8.5.1 直线与直线平行 课件（共54张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.会判断空间两直线的位置关系.
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　基本事实4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线_____
图形语言

?
符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c?_____
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的_______
平行
a∥c
传递性
知识点二　空间等角定理
1.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
相等或互补
图形语言
?



?
作用
判断或证明两个角相等或互补
2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
思考　如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？
答案　不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
(　　)
2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等.(　　)
3.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(　　)
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
一、基本事实4的应用
证明　因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
反思感悟
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
跟踪训练1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形.
证明　如图 ，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
二、等角定理的应用
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点.求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
证明　如图，连接EE1.
∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1綊AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A綊E1E，
又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形.
∴E1B1∥EB.
同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
反思感悟
等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
证明　如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD綊AB，A1B1綊AB，
由基本事实4知CD綊A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D綊B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
3
随堂演练
PART THREE
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
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解析　可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
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2.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
√
解析　在△MPN中，H，G分别为MP，MN的中点，
∴GH∥PN，
同理EF∥PN，∴GH∥EF.
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3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
√
解析　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
4.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
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√
解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
5.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β＝__________.
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60°或120°
解析　∵空间两角α，β的两边对应平行，
∴这两个角相等或互补.
∵α＝60°，∴β＝60°或120°.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)基本事实4的应用.
(2)等角定理的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.
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课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.空间两条互相平行的直线指的是
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
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2.若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′等于
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能确定
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解析　OA∥O′A′，OB∥O′B′，
∴∠AOB与∠A′O′B′相等或互补，∵∠AOB＝130°，
∴∠A′O′B′＝130°或50°.
3.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
√
解析　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；
AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；
A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
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4.在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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解析　由题意可知DE∥PB，EF∥BC，
所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
5.(多选)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l?平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是
A.l与AD平行 B.l与AD相交
C.l与AC平行 D.l与BD平行
√
√
解析　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l与AD无公共点，故l与AD不相交.
CD可以成立.
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6.在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝____.
2
故EF綊GH，故GH＝2.
7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是______.
矩形
解析　如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥PQ，且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
又∵AC⊥BD，NP∥BD，
∴PQ⊥NP，
∴四边形MNPQ是矩形.
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可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
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9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
解　如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形.
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证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，
且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
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所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四边形BFD1E是平行四边形.
综合运用
11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是
A.异面 B.平行
C.相交 D.相交、平行、异面均可能
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12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是
A.相交 B.异面
C.平行 D.无法确定
√
解析　如图，连接AD1，CD1，AC，
则E，F，G，H分别为AD1，CD1，AB，BC的中点.
由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
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13.(多选)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则
A.PQ＝
B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
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又PQ∥DE，DE∥MN，
所以PQ∥MN，又PQ≠MN，
所以M，N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形.
故B，C，D正确.
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解析　由题意得EH是△ABD的中位线，
由基本事实4知，EH∥GF，
∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，
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拓广探究
15.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是
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解析　如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
16.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，G，H分别为FA，FD的中点.

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
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证明　由G，H分别为FA，FD的中点，
∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
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BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
本课结束