6.4.1 平面几何中的向量方法~6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件（共55张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教版（2019）必修第二册第六章

第六章　§6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能用向量方法解决简单的几何问题.
2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.
3.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、
分析和解决实际问题的能力.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“ ”成几何关系.
知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤
向量
向量运算
翻译
(1)物理问题中常见的向量有 等.
(2)向量的加减法运算体现在 .
(3)动量mv是向量的 运算.
(4)功是 与 的数量积.
知识点二　向量在物理中的应用
力、速度、加速度、位移
力、速度、加速度、位移的合成与分解
数乘
力F
所产生的位移s
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若△ABC为直角三角形，则有 ＝0.(　　)
2.若向量 ，则AB∥CD.(　　)
3.功是力F与位移s的数量积.(　　)
4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(　　)
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
一、利用向量证明平面几何问题
例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
则|a|＝|b|，a·b＝0.
方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，
＝2－2＝0，
反思感悟
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题.
跟踪训练1　如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.
即(λb－a)·(a＋b)＝0，
方法二　以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2,0)，
二、利用平面向量求几何中的长度问题
例2　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
反思感悟
用向量法求长度的策略
(1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .
跟踪训练2　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是
√
三、向量在物理中的应用
例3　一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
以AC和AD为邻边作?ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，
∴∠EAD＝30°.
答　该船实际航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.
反思感悟
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值.
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
－40
解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
即三个力的合力做的功等于－40.
核心素养之逻辑推理、数学建模
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI SHU XUE JIAN MO
平面几何中的平行(或共线)问题
典例　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，

AB上，且
求证：点E，O，F在同一直线上.
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
故点E，O，F在同一直线上.
素养提升
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.
(2)通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为
A.v1－v2 B.v1＋v2

C.|v1|－|v2| D.
√
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解析　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.
注意速度是有方向和大小的，是一个向量.故选B.
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
√
∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形.
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3.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
√
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4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30° B.60° C.90° D.120°
√
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
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5
＝______.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)平面几何中的向量方法.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：要注意选择恰当的基底.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为
A.7 B.10
C.14 D.70
√
2.已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
∴△ABC为直角三角形.
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3.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
√
√
解析　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.
船垂直到达对岸时航行的距离最短.
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A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
√
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同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高所在直线的交点.
√
∴四边形ABCD的面积
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∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.
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7.一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_____ h.
0.5
解析　如图，v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴该船到达B处所需的时间为0.5 h.
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解析　如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，∴C(2,1).
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9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，
由条件知，a2＝c2－d2＋b2，
所以AD⊥BC.
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10.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
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(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功.
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J).
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
综合运用
√
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解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
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12.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足 ＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶5
√
解析　如图，D为BC边的中点，
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13.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为_____ N.
10
解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|，F1＋F2＋G＝0.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
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拓广探究
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
√
所以动点M在线段BC的中垂线上，
所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心，选C.
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16.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风吹向北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以
2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
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解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.
可求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.
船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，
本课结束