山西省晋中市2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年山西省晋中市九年级（下）开学数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（　　）
A．2（a+1）2﹣3
B．（a﹣1）2﹣
C．2（a﹣1）2﹣1
D．2（a﹣1）2﹣3
2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A．（2，10）
B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）
D．（10，2）或（﹣2，0）
5．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（　　）
A．﹣2＜y＜0
B．﹣3＜y＜﹣1
C．﹣4＜y＜0
D．0＜y＜1
6．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13
B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13
D．y＝（x+1）2﹣3
7．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
9．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）
A．1：4
B．1：5
C．1：6
D．1：7
10．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）
A．m＝﹣1
B．m＝3
C．m≤﹣1
D．m≥﹣1
二.填空题（
共18分）
11．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　
　（精确到0.1）．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为　
　．
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　
　．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是　
　．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果C，D旋转后分别落在点E，F的位置，那么∠EFD的正切值是　
　．
三．解答题（共72分）
16.计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan60°．
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3．
．
17.如图1，将一张△ABC纸片折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠加矩形．
（1）正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图2中画出折痕．
（2）如图3，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个三角形△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形．
18.为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．
（2）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
19.某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF＝1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH＝1.6m，测得CF＝1m，DH＝2m，CD＝8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
21.综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②
（一）填一填，做一做：
（1）图②中，∠CMD＝　　．
线段NF＝　　
（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．
（二）填一填
（3）图③中阴影部分的周长为　　．
（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝　　°．
（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有　　对；
（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝　　（用含m，n的代数式表示）．
22.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（　　）
A．2（a+1）2﹣3
B．（a﹣1）2﹣
C．2（a﹣1）2﹣1
D．2（a﹣1）2﹣3
【分析】利用完全平方公式进行变形即可．
【解答】解：2a2﹣4a﹣1，
＝2（a2﹣2a+1）﹣3，
＝2（a﹣1）2﹣3．
故选：D．
2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：D．
3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】列举出所有情况，看两次摸到球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：易得共有3×3＝9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选：B．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A．（2，10）
B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）
D．（10，2）或（﹣2，0）
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
5．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（　　）
A．﹣2＜y＜0
B．﹣3＜y＜﹣1
C．﹣4＜y＜0
D．0＜y＜1
【分析】首先利用待定系数法可得反比例函数解析式，再画出反比例函数图象，求出当x＝2时y的值，然后结合图象可得答案．
【解答】解：设反比例函数的关系式为y＝，
∵图象经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣8，
∴y＝﹣，
∴x＝﹣，
当x＝2时，y＝﹣4，
结合图象可得当x＞2时，﹣4＜y＜0，
故选：C．
6．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13
B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13
D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．
【解答】解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．
故选：D．
7．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，
由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，
由第二次折叠知，CD＝DE＝，
∴AB＝．
故选：A．
8．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．
【解答】解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°＝0，cos45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
9．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）
A．1：4
B．1：5
C．1：6
D．1：7
【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝CF，即可求得答案．
【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP＝BP，
∵在△DEP与△BFP中，
，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，
∴FC＝BC，
PQ是△EFC中位线，
PQ＝FC，
∴PQ：BC＝1：4．
故选：A．
10．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）
A．m＝﹣1
B．m＝3
C．m≤﹣1
D．m≥﹣1
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　1.7　（精确到0.1）．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
当x＝1.7时，y＝0.09与y＝0最接近，
故答案为：1.7．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为　﹣3　．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB＝30°可得出＝，再根据BA＝BO可得出∠ABD＝60°，由此可得出＝，根据线段间的关系即可得出线段OB、OD间的比例，结合反比例函数系数k的几何意义以及S△ABO＝即可得出结论．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．
∵∠AOB＝30°，AD⊥OD，
∴＝cot∠AOB＝，
∵∠AOB＝30°，AB＝BO，
∴∠AOB＝∠BAO＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴＝cot∠ABD＝，
∵OB＝OD﹣BD，
∴＝，
∴＝，
∵S△ABO＝，
∴S△ADO＝|k|＝，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣3
故答案为：﹣3．
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　1　．
【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF?DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴，
∴OC2＝OF?OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是　0＜x＜1或3＜x＜4　．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
【分析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x＝2，结合表格中所给数据可得出答案．
【解答】解：
由所给数据可知当x＝2时，y有最小值1，
∴二次函数的对称轴为x＝2，
又由表格数据可知当2＜y＜5时，对应的x的范围为0＜x＜1，
又由二次函数的对称性可知当3＜x＜4时，y值的范围也是2＜y＜5，
故答案为：0＜x＜1或3＜x＜4．
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果C，D旋转后分别落在点E，F的位置，那么∠EFD的正切值是　　．
【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD＝∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD＝∠GBD，求出tan∠GBD即可．
【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝3，
由勾股定理得，AH＝＝4，
×BC×AH＝×AC×BD，即6×4＝5×BD，
解得，BD＝，
∴CD＝＝，AD＝，
∵∠FBD＝∠CBA，
∴∠FBE＝∠DBC，
∵∠DBC+∠C＝90°，∠HAC+∠C＝90°，
∴∠FBE＝∠BAH，
∴FB∥AH，
∴∠FBC＝∠AHC＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠E＝∠ABC＝∠C＝∠EGA，
∴AG＝AE＝BE﹣AB＝BC﹣AB＝1，
∴DG＝，
∴∠F＝∠BDC＝90°，
∴F、B、D、G四点共圆，
∴∠EFD＝∠GBD，
∴tan∠GBD＝＝，
∴∠EFD的正切值是，
故答案为：．
三．解答题
16.计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan60°．
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3．
【考点】实数的运算；解一元二次方程﹣公式法；特殊角的三角函数值．版权所有
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）x1＝1，x2＝4．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行实数的计算即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣×+×
＝﹣+
＝；
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3，
（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
解得，x1＝1，x2＝4．
17.如图1，将一张△ABC纸片折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠加矩形．
（1）正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图2中画出折痕．
（2）如图3，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个三角形△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形．
【考点】矩形的性质；作图—应用与设计作图；翻折变换（折叠问题）．版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据要求画出图形即可．
【解答】解：（1）如图2中，矩形EFGH即为所求作．
（2）如图3中，△ABC即为所求作．
18.为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．
（2）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）60人，40%；
（2）．
【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数，再根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，再补全统计图即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到同性别学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）被调查的学生总人数为15÷10%＝150（人），
本次调查中喜欢“跑步”的学生人数为150﹣（15+45+30）＝60（人），所占百分比为1﹣（10%+30%+20%）＝40%，
补全统计图如下：
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的有4种情况，
∴刚好抽到同性别学生的概率为＝．
19.某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF＝1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH＝1.6m，测得CF＝1m，DH＝2m，CD＝8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
【考点】相似三角形的应用．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：由题意可得：∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH．
∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABC＝∠EFC＝∠CHD＝90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，即＝．
∵∠ADB＝∠GDH，∠ABC＝∠GHD＝90°，
∴△ABD∽△GHD，
∴＝，即＝，
解得BC＝9.6m．
答：河宽BC是9.6m．
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质．版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作BD⊥OC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k＝，从而求得反比例函数的表达式；
（2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．
【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，
∴BD＝＝，
∴S△OBD＝OD×BD＝，
S△OBD＝|k|，
∴|k|＝，
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，
∴k＝，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△OBC＝OC?BD＝＝，
∴S△AOC＝3﹣＝2，
∵S△AOC＝OC?yA＝2，
∴yA＝2，
把y＝2代入y＝，求得x＝，
∴点A的坐标为（，2）．
21.综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②
（一）填一填，做一做：
（1）图②中，∠CMD＝　　．
线段NF＝　　
（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．
（二）填一填
（3）图③中阴影部分的周长为　　．
（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝　　°．
（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有　　对；
（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝　　（用含m，n的代数式表示）．
【考点】相似形综合题．版权所有
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形
菱形
正方形；平移、旋转与对称；图形的相似．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，得出EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，由折叠的性质得出DN＝CD＝2DE，MN＝CM，得出∠EDN＝60°，得出∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，因此∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；
（2）证明△AEN≌△DEN得出AN＝DN，即可得出△AND是等边三角形；
（3）由折叠的性质得出A′G＝AG，A′H＝AH，得出图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝12；
（4）由折叠的性质得出∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，求出∠AGH＝50°，得出∠AHG＝∠A′HG＝70°，即可得出结果；
（5）证明△NGM∽△A′NM∽△DNH，即可得出结论；
（6）设A'N＝am，则A'D＝an，证明△A′GH∽△HA′D，得出＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，得出＝＝，解得x＝y，得出＝＝＝．
【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，
∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，
∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM，
∴∠EDN＝60°，
∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，
∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；
故答案为：75°，4﹣2；
（2）△AND是等边三角形，理由如下：
在△AEN与△DEN中，，
∴△AEN≌△DEN（SAS），
∴AN＝DN，
∵∠EDN＝60°，
∴△AND是等边三角形；
（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，
∴A′G＝AG，A′H＝AH，
∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；
故答案为：12；
（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，
∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，
∵∠A′GN＝80°，
∴∠AGH＝50°，
∴∠AHG＝∠A′HG＝70°，
∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
故答案为：40；
（5）如图③，
∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°，
∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH，
∴△NGM∽△A′NM∽△DNH，
∵△AGH≌△A′GH
∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，
故答案为：4；
（6）∵＝，
设A'N＝am，则A'D＝an，
∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°，
∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°，
∴∠A′GN＝∠DA′H，
∴△A′GN∽△HA′D，
∴＝＝，
设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，
∴＝＝，
解得：x＝y，
∴＝＝＝；
故答案为：．
22.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【专题】压轴题；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；
tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P'BC＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠P'BC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH?cos∠BCO＝2×CH×＝，
解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：，
故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝x+1③，
联立①③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，
联立④⑤并解得：，
故点M（﹣，﹣）．