6.4.3 第3课时正弦定理(二)课件(共56张PPT)2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章

第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理
第3课时　正弦定理(二)
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点　三角形中边与角之间的关系
1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化

(1)cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
(2)2Rsin A＝ ，2Rsin B＝ ，2Rsin C＝ ，(其中R为△ABC外接圆的半径)
a
b
c
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝ <0，△ABC为 三角形；

(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝ ＝0，△ABC为 三角形；

(3)若a20，

cos B＝ >0，cos C＝ >0，△ABC为 三角形.
钝角
直角
锐角
2
题型探究
PART TWO
例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形.
一、利用正弦、余弦定理解三角形
解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；
∴A＝90°，C＝60°.
又c>b，∴30°＜C＜180°，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理，得a＝6；
当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.
反思感悟
若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.
跟踪训练1　已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝( a－b)sin B成立，求角C的大小.
解　由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
因为0°二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
例2　(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
解析　由正弦定理得，acos B＝bcos A?sin Acos B＝sin Bcos A?sin(A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，
即△ABC为等腰三角形.
(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
反思感悟
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知3b＝ ，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
√
又角A是锐角，所以A＝60°.
又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.
故△ABC为等边三角形，故选D.
(2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
解析　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，
以及正弦定理可知，sin A cos C＋sin C cos A＝sin2 B，
即sin(A＋C)＝sin B＝sin2 B，
所以三角形为直角三角形，故选C.
三、正弦、余弦定理的综合应用
例3　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝
acos B.
(1)求B的大小；
在△ABC中，sin A≠0，
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
解　∵sin C＝2sin A，
∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
反思感悟
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
跟踪训练3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－ asin C＝bsin B.
(1)求B的大小；
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解　sin A＝sin (30°＋45°)
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
3
随堂演练
PART THREE
1.在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，则AC等于
A.1 B.2
C.3 D.4
1
2
3
4
5
√
解析　在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1，故选A.
√
√
1
2
3
4
5
3.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的
√
解析　设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2＞0，
所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形.
1
2
3
4
5
4.在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝ ，则a＝____.
1
解析　∵sin B＝2sin A，∴b＝2a，
又a＋c＝3，∴c＝3－a，
整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).
1
2
3
4
5
5.若acos A＝bcos B，则△ABC是____________三角形.
等腰或直角
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，
因为A，B为三角形的内角，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
1
2
3
4
5
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形.
(2)判断三角形的形状.
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
√
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为
A.5 B.6
C.7 D.7.5
√
即△ABC的周长为5，故选A.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝

4csin C，cos A＝

A.6 B.5 C.4 D.3
√
解析　∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是
A.a2＝b2＋c2－2bccos A
B.asinB＝bsin A
C.a＝bcos C＋ccos B
D.acos B＋bcos C＝c
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；
对于B，根据正弦定理边角互化，可得asin B＝bsin A?ab＝ab，故B正确；
对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B
?sin A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；
对于D，根据正弦定理的边角互化可得，
sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，
又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a2＋b2－c2

＝ab，c＝3，则角C＝____，a＝_____.
解析　由a2＋b2－c2＝ab，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.在△ABC中，若b＝acos C，则△ABC的形状为____________.
直角三角形
解析　b＝acos C，
∴sin B＝sin Acos C，
则sin(A＋C)＝sin Acos C.
即cos Asin C＝0，
∵A，C∈(0，π)，∴sin C≠0，
∴cos A＝0，
∴△ABC为直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在△ABC中，A＝ ，BC＝3，则△ABC的周长为_____________(用B
表示).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋ c＝b.
(1)求A的大小；
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若a＝1，b＝ ，求c的值.
所以c＝2；
所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
(1)求B的大小；
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为
A.16π B.8π C.2π D.4π
√
解析　因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，
在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，
解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于
√
解析　因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，
所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.在△ABC中，若A＝ ，sin B＝ cos C，则△ABC为
A.直角非等腰三角形 B.等腰非直角三角形
C.非等腰且非直角三角形 D.等腰直角三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C

＝sin2C，则 ＝____，角C的最大值为____.
2
解析　∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
解析　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝5ac，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)试确定△ABC的形状；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　在△ABC中，设其外接圆半径为R，
所以b2－a2＝ab. ①
因为cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，
所以sin Asin B＝sin2C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以ab＝c2. ②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
所以△ABC是直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为ac 所以a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束