x2+6x+10=0,Δ=62-4×10<0,无实数根.
角度2 实际应用?
【典例】《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为
( )
A.1升
B.升
C.升
D.升
【思路导引】关键是构建数列模型,明确此等差数列共9项,已知前4项的和及后3项的和求第5项.
【解析】选B.设该等差数列为{an},公差为d.
由题意得,
即解得
所以a5=+4×=.
1.解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
2.解决等差数列实际应用问题的步骤
特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
1.已知数列{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则sin(a2+a8)= .?
【解析】因为数列{an}为等差数列,
若a1+a5+a9=π=3a5,
所以a5=,则sin(a2+a8)=sin(2a5)=sin=.
答案:
2.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金 斤.?
【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,
则a1,a2,…,a10成等差数列,
且
设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,
则
解得d=-,
所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=.
答案:
【补偿训练】
1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值为
( )
A.38
B.
C.
D.
【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,故必有一个方程的根为和,不妨设方程x2-x+a=0的根为和.为等差数列的首项,为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,知只有为第4项,才能满足中间两项之和为1的条件,所以四根的排列顺序为,,,,所以a+b=×+×=.
2.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为 .?
【解析】设△ABC的三边长为a-4,a,a+4(a>4),
则=-,
解得a=10,三边长分别为6,10,14.
所以S△ABC=×6×10×=15.
答案:15
课堂检测·素养达标
1.等差数列{an}中,a100=120,a90=100,则公差d等于
( )
A.2
B.20
C.100
D.不确定
【解析】选A.因为a100-a90=10d,
所以10d=20,
即d=2.
2.(教材二次开发:练习改编)由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是
( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
【解析】选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
3.在等差数列{an}中,若a3+a9=6,则a6= .?
【解析】由等差数列的性质可知,
a3+a9=2a6=6,所以a6=3.
答案:3
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则最短边与最长边长度的比等于 .?
【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d(d≠0),
根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,
解得a=4d,
于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,
即这个直角三角形最短边与最长边长度的比是3∶5.
答案:3∶5
5.甲虫是行动较快的昆虫之一,如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:
时间t/s
1
2
3
…
?
…
60
距离s/cm
9.8
19.6
29.4
…
49
…
?
(1)你能建立一个等差数列的模型,表示这种类型的甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗?
(2)利用建立的模型计算,这种类型的甲虫1
min能爬行多远?它爬行49
cm需要多长时间?
【解析】(1)由题目表中数据可知,该数列从第2项起,每一项与前一项的差都是常数9.8,
所以是一个等差数列模型.
因为a1=9.8,d=9.8,
所以这种类型的甲虫的爬行距离s与时间t的关系式是s=9.8t.
(2)当t=1
min=60
s时,s=9.8t=9.8×60=588(cm).
当s=49
cm时t===5(s).
PAGE2.2 等
差
数
列
第1课时 等差数列
学习目标
1.理解等差数列的概念.(数学抽象)2.理解等差中项的概念.(数学抽象)3.掌握等差数列的通项公式及应用.(数学抽象、数学运算)4.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.等差数列的定义是什么?2.等差中项的含义是什么?3.等差数列的通项公式是什么?
1.等差数列
(1)定义.
条件
一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数
结论
这个数列就叫做等差数列
有关概念
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
(2)作用:①证明一个数列是否是等差数列;②推出等差数列的通项公式和性质.
(1)为什么强调“从第2项起”?
提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;
②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.
(2)如何理解“每一项与它的前一项的差”?
提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
2.等差中项
(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.
(2)结论:A叫做a与b的等差中项.
(3)满足的关系式:A=? .?
3.等差数列的表示
前提
等差数列{an},首项是a1,公差为d
通项公式
an=a1+(n-1)d(n∈N
)
递推公式
an+1-an=d(n∈N
)
等差数列an=pn+q(n∈N
)的图象与一次型函数y=px+q的图象有什么关系?
提示:等差数列an=pn+q的图象是一次型函数y=px+q图象中横坐标为正整数点的集合.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.
( )
(2)常数列也是等差数列.
( )
(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.
( )
(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.
( )
提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.
(2)√.因为从第2项起每一项与它的前一项的差是同一个常数0.
(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.
(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.下列数列是等差数列的是
( )
A.,,,
B.1,,,
C.1,-1,1,-1
D.0,0,0,0
【解析】选D.因为-≠-,故排除A;因为-1≠-,故排除B;
因为-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.(教材二次开发:例题改编)等差数列1,-3,-7,…的通项公式为 ,a20= .?
【解析】因为d=-3-1=-4,a1=1,
所以an=1-4(n-1)=-4n+5.
所以a20=-80+5=-75.
答案:an=-4n+5 -75
关键能力·合作学习
类型一 等差数列的定义及应用(数学抽象)
【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N
,且a3=3,则a1= .?
2.数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.
证明:{bn}是等差数列.
【思路导引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;
2.依据等差数列的定义,由题目条件推导bn+1-bn为常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N
,
所以数列{an}是等差数列,其公差为2,
因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.
答案:-1
2.由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,
即bn+1=bn+2.所以bn+1-bn=2,
又b1=a2-a1=1,
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
将本例2的条件“a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n≥2),bn=”如何解答?
【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),
所以-=1(n≥2),又因为bn=,
所以bn+1-bn=1(n∈N
)且b1==2.
所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.
定义法判定数列{an}是等差数列的步骤
(1)作差an+1-an;
(2)对差式进行变形;
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是
( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为-的等差数列
D.不是等差数列
【解析】选B.由3an+1=3an+1得3an+1-3an=1,
即an+1-an=.
所以数列{an}是公差为的等差数列.
2.若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N
),求证:数列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,
所以an+1=10+(n+1)lg2.
所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)
=lg2(n∈N
).所以数列{an}为等差数列.
【补偿训练】
1.以下选项中构不成等差数列的是
( )
A.2,2,2,2
B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a
C.cos
0,cos
1,cos
2,cos
3
D.a-1,a+1,a+3
【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.
2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N
),bn=(n∈N
).
求证:数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.
【证明】方法一:因为=,
所以=+3,所以-=3,
又因为bn=(n∈N
),所以bn+1-bn=3(n∈N
),且b1==.
所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.
方法二:因为bn=,且an+1=
所以bn+1===+3=bn+3,
所以bn+1-bn=3(n∈N
),b1==.
所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.
类型二 等差中项及应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 计算问题?
【典例】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【思路导引】等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
【解析】因为-1,a,b,c,7成等差数列,
所以b是-1与7的等差中项,所以b==3.
又a是-1与3的等差中项,所以a==1.
又c是3与7的等差中项,所以c==5.
所以该数列为-1,1,3,5,7.
将本例条件改为“在1与10之间顺次插入两个数x,y,使这四个数成等差数列”,求此数列.
【解析】由已知,x是1和y的等差中项即2x=1+y①,y是x和10的等差中项,即2y=x+10②,
由①②可解得x=4,y=7.
所以此数列为1,4,7,10.
角度2 证明等差数列?
【典例】已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.
【思路导引】由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.
【证明】因为,,成等差数列,
所以=+,化简得2ac=b(a+c),
又+======2·,
所以,,成等差数列.
1.等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.
(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N
,m2.等差中项法判定等差数列
若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.
1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.a,b的等差中项为×=×(-++)=.
2.已知,,成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.
【证明】由已知,,成等差数列,
可得=+,所以=,
所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),
所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.
【补偿训练】
1.各项均不为零的等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
所以a=,b=x.
所以=.
2.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.
【解析】由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.
两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.
所以m和n的等差中项为=3.
类型三 等差数列的通项公式及应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项;
(2)问112是数列{an}的第几项?
(3)在80到110之间有多少项?
四步
内容
理解题意
条件:①数列{an}是等差数列;②a1+a5=8,a4=7.结论:求数列的第10项;112是数列{an}的第几项?在80到110之间有多少项?
思路探求
列关于a1和d的方程组求a1,d.根据a10=a1+9d求a10,由an=112求n,由80书写表达
设{an}的公差为d,则①解得(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39.②所以112是数列{an}的第39项.(3)由80<3n-5<110③,解得28题后反思
等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示,解答等差数列的计算问题,求这两个基本量是解题的关键
等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.
1.如果数列是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a2
020=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.设等差数列的公差为d,且a1=1,a3=-,所以=1,=3,所以3=1+2d,解得d=1.
所以=1+n-1=n,所以an=-1.
那么a2
020=-1=-.
2.已知{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:
(1)a3=5,a7=13;
(2)前三项为a,2a-1,3-a.
【解析】(1)设首项为a1,公差为d,
则解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由等差中项公式得2×(2a-1)=a+(3-a),
解得a=,所以等差数列首项为,
公差为2a-1-a=a-1=-1=,
所以an=+(n-1)×=+1.
【补偿训练】
等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.
(1)求a1,d及通项公式an;
(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?
【解析】(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,
得解得
所以an=+(n-1)=n+3.
(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;
由an=
n+3=85,得n=?N
,
故85不是数列中的项.
课堂检测·素养达标
1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列
( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),
所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),
所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.
2.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为
( )
A.1
B.6
C.5
D.-3
【解析】选D.由x1+x2=-6,
所以x1,x2的等差中项是=-3.
3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的
( )
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.第8项
【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,
所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.
令3n-1=23,所以n=8.
4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N
),则此数列的通项公式an= .?
【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N
),即an+1-an=-1,
所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,
所以an=2-(n-1)=3-n.
答案:3-n
5.(教材二次开发:习题改编)在等差数列{an}中,
(1)已知a5=15,a17=39,求an;
(2)若a2=11,a8=5,求a10.
【解析】(1)因为解得
所以an=7+2(n-1)=2n+5.
(2)设{an}的公差为d,则
解得
所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n,
所以a10=13-10=3.
PAGE第2课时 数列的通项公式与递推公式
学习目标
1.了解递推公式是给出数列的一种方法.(数学抽象)2.理解递推公式的含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.(数学抽象)3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.(逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.数列的递推公式的含义是什么?2.数列递推公式与通项公式有什么关系?
数列递推公式
(1)定义:
条件
①已知数列的第1项(或前几项);②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.
结论
具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式
(2)本质:递推公式是给出数列的一种重要方法,是关于项数n的恒等式.
(3)作用:①写出数列的任意一项;②分析数列的性质.
数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?
提示:
不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号,直接用代入法求出该项
都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项
递推公式
可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的项
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)所有的数列都有递推公式.
( )
(2)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )
(3)若数列{an}满足an+1=an(n≥1),则该数列是常数列.
( )
提示:(1)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…
的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
(2)×.还需知道数列中至少一项的值.
(3)√.该数列每一项都相同.
2.在数列{an}中,a1=-1,an+1=an-3,则a3等于
( )
A.-7
B.-4
C.-1
D.2
【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
3.(教材二次开发:练习改编)已知数列{an}满足a1<0,=2(n∈N
),则数列{an}是 数列(填“递增”或“递减”).?
【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N
),得an<0(n∈N
).
又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.
答案:递减
关键能力·合作学习
类型一 由递推公式写数列的项(逻辑推理)
1.(2020·株洲高二检测)数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,那么a4的值为
( )
A.4
B.8
C.15
D.31
2.在数列{an}中,a1=-2,an+1=1-,则a2
021的值为
( )
A.-2
B.
C.
D.
3.写出下面数列{an}的前5项:
(1)a1=1,an=-1(n>1);
(2)a1=1,an=(n>1).
【解析】1.选C.由已知得a2=2a1+1=2×1+1=3,
a3=2a2+1=2×3+1=7,a4=2a3+1=2×7+1=15.
2.选D.因为a1=-2,an+1=1-,
所以a2=1+=,a3=1-=1-=,
a4=1-=1-3=-2,
所以数列{an}是周期T=3的周期数列,
所以a2
021=a2=.
3.(1)因为a1=1,an=-1(n>1),
所以a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,
a5=02-1=-1.
(2)因为a1=1,an=(n>1),
所以a2===,
a3===,
a4===,a5===.
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【补偿训练】
根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N
),
(2)a1=1,an+1=(n∈N
),
(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N
).
【解析】(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,
所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2=,a3==,
a4=,a5==,所以an=.
(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,
a3=19=1+2×32,
a4=55=1+2×33,
a5=163=1+2×34,
所以an=1+2×3n-1.
类型二 由递推公式求通项公式(数学抽象、逻辑推理)
角度1 累加法?
【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列的通项公式an.
【思路导引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln=ln(1+n)-ln
n,a1=2,
a2-a1=ln
2,a3-a2=ln
3-ln
2,
a4-a3=ln
4-ln
3,…
an-an-1=ln
n-ln(n-1)(n≥2),
以上各式相加得an=2+ln
2+(ln
3-ln
2)+…+[ln
n-ln(n-1)].
所以an=2+ln
n(n≥2).
因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln
n.
将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2)”,求数列的通项公式.
【解析】因为an=an-1+(n≥2),
所以an-an-1==-,
所以a1=1,
a2-a1=-,
a3-a2=-,
a4-a3=-,
…
an-an-1=-.
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1+(-)+(-)+(-)+…+(-)
=-+1.
当n=1时,a1=1也适合上式,
所以an=-+1.
角度2 累乘法?
【典例】设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列的通项公式an.
【思路导引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.
【解析】因为a1=1,an=an-1(n≥2),
所以=,an=×××…×××a1=×××…×××1=.
又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.
1.用“累加法”求数列的通项公式
当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.
2.用“累乘法”求数列的通项公式
当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=···…··a1累乘来求通项an.
1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an(n∈N
),求这个数列的通项公式.
【解析】由an+1=3an得=3.
因此可得=3,=3,=3,…,=3.
将上面的n-1个式子相乘可得···…·=3n-1.
即=3n-1,所以an=a1·3n-1,又a1=2,故an=2·3n-1.
2.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N
,求通项公式an.
【解题指南】先将an+1=an+变形为an+1-an=-,再用累加法求an.
【解析】因为an+1-an=,
所以a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=;…
an-an-1=(n≥2).
以上各式累加得an-a1=++…+=++…+=1-.
所以an+1=1-,所以an=-(n≥2).
又因为n=1时,a1=-1,符合上式,所以an=-(n∈N
).
【补偿训练】
已知数列{an}中,a1=1,当n∈N
且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.
【解析】当n≥2,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,
所以=,
所以···…··=×××…··
=.
所以=,
所以an=,
当n=1时符合上式,所以an=,n∈N
.
类型三 数列的函数性质(数学抽象)
【典例】已知数列{an}的通项公式是an=(n+1),试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
四步
内容
理解题意
条件:数列{an}的通项公式是an=(n+1)结论:判断该数列有没有最大项
思路探求
方法一:作差法分析an+1与an的大小关系;方法二:依据求最大项.
书写表达
方法一:an+1-an=(n+2)当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1,则n=9或n=10.故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.注意书写的规范性:①作差变形判断an+1与an的大小关系是方法一的关键;②展示各项之间的关系,说理更清晰;③依据题意列出不等式组是方法二的关键;④解准不等式组才能作出准确判断.
题后反思
判断数列的单调性,求数列中项的最大(小)值,通常采用作差(或商)的方法,判断an+1与an的关系,一方面要注意变形到位,另一方面要注意n∈N
1.数列单调性的判断方法
(1)根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1(2)作差法:若an+1-an>0,则数列{an}是单调递增数列;若an+1-an<0,则数列{an}是单调递减数列;若an+1-an=0,则数列{an}是常数列.
(3)作商法:若>1(an>0,n∈N
)或<1(an<0,
n∈N
),则数列{an}是单调递增数列;若<1(an>0,n∈N
)或>1(an<0,n∈N
),则数列{an}是单调递减数列;若=1(an≠0,n∈N
),则数列{an}是常数列.
2.求数列的最大项和最小项的方法
方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.
方法二:解不等式:设an是最大项,则有,对任意n∈N
且n≥2均成立,解不等式组即可.
1.数列{an}的通项公式为an=-2n2+λn(n∈N
,λ∈R),若{an}是递减数列,则λ的取值范围是
( )
A.(-∞,4)
B.(-∞,4]
C.(-∞,6)
D.(-∞,6]
【解析】选C.因为数列{an}是递减数列,所以an>an+1,
所以-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1),
解得λ<4n+2,因为数列{4n+2}单调递增,
所以n=1时取得最小值6,所以λ<6.
2.已知数列{an}中,an=(n∈N
),求数列{an}的最大项.
【解析】an==1+,
当n<16时,an<1;当n≥16时,an>1且an单调递减.因此数列{an}的最大项是第16项,a16=40.
3.数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,
得1,
所以数列中仅有两项a2,a3是负数.
(2)an=n2-5n+4=-,其对称轴为n=,
又n∈N
,所以n取2,3时,an有最小值-2.
课堂检测·素养达标
1.符合递推关系式an=an-1的数列是
( )
A.1,2,3,4,…
B.1,,2,2,…
C.,2,,2,…
D.0,,2,2,…
【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.
2.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}为
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.无法确定数列的增减性
【解析】选B.因为an==2+,所以n≥2时,an-an-1=2+-2-=-<0,所以an3.在数列{an}中,a1=2,an+1-an-3=0,则{an}的通项公式为
( )
A.an=3n+2
B.an=3n-2
C.an=3n-1
D.an=3n+1
【解析】选C.因为a1=2,an+1-an-3=0,
所以n≥2时,an-an-1=3,an-1-an-2=3,an-2-an-3=3,…,
a2-a1=3,以上各式相加,则有an-a1=(n-1)×3,
所以an=2+3(n-1)=3n-1.a1=2也符合上式,所以an=3n-1.
4.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2
020= .?
【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,所以{an}的周期为2,所以a2
020=a2=-.
答案:-
5.(教材二次开发:例题改编)设数列{an}中,满足a1=1,an+1=2+(n≥1),写出这个数列的前5项.
【解析】由题意可知a1=1,a2=2+=2+=3,
a3=2+=2+=,a4=2+=2+=,
a5=2+=2+=.
PAGE第二章
数列
2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
学习目标
1.理解数列及其有关概念.(数学抽象)2.学会用列表法、图象法、通项公式法表示数列.(数学抽象、直观想象)3.理解数列是一种特殊的函数,能从函数的观点研究数列.(数学抽象)
必备知识·自主学习
导思
1.数列的定义是什么?2.数列是怎样分类的?3.数列与函数有什么关系?4.数列的通项公式的含义是什么?
1.数列及其有关概念
2.数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如表:
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法);(2)列表法;(3)图象法
数列的图象有什么特点?
提示:数列的图象是一系列孤立的点.
4.数列的通项公式
(1)定义:如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)本质:数列的通项公式实际就是数列的函数解析式.
(3)作用:①写出数列的任意一项;②判断一个数是否是数列的项;③分析数列的性质.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.
( )
(2)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.
( )
(3)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.
( )
提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.
(2)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.
(3)×.
第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的( )
A.第9项
B.第10项
C.第11项
D.第12项
【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,
所以n=11或n=-11(舍去).
3.(教材二次开发:例题改编)数列1,2,,,,…的一个通项公式为an= .?
【解析】因为a1=1=,a2=2=,
a3=,a4=,a5=,所以an=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 数列的概念以及分类(数学抽象)
1.(2020·兰州高二检测)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是
( )
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,-,-,-,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1,,,
2.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
3.已知下列数列:
①2
011,2
012,2
013,2
014,2
015,2
016;
②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;
④1,0,-1,…,sin,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 (填序号).?
【解析】1.选B.A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列都是递减数列.
2.选A.an+1-an=2n+1-2n=2n>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列.
3.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④为摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.
答案:①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
理解数列概念要注意的三点
(1)区分集合:数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.
(2)项的理解:从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(3)规律性:数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
【补偿训练】
1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
( )
A.1,,,,…
B.sin
,sin
,sin
,sin
,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin
,sin
,sin
,
sin
,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
2.下列数列
(1)1,2,22,23,…,263;
(2)0,10,20,30,…,1
000;
(3)2,4,6,8,10,…;
(4)-1,1,-1,1,-1,…;
(5)7,7,7,7,…;
(6),,,,….
其中有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,摆动数列是 ,常数列是 .(填序号)?
【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是
(3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是
(4),常数列是(5).
答案:(1)(2) (3)(4)(5)(6) (1)(2)(3) (6) (4) (5)
类型二 归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)
角度1 根据数列的前几项归纳通项公式?
【典例】写出下列数列的一个通项公式:
(1),2,,8,,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9
999,…;
(4),,,,…;
(5),,,,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
【思路导引】首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
【解析】(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,,,,,…,所以,它的一个通项公式为an=.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1
000,10
000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an==.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=
又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.
将本例(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?
【解析】此数列为摆动数列,奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.
角度2 根据图形归纳通项公式?
【典例】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;与之类似,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
( )
A.289
B.1
024
C.1
225
D.1
378
【思路导引】首先确定两个数列的通项公式,再验证哪个选项符合要求.
【解析】选C.由题图形可得三角形数构成的数列通项公式an=,同理可得正方形数构成的数列通项公式bn=n2,而所给的选项中只有1
225满足a49==b35=352=1
225.
1.依项的特征求通项公式
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征;
(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想,从而求出通项公式.
2.转化到基本数列
观察、分析数列中各项的特点,观察出项与序号之间的关系、规律,通过对项的适当变形转化到我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
1.根据如图所示的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an= .?
【解析】由a1=1=5×1-4,a2=6=5×2-4,a3=11=5×3-4,…,归纳an=5n-4.
答案:5n-4
2.写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)1,2,3,4,…;
(3)1,11,111,1
111,….
【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N
).
(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N
).
(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9
999,…,易知数列9,99,999,9
999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N
).
【补偿训练】
1.图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有 根.?
【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;
第2个图形中,火柴棒有4+3根;
第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;
第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;
…
第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.
答案:3n+1
2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)
3,5,7,9,11,13,…;
(2),,,,,
…;
(3)
0,
1,
0,
1,
0,
1,…;
(4)
1,
3,
3,
5,
5,
7,
7,
9,
9,…;
(5)
2,
-6,
12,
-20,
30,
-42,….
【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.
(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积
an=;
(3)an=或an=;
(4)
将数列变形为1+0,
2+1,
3+0,
4+1,
5+0,
6+1,
7+0,
8+1,
…,
所以an=n+;
(5)
将数列变形为1×2,
-2×3,
3×4,
-4×5,
5×6,…,
所以an=(-1)n+1n(n+1).
类型三 数列通项公式的简单应用(逻辑推理、数学抽象)
【典例】已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求a10;
(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由;
(3)求证:0【解析】(1)根据题意可得a10==.
(2)令an=,即=,
解得n=3,
所以为数列{an}中的项,为第3项.
(3)由题意知an==1-,
因为n∈N
,所以3n+1>3,
所以0<<1,
所以0<1-<1,即01.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2
017;
(3)2
018是否为数列{an}中的项?
【解析】(1)设an=kn+b(k≠0),则有
解得k=4,b=-2.
所以an=4n-2.
(2)a2
017=4×2
017-2=8
066.
(3)令2
018=4n-2,解得n=505∈N
,
所以2
018是数列{an}的第505项.
【补偿训练】
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为an=,
所以a4==,
a6==.
(2)令=,则n2+3n-40=0,
解得n=5或n=-8,注意到n∈N
,
故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.
课堂检测·素养达标
1.有下列命题:
①数列,,,,…的一个通项公式是an=;
②数列的图象是一群孤立的点;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,
1,-1,1,…是同一数列;
④数列,,…,是递增数列.
其中正确命题的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选A.由通项公式知a1=≠,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.
2.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的
( )
A.第23项
B.第24项
C.第25项
D.第26项
【解析】选B.an=n(n+1)=600=24×25,所以n=24.
3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于 .?
【解析】由已知得a3=51-3=.
答案:
4.(教材二次开发:练习改编)根据数列的通项公式填表:
n
1
2
…
5
…
…
n
an
…
…
195
…
n2-2n
【解析】由题表可知,a1=12-2×1=-1,
a2=22-2×2=0,a5=52-2×5=15,
由n2-2n=195,解得n=15或n=-13(舍).
答案:-1 0 15 15
5.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
(1),,,( ),,,…;
(2),( ),,,,…;
(3)2,1,( ),,…;
(4),,( ),,….
【解析】(1)根据观察:分母的最小公倍数为12,
把各项都改写成以12为分母的分数,则序号
1 2 3 4
5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
( )
于是括号内填,而分子恰为10减序号,
故括号内填,通项公式为an=.
(2)=,=,
=,=.
只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填,通项公式为an=.
(3)因为2=,1=,=,所以数列缺少部分为,括号内填,数列的通项公式为an=.
(4)先将原数列变形为1,2,( ),4,…,所以括号内应填3,数列的通项公式为an=n+.
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