6.4.3 第5课时 余弦定理、正弦定理的应用课件（共58张PPT）2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第六章

第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理
第5课时　余弦定理、正弦定理的应用
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.
3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点　三角形的面积公式
1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为

(1)S＝ ＝ ＝ ；
2.△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝ ，
sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ；
(2)大边对大角，即a>b?A>B?sin A>sin B；
(3)任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边.
180°
sin C
－cos C
大于
小于
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.公式S＝ absin C适合求任意三角形的面积.(　　)
2.三角形中已知三边无法求其面积.(　　)
3.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)
4.在△ABC中，A>B?cos A>cos B.(　　)
×
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积

为 .
一、有关三角形面积的计算
解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，

且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .
解析　由sin B＝2sin A，得b＝2a，
由△ABC的面积为a2sin B，
由sin B≠0，知c＝2a，
反思感悟
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.
跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝ ，且ccos A＋ a＝b.
(1)求C的大小；
解　由正弦定理，得sin Ccos A＋ sin A＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
(2)求△ABC的面积.
解　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用
(1)求sin C的值；
(2)若BD＝5，求△ABD的面积.
反思感悟
在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角.
(1)求AC的长；
∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6× ＝18，
核心素养之逻辑推理、数学运算
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI SHU XUE YUN SUAN
余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
典例　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ，b－c＝2，cos A＝－ .
(1)求a和sin C的值；
可得bc＝8.
又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)，
∴b＝4，c＝2，
素养提升
(1)正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是先求函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.
(2)通过三角函数的化简及性质，利用余弦、正弦定理解三角形，提升逻辑推理和数学运算素养.
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随堂演练
PART THREE
√
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2.(多选)已知△ABC的面积为 ，且b＝2，c＝ ，则A等于
A.30° B.60°
C.150° D.120°
√
√
所以A＝60°或120°.
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3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为
√
解析　将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，
解得ab＝4，
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4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为
√
解析　由题意，得△ADC为等边三角形，
由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
则∠ADB＝120°，AC＝2，
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5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C

＋ccos B)＝a＝ ，△ABC的面积为3 ，则A＝ ，b＋c＝ .
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解析　由已知及正弦定理可得，2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，
可得2cos Asin(B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
解得b＋c＝7.
即bc＝12.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)三角形的面积公式.
(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题.
(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.
2.方法归纳：化归与转化、数形结合.
3.常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.
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课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，则△ABC的面积为
√
解析　在△ABC中，A＝30°，a＝b＝2，
由等腰三角形的性质可得，A＝B＝30°，
则C＝180－30°－30°＝120°，
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A.60°或120° B.30°
C.60° D.45°
√
所以A＝90°，
所以C＝180°－A－B＝60°.
√
√
又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
∴BC2－3BC＋2＝0，
∴BC＝1或BC＝2，
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4.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为
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解析　因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
又B＝45°，DA＝7，
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6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，

A＝60°，则角B＝ ，△ABC的面积是 .
45°
又因为b1
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7.已知在△ABC中，AB＝ ，BC＝1，sin B＋ cos B＝0，则△ABC

的面积为 .
所以B＝120°，
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8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝60°，

c＝ ，则△ABC的面积为 .
又c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，
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9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求A的大小；
解　∵(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C.
∴由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc，
即b2＋c2－a2＝－bc，
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又b＋c＝6，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28，
10.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1,

CD＝3，cos B＝ .
(1)求△ACD的面积；
因为D∈(0，π)，
因为AD＝1，CD＝3，
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解　在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AB＝4.
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综合运用
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根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
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12.已知向量a＝(2，－1)，b＝(2,2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为
A.6 B.3 C.4 D.8
√
解析　设向量a与b的夹角为θ，
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13.已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是△ABC的

角平分线，则AD＝ .
解析　如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
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14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c＝2acos B，S＝ ，则△ABC的形状为 ，

C的大小为 .
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等腰三角形
解析　∵c＝2acos B，
∴根据正弦定理可得，sin C＝2sin Acos B，
即sin(A＋B)＝2sin Acos B，
∴sin(A－B)＝0，
∴A＝B，
∴△ABC的形状为等腰三角形.
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∴sin C＝cos C，即tan C＝1，
∵C∈(0，π)，
拓广探究
15.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为
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解析　如图，
由余弦定理，得在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2
×4cos A＝20－16cos A，
在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∵A＋C＝180°，
∴20－16cos A＝52＋48cos A，
∴A＝120°，C＝60°.
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16.设f(x)＝sin xcos x－cos2 ，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
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(2)在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ?＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立.
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