8.6.2 直线与平面垂直课件（共68张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册第八章

第八章　§8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.2　直线与平面垂直
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
_____
有关概念
直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做_____
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
图示



?
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α， ＝P?l⊥α
图形语言




两条相交直线
a∩b
思考　若把定理中的“两条相交直线”改为“两条平行直线”，直线与平面一定垂直吗？
答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与一个平面 ，但不与这个
平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中_______
?
斜足
斜线和平面的_____，如图中____
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为________
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的
射影所成的角，如图中_______
规定：一条直线垂直于平面，它们所成
的角是 ；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是___
取值
范围
设直线与平面所成的角为θ，则____________
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
知识点四　直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言



图形语言


?
a⊥α，
b⊥α
?a∥b
平行
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(　　)
2.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(　　)
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(　　)
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(多选)下列命题中，不正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
√
√
√
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
反思感悟
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
跟踪训练1　如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
二、直线与平面垂直的判定
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
证明　∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
反思感悟
证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.
跟踪训练2　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
证明　∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，
∴BM⊥平面PAM.
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
三、直线与平面垂直的性质
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练3　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
核心素养之直观想象和逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG HE LUO JI TUI LI
求直线与平面所成的角
典例　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
素养提升
(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.
(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
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√
解析　①错，②③对.
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2.(多选)下列命题正确的是
√
√
√
3.若点A，B在平面α的同侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
解析　如图，∵AC⊥α，BD⊥α，
∴AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，
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4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
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√
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1?平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
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5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
45°
解析　因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，
所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.
在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，
即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
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√
解析　依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，
∴l∥m.
2.下列说法中，正确的有
①如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
解析　①不正确，其他三项均正确.
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3.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
√
解析　∵AB⊥α，l?α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l?β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，
∴l⊥平面ABC，
又AC?平面ABC，∴l⊥AC.
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4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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√
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
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√
解析　易证AC⊥平面PBC，又BC?平面PBC，
所以AC⊥BC.
6.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.
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垂直
解析　在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则EF与AA1的位置关系是______.
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平行
解析　如图，∵AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，
∴EF与BB1不相交，∴EF∥BB1，
又AA1∥BB1，∴EF∥AA1.
8.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是______.
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30°
解析　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.
∴∠PCA＝30°.
9.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
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证明　∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE?平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
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(2)求AE与平面BDE所成角的大小.
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解　设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.
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证明　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD?平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1?平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C?平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
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∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.





又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C?平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
综合运用
11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
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√
解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.
12.在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
√
解析　如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
又PA＝PB＝PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
则OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心.
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13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为
A.45° B.60°
C.30° D.75°
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√
解析　取BC的中点D，连接AD，B1D，
∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.
即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.
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14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_______________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
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∠A1C1B1＝90°
解析　如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，
则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，
由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，
故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
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拓广探究
15.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD
所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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√
√
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解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD?平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；
对于选项B，∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；
对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确.
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16.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
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(1)求证：MN∥平面PAD；
证明　取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
又∵N是PC的中点，
又∵DC∥AB且DC＝AB，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?
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解　当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下.
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
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本课结束