8.5.2 直线与平面平行课件（共54张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.5　空间直线、平面的平行
8.5.2　直线与平面平行
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线
平行.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与 ，那么该直线与此平面平行
符号语言
a?α，b?α，a∥b?a∥α
图形语言


?
此平面内的一条直线平行
思考　(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？
答案　不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外.
(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
答案　平行或直线在平面内.
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_________
符号语言
a∥α， ?a∥b
图形语言


?
平行
交线平行
a?β，α∩β＝b
思考　如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？
答案　这条直线与平面没有公共点，所以这条直线与平面内的直线平行或异面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线a与平面α不平行，则a与α相交.(　　)
2.若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行.
(　　)
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(　　)
4.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(　　)
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2
题型探究
PART TWO
例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
一、直线与平面平行的判定定理的应用
证明　连接BC1(图略)，
在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF?平面AD1G，
AD1?平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
跟踪训练1　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥AG.
又MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
二、直线与平面平行的性质定理的应用
例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明　如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，
OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
反思感悟
线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行.
跟踪训练2　如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
核心素养之直观想象和逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG HE LUO JI TUI LI
线面平行有关的计算
典例　如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则

EG＝_____.
解析　A?a，则点A与直线a确定一个平面，
即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
素养提升
(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度.
(2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)两条直线a，b满足a∥b，b?平面α，则a与平面α的位置关系可以是
A.a∥α B.a与α相交
C.a与α不相交 D.a?α
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√
√
√
2.下列命题正确的是
A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行
B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行
D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
√
解析　不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；
一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；
直线也可能在平面内，故D错误.
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3.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
解析　由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
√
解析　∵EH∥FG，EH?平面BDC，FG?平面BDC，
∴EH∥平面BDC，
又EH?平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD，
∴EH∥BD.
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5.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝_____.
5
解析　因为AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，
所以AB∥MN，
又点M是AD的中点，AB∥CD，
所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)直线与平面平行的判定定理.
(2)直线与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：证明线面平行时漏写线在面外(内).
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行
√
解析　A，本身说法错误；
B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；
C，能推出m与α平行；
D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.
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2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面
A.有且只有一个
B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在
D.不存在
√
解析　在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，
设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，
即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.
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3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是
A.DD1 B.A1D1
C.C1D1 D.A1D
√
解析　∵A1B1綊AB綊CD，
∴A1B1綊CD，
∴四边形A1B1CD为平行四边形，
∴A1D∥B1C，
又B1C?平面AB1C，A1D?平面AB1C，
∴A1D∥平面AB1C.
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4.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则
A.GH∥SA B.GH∥SD
C.GH∥SC D.以上均有可能
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解析　∵GH∥平面SCD，GH?平面SBD，
平面SBD∩平面SCD＝SD，
∴GH∥SD.
5.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点.则下列结论成立的是
A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA
C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC
√
√
解析　矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
所以点O为BD的中点，在△PBD中，
因为点M是PB的中点，OM是△PBD的中位线，OM∥PD，
所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.
因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交.
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6.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是______.
平行
解析　∵M，N分别是BF，BC的中点，
又四边形CDEF为矩形，
∴CF∥DE，∴MN∥DE.
又MN?平面ADE，DE?平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
∴MN∥CF，
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7.在三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为_______.
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平行
解析　如图，延长AG交BC于F，连接SF，
则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2∶1，
又AE∶ES＝2∶1，∴EG∥SF，
又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝ ，过P，M，N的平面

交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析　∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，
MN?平面PQNM，
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9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1.
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证明　取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略).
∵F为C1D1的中点，
∴OF∥BE且OF＝BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
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10.如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.
∴BC∥EF.
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综合运用
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
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解析　由长方体性质知，EF∥平面ABCD，




∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH.
又EF∥AB，∴GH∥AB.
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12.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
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解析　矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
所以O为BD的中点.
在△PBD中，M是PB的中点，
所以OM是△PBD的中位线，
所以OM∥PD，
又OM?平面PCD，且OM?平面PDA，
所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.
因为M∈PB，
所以OM与平面PBA、平面PBC均相交.
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13.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b
A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定
√
解析　因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，
所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行.
设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，
所以m∥n.
又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.
又因为α∩β＝b，m?α，所以m∥b.
又因为m∥a，所以a∥b，故选B.
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14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________.
相交
平行
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解析　∵M是A1D1的中点，
∴直线DM与直线AA1相交，
∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，
∴DM与平面A1ACC1相交.
取B1C1的中点M1，连接MM1，M1C(图略).
∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，
∴MM1∥CD.
∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，
∴MM1＝CD.
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∴四边形DMM1C为平行四边形，
∴DM∥CM1，
又DM?平面BCC1B1，CM1?平面BCC1B1，
∴DM∥平面BCC1B1.
拓广探究
15.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是____________.
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平行四边形
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解析　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB?平面ABC，
∴EG∥AB.
同理FH∥AB，∴EG∥FH.
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD?平面BCD，
∴GH∥CD.
同理EF∥CD，
∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形.
16.如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
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解　存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE.
证明如下，取BE的中点N，连接CN，MN，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM?平面BCE，CN?平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
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