2.3.1中心对称
1.下列说法正确的是( D )
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
2.[2020北京延庆区一模]下列选项中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是
( A )
3.[2020湖北武汉模拟]下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有
( C )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
【点拨】根据两个图形成中心对称的概念,知(2)(3)(4)组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称,共有3组.故选C.
4.如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形EFGH关于直线BD上的某个点成中心对称，则点B的对应点是( D )
A．点E
B．点F
C．点G
D．点H
5.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是( A )
A．O1
B．O2
C．O3
D．O4
6.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( D )
A．点A与点A′是对应点
B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB＝∠C′A′B′
7.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有( A )
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
【点拨】成中心对称的三角形分别是△ACD与△CAB，△ABD与△CDB，△AOD与△COB，△AOB与△COD，共4对．
8.如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为(
B
)
A．2
B．4
C．4
D．8
【点拨】在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2.∴BB′＝2AB＝4.
9.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是( D )
10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB长为8,直角边BC长为12,若扇形CAE与扇形DBE关于点E成中心对称,则图中阴影部分的面积约为
( B )
A.27
B.42
C.56
D.108
【点拨】由扇形CAE与扇形DBE关于点E成中心对称,知可以将扇形DBE补在扇形CAE的位置上,则阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积.因为Rt△ABC的面积为AC·BC,其中BC=12,AC==4,所以阴影部分的面积为×4×12≈42.故选B.
11.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，△AOE与△COF关于点O成中心对称，如果BC＝10，AC＝8，CF＝6，那么DE＝____4____，AO＝_____4___.
12.如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为 6 ，∠ACD的度数为 40° .
13.[2020福建南平期末]如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=1,∠D=90°,则AE的长为_________.?
【点拨】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称,∴△ABC≌△DEC,∴DE=AB=3,DC=AC=1,
∴AD=2,
∵∠D=90°,∴AE=
14.如图，已知△AOB与△DOC关于点O成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是____4____．
【点拨】依题意有△DOC的面积＝△AOB的面积＝6，CD＝AB＝3.根据三角形的面积公式，
可得△DOC中CD边上的高是6×2÷3＝4.
15.如图，△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，确定它们的对称中心．
解：(方法一)(1)连接AD；(2)取AD的中点O，则点O就是这两个三角形的对称中心，如图．(作法不唯一，也可以连接BE或CF)
(方法二)分别连接CF，BE，两条线段交于点O，则点O就是这两个三角形的对称中心，如图．(作法不唯一，也可以连接CF，AD或AD，BE)
16.【教材改编题】如图，已知四边形ABCD和点O，作四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点O成中心对称．
解：(1)连接AO并延长AO到A′，使OA′＝OA，于是得到点A关于点O的对应点A′.
(2)用同样的方法作出点B，C和D
关于点O的对应点B′，C′和D′.
(3)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.
则四边形A′B′C′D′即为所求，如图所示．
17.如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.
求证：FD＝BE.
证明：∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AF＝CE，∴OF＝OE，
∵DO＝BO，∠DOF＝∠BOE，OF＝OE，
∴△DOF≌△BOE，∴FD＝BE.
如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.
请直接写出哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
解：△ADC和△EDB成中心对称．
(2)：∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4.
∵D为BC的中点，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝4.
∴△ABE的面积为8.
(3)：如图，连接CE.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE.
∵在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，
∴2＜AE＜8，∴1＜AD＜4.
如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试写出线段BE，EF，FC之间的数量关系，并说明理由．
【点拨】通过几何图形的中心对称变换，可以将线段进行位置转移，使分散的几何元素集中起来．
解：FC2＋BE2＝EF2.理由如下：
∵点D为BC的中点，∴BD＝CD.
作△BDE关于点D成中心对称的图形△CDM，连接FM.如图所示．
由中心对称的性质可得CM＝BE，
MD＝ED，∠DCM＝∠B.
又∵∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠DCM＋∠ACB＝90°，
即∠FCM＝90°.
在△FME中，MD＝ED，FD⊥ME，
∴FM＝FE.
又∵在Rt△FCM中，FC2＋CM2＝FM2，
∴FC2＋BE2＝EF2.
如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P.
求证：AC＝CD；
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴AB＝AC.
∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴AB＝CD.∴AC＝CD.
(2)解：∠F＝∠MCD.
理由：由题意可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA.
设∠MPC＝α，∵∠BAC＝2∠MPC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α.设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，∴∠F＝∠CPM－∠PMF＝α－β，∠MCD＝∠CDE－∠DMC＝α－β.
∴∠F＝∠MCD.2.3.1中心对称
1.下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
2.[2020北京延庆区一模]下列选项中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是
( )
3.[2020湖北武汉模拟]下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有
( )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
4.如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形EFGH关于直线BD上的某个点成中心对称，则点B的对应点是( )
A．点E
B．点F
C．点G
D．点H
5.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是( )
A．O1
B．O2
C．O3
D．O4
6.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A．点A与点A′是对应点
B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB＝∠C′A′B′
7.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有( )
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
8.如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为(
)
A．2
B．4
C．4
D．8
9.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是( )
10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB长为8,直角边BC长为12,若扇形CAE与扇形DBE关于点E成中心对称,则图中阴影部分的面积约为
( )
A.27
B.42
C.56
D.108
11.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，△AOE与△COF关于点O成中心对称，如果BC＝10，AC＝8，CF＝6，那么DE＝_______，AO＝________.
12.如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 .
13.[2020福建南平期末]如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=1,∠D=90°,则AE的长为_________.?
14.如图，已知△AOB与△DOC关于点O成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是________．
15.如图，△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，确定它们的对称中心．
16.【教材改编题】如图，已知四边形ABCD和点O，作四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点O成中心对称．
17.如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.
求证：FD＝BE.
如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.
请直接写出哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试写出线段BE，EF，FC之间的数量关系，并说明理由．
如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P.
求证：AC＝CD；
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
