6.4.3 第1课时 余弦定理课件(共52张PPT)2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章

第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
知识点一　余弦定理
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于____________________
_________________________________
公式表达
a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝________________
其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
余弦定理
推论

cos A＝ ，

cos B＝ ，

cos C＝__________

思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
知识点二　解三角形
元素
解三角形
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.余弦定理适用于任何三角形.(　　)
2.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　　)
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1　 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
一、已知两边及一角解三角形
解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形.
解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
A＝90°，C＝60°.
反思感悟
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ ，

sin A＝ .
2
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.
3
解析　由余弦定理，得5＝22＋b2－2×2bcos A，
二、已知三边解三角形
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，
又∵0° ∴最大角A为120°.
三、余弦定理的简单应用
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是
A.45° B.60°
C.90° D.135°
√
又0° (2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
反思感悟
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形?a2＋b2 ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
跟踪训练3　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
√
解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
3
随堂演练
PART THREE
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－ ，则该三角形的第三条边长为
A.52 B.
C.16 D.4
√
解析　设第三条边长为x，
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√
解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
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√
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4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
√
解析　因为bcos C＋ccos B＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.
故△ABC为直角三角形.
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5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ，C＝15°，则c＝ ，A＝

.
又A为△ABC的内角，
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
(3)余弦定理的简单应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽略三角形中的隐含条件.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c＝5，则A的大小为
A.30° B.60°
C.45° D.90°
√
又0°1
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2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以△ABC为直角三角形，A＝30°.
3.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于
A.90° B.120°
C.135° D.150°
√
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又0°＜B＜180°，所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为
√
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
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5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则△ABC是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
√
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所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
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6.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝ .
2
7.在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝ ，AC边上的高

为 .
解析　由余弦定理，
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8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
解析　由题意得，a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
9.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
解　∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
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(2)若b＋c＝2a＝ ，试判断△ABC的形状.
∴△ABC为等边三角形.
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10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且 ＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
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解　由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
综合运用
11.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于
√
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
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12.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
√
解析　设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
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√
解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，
即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立.故选B.
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－19
解析　设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
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拓广探究
15.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是
√
解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
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16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－ sin A)cos B＝0.
(1)求B的大小；
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(2)若a＋c＝1，求b的取值范围.
解　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
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