6.4.3 正弦定理(一)第2课时 课件（共51张PPT）2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第六章

第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理
第2课时　正弦定理(一)
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的
个数问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点　正弦定理
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论

文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等
正弦
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.正弦定理对任意的三角形都成立.(　　)
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.(　　)
3.在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B.(　　)
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.(　　)
√
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
一、已知两角及任意一边解三角形
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：

，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中

的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.
解　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
∵0° 延伸探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
反思感悟
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
(3)根据正弦定理求出第三条边.
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于
√
核心素养之逻辑推理、直观想象
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI ZHI GUAN XIANG XIANG
已知两边及一边对角判断三角形解的个数
典例　不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
满足A＋B<180°；
故三角形有两解.
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
素养提升
(1)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
?
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a 无解
无解
a>bsin A
两解
a＝bsin A
一解
a 无解
(2)通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是
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√
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2.在△ABC中，一定成立的等式是
A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A
√
得asin B＝bsin A.
√
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4.已知在△ABC中，b＝4 ，c＝2，C＝30°，那么此三角形
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
√
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∴此三角形无解.故选C.
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 ，A＝30°，则B＝____________.
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60°或120°
∵b>a，∴B>A，且0°课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
(3)利用正弦定理解三角形.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
√
解析　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
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2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
√
又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.
3.(多选)下列说法正确的是
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D.在△ABC中，
√
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可得，a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；
对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B?a>b?A>B，
因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；
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4.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于
√
∵a>b，∴A>B，
又∵A＝60°，∴B为锐角.
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5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于
A.1∶2∶3 B.3∶2∶1
C.2∶ ∶1 D.1∶ ∶2
√
解析　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，
又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶ ∶2.
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6.在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为

_______.
又A∈(0，π)，a>b，
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9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
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10.在△ABC中，已知b＝6 ，c＝6，C＝30°，求a的值.
因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°.
所以a＝6或12.
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综合运用
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°1
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12.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
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√
∴B＝90°，即只有一解；
∴角B只有一解.
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13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，

c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为_________.
解析　在△ABC中，B＝60°，c＝2，
(1,2)
解析　因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
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拓广探究
15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________.(填序号)
①sin A>sin B；
②cos A ③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
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①②③
解析　A>B?a>b?sin A>sin B，故①成立.
函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，
∵A>B，∴cos A 同理sin B>cos A，故③成立.
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∴b＝2sin B，c＝2sin C，
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