8.5.3 平面与平面平行 课件（共60张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.5　空间直线、平面的平行
8.5.3　平面与平面平行
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言




图形语言



?
a?α，b?α，
a∩b＝A，
a∥β，b∥β
?α∥β
两条相交直线
思考　应用面面平行判定定理应具备哪些条件？
答案　①平面α内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝A.
②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?______
图形语言




?
平行
a∥b
思考　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？与另一个平面内的直线有什么位置关系？
答案　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行.与另一个平面内的直线平行或异面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.(　　)
2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(　　)
3.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.(　　)
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
一、平面与平面平行的判定定理的应用
证明　∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
反思感悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
证明　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
解　取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E为棱的中点，
∴ME綊A1B1，
又A1B1綊C1D1，
∴ME綊C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綊C1F，
∴F为棱CC1的中点.
三、线面平行、面面平行的应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明　过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
又B1C1∥BC，∴FG∥BC，
又FG?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD，
又EG∥AB且EG?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD，
∵FG∩EG＝G，FG，EG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD.
∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.
反思感悟
(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行.
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用.
跟踪训练3　如图，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
3
随堂演练
PART THREE
1.下列命题正确的是
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个
平面平行
√
解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行.
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2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，则直线m与n的关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
√
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解析　∵α∥β，∴α与β无公共点，
又m?α，n?β，
∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面.
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3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
√
解析　如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，
平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.
4.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
√
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解析　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.
又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
5.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则

S△A′B′C′∶S△ABC＝_____.
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解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)下列说法正确的是
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面
平行
B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，
则这两个平面平行
C.平行于同一个平面的两平面平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等
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解析　A中，直线还可以在平面内，A错误；
B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；
C，D显然正确.
2.已知平面α与平面β平行，直线a?α，则下列说法正确的是
A.a与α内所有直线平行
B.a与β内的无数条直线平行
C.a与β内的任何一条直线都不平行
D.a与β内的任何一条直线平行
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解析　∵α∥β，a?α，过a作平面γ与平面β相交，则a与交线平行.
在β内与交线平行的直线都与a平行，故有无数条，故选B.
3.若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
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解析　由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
4.如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
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解析　如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG?平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为
A.1 B.1.5 C.2 D.3
√
解析　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，
∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四边形A1FBE为平行四边形，
∴FB＝A1E＝3－1＝2，
∴AF＝1.
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6.已知点S是等边三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是______.
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平行
解析　在△SAB中，D，E为中点，则DE∥AB，
即可得DE∥平面ABC，
同理有EF∥平面ABC，
又DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEF，
∴平面DEF∥平面ABC.
7.已知α∥β，AC?α，BD?β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝_____.
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解析　如图，∵AB∥CD，
∴A，B，C，D四点共面，
∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，又AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴AB＝CD＝6.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，

交BC于N，则 ＝____.
解析　∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
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9.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
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证明　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，
又FH?平面PEC，PC?平面PEC，
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
又AF?平面PCE，CE?平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
所以FH∥平面PCE.
所以AF∥CE，
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10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
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证明　因为BE∥AA1，
AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，
BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
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综合运用
11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上都不对
√
解析　根据图①和图②可知α与β平行或相交.
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12.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
√
解析　由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，
由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
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13.已知a和b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是______.
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平行
解析　在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，
设γ∩β＝l，则l?β，
∵a∥β，∴a∥l，
∴l∥α.
又b∥α，b∩l＝O，
∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.
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14.已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ

依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝_____.
解析　如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，
设l与CD确定的平面为α1，
因为α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，
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拓广探究
15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足______________时，有MN∥平面B1BDD1.
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M在线段FH上
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解析　连接HN，FH，FN(图略).
∵HN∥DB，FH∥D1D，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
HN，HF?平面FHN，DB，DD1?平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，
∴M∈FH.
16.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝ ，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).
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解　如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，
则四边形MNAC为所求的平面图形.
因为M，N，E，F均为中点，所以MN∥EF，
又EF?平面DEF，MN?平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN?平面DEF，DE?平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN＝N，MN，AN?平面MNAC，所以平面MNAC∥平面DEF.
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过点M作MP⊥AC于点P，
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本课结束