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11.3探索三角形全等的条件（1）
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级___________ 姓名___________学号___________
【学习目标】
1，掌握三角形全等的“边角边”的条件。并能利用这个条件判别两个三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2，经历观察、实验、归纳、 猜想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，并培养其探索创新的精神，营造和谐、平等的学习氛围。
【课前准备】
1、如果两个三角形全等，那么它们的对应边和对应角有什么关系？
2、两个三角形需要具备什么条件，即它们有多少组边或角分别相等时就全等？
【探索新知】
（一）议一议
1、当两个三角形的6个元素中只有1组边或角相等时，它们全等吗？
2、当两个三角形的6个元素中只有2组边或角相等时，它们全等吗？
3、当两个三角形的6个元素中有3组边或角相等时，它们全等吗？
（二）做一做
用一张长方形的纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使全班剪下的直角三角形都全等？
归纳：如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）。
（三）画一画 如图（1）画∠MAN=50°；
（2）在AM、AN上分别截取AB=1.4cm,AC=2.3cm;
（3）连接BC，剪下所画的△ABC,与同学所画的三角形能够重合吗
小王和小李各画一个三角形ΔABC和ΔDEF．
如果两个三角形中有两边及其中一边的对角对应相等，这两个三角形全等吗？
（四）归纳判定
的两个三角形全等，简称边角边或SAS。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【知识运用】
例1 如图，AB=AD, ∠BAC=∠DAC. △ABC和△ADC全等吗？为什么？
例题变式：
如果把△ABC与△ADC拉开如图形状，若要使得它们全等，还需要什么条件？
练一练：
1、如图，AB＝AC，AD=AE，试说明△ABE≌△ACD
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2、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.
AD与BC有怎样的位置关系？
例2 如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：△AFD≌△CEB
【当堂反馈】
1、如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,根据SAS，要使ΔABC≌ΔABD,可补充的一个条件是
2．如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE, 根据SAS，请你增加一个条件是
3、如图1 AC、BD相交于点O，OA=OD,用“SAS”证△ABO≌△DCO还需（ ）
A、A B=DC、 B、∠A＝∠D
C、OB=OC D、∠AOB＝∠DOC
4、如图2，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需增加的条件是（ ）
A、∠ABE＝∠DBE B、∠A＝∠D
C、∠E＝∠C D、∠2 ＝∠1
5.如图3，△ABC≌△ADE，若∠BAC=120°，∠DAE= .
6、已知，如图，AD=CB, ∠1＝∠2. △ADC与△CBA全等吗 为什么？
7、已知，如图，AB=AC,点D、E分别是AC、AB的中点，求证：△ABD≌△ACE
【课后作业】
1、如图，AB＝DB，BC＝BE，∠1＝∠2试说明△ABE≌△DBC。
2.如图，AB=AC，AD=AE，∠EAB=∠DAC，问：△ABD与△ACE是否全等？∠D与∠E有什么关系？为什么？
3、如图AB、CD相交于点O，，OA=OB，OC=OD， AC和BD有什么数量关系和位置关系？
【拓展延伸】
1、如图，已知点E、F在BC上，且BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，试说明AF=DE。
2.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA。连接BC并延长到E，使CE＝CB。连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
图11.3-1-1
A
B
C
D
E
F
E
C
D
A
B
1
2
如图3
如图2
E
C
D
A
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1
2
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11.3探索三角形全等的条件（3）
主备：吕云华 审核：
班级___________ 姓名___________学号__________
【学习目标】
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2. 记住全等三角形的识别方法（S.S.S），并会运用该方法判断三角形是否全等.
3. 了解三角形的稳定性.
【课前准备】
1.三角形全等的判定学过哪几个？
2.角平分线上的点到________________________________相等
3.如图，已知AC与BD相交于点O，AD//BC,AD=BC,△AOD≌△COB吗？为什么？
【探索新知】
情景1：小张用分别为5、6、7的3根木棒搭出了△ABC，试问：小美应选用怎样的3根木棒才能搭出△MNP与△ABC全等？
活动一: 用铁丝围全等三角形
课前准备长20cm的细铁丝或者铝丝,小组分别讨论,尝试探索,设计可行的方案,并制作三角形,展示各组成果.怎样才能使你和同学围成的三角形全等？
活动二:用直尺和圆规作三角形
每一位学生按下列步骤作图
1. 画线段AB=4cm.
2. 分别以点A点B为圆心,3cm,2cm的长为半径画弧,两弧相交于点C.
3. 连接AC、BC
作图区域
归纳___________________两个三角形全等．简写为“边边边”或简记为（SSS.）
上面的结论告诉我们，如果一个三角形的三边确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。
活动三：学生利用周末制作木制三角形和四边形，探究图形的稳定性
思考：三角形为什么具备稳定性？有什么办法让四边形也具备稳定性？
说说你周围应用三角形稳定性的实际例子，以感受数学的价值，增强应用数学的意识，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物。
【例题讲解】
1.已知AB=AC，，再添加一个什么样的条件△ABD与△ACD全等并说明理由。
练习：如图，已知AB＝AE，AC＝AD，BC＝DE，试说明∠CAE＝∠DAB ．
练习：如图AD是△ABC的中线，。与相等吗？请说明理由。
【当堂反馈】
1. 连一连：找出下列全等的一对三角形并连线.
2．如图，AB＝DC，AC＝DB，△ABC≌△DCB吗？为什么？
3、如图5-5-4，AB=DF，AC=DE，BE=CF。你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由。
【课后作业】
1. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
2.如图，在与中，已有条件，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
A．，
B．，
C．， D．，
3. 如图，给出下列四组条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4. 如图，若，且，则= ．
5如图，在ΔABC与ΔAED中，AB=AE，AC=AD，请补充一个已知条件：____________(写一个即可)，使ΔABC≌ΔAED. 试说明理由.
【拓展延伸】
1..你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？
2.已知如图，AB=CD，CE=DF，AE=BF，则AE∥DF吗 为什么
3.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，试用“边边边”识别法说明：∠B＝∠Cw ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
4.如图方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形角格点三角形。请你在图中画一个格点△ABC，且使△ABC≌，这样的格点三角形你能花几个？
A
D
O
C
B
A
B
C
D
图11.3-3-1
C
B
A
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D
a
c
c
a
b
50°
58°
72°
A
B
C
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F
A
C
B
D
F
E
图3
A
B
C
C1
A1
B1
图8
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11.3探索三角形全等的条件（5）
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级___________ 姓名___________学号___________
【学习目标】
⒈理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；
⒉了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；
⒊要求学生学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．
此外，通过多种说理形式的训练，让学生选择自己喜欢的表达方式进行说理．
【课前准备】
1.直角三角形全等的条件有哪些？“AAA”显然不能作为直角三角形全等的条件，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形是否全等呢？
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF ；根据 .
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF ；根据 .
（3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF ；根据 .
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF ；根据 .
3.如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
【探索新知】
情境1：试用尺规作出满足下列条件的三角形．
⑴∠B=30°，AB=5cm，AC=3cm；（追问：所作的三角形全等吗？）
(2)如图11.3-5-1，对于非直角三角形，满足条件的三角形有两个△ABC1和△ABC2，它们不全等是显然的，因为△ABC2比△ABC1多出了部分，这部分就是等腰△AC1 C2；其实我们还可以由∠AC2B是锐角而∠AC1B是钝角作出判断．
先准备一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC），将它沿底边上的高AD对折．让学生猜测：高两侧的部分能否完全重合？(如图11.3-5-3)为什么？
做一做；按下列画法，用圆规和刻度尺画直角三角形
画法 图形
画角∠PCQ=90°.在射线CP上取CB=2cm.以B为圆心，3cm为半径画弧交射线CQ与点A.连接AB.
（1）你画的这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，从中你发现了什么？
斜边、直角边的判定方法
的两个直角三角形全等，简称斜边、直角边或HL.
通常写成下面的格式：
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵
∴Rt△ABC≌R△DEF（HL）
①两直角三角形两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，根据 .
②两直角三角形斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，根据 .
③两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，根据 .
④两直角三角形全等的特殊条件是______和_______对应相等.
问题2：谈谈“两条边对应相等的两个直角三角形全等”这句话的理解.
【例题讲解】
1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,垂足为D，试用（H.L）全等识别法说明AD平分∠BAC
2.已知如图， AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？
【当堂反馈】
1.如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由：
①___________（ ） ②___________（ ）
③___________（ ） ④___________（ ）
请根据“HL”填4-6题
2．如图1，AD是△ABC的边BC上的高，再加一个条件 ，得到△ABD≌△ACD．
3．如图2，AC⊥AB，DF⊥DE，AC=DF，再加一个条件 ，得到△ABC≌△DEF．
4．如图3，AB⊥BC，AC=BD，当CD与BC互相 ，得到△ABC≌△DCB．
5.下列三角形不一定全等的是（ ）
A.有两个角和一条边对应相等的三角形 B.有两条边和一个角对应相等的三角形
C.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形 D.三条边对应相等的两个三角形
6.如图：AB=DF，CF=EB，AC⊥CE，DE⊥CE，垂足分别为
C、E. △ABC与△DEF全等吗？为什么？
7. 如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，试说明AD=CF
【课后作业】
1．已知，如图：D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF.
⑴ △AED与△AFD全等吗？为什么？⑵ AD平分∠BAC 吗？为什么？
2. 已知：如图，AB=CD， E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF．
（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？
（2）你发现AB与CD除相等外还有什么关系？如有就说明理由．
3. 如图，AB⊥BD，CD∥AB，AB=CD，点E、F在BD上，且AE=CF.试说明AE∥CF.
4.已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC， B、C分别是垂足.DE交AC于M，AC=DE，AB=EC，DE与AC有什么关系？请说明理由.
【拓展延伸】
2.已知，如图AB＝AC，AD＝AE，AP⊥BD，AQ⊥CE，垂足分别为P、Q，求证：AP＝AQ
A
B
C1
C2
D
A
B
（C1）D（C2）
图11.3-5-1
图11.3-5-2
A
B
C
D
图11.3-5-3
B
D
C
A
图3
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C
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图2
A
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图1
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11.2全等三角形
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级________姓名____________学号____________
【教学目标】
知识目标：
1．说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号表示两个三角形全等；
2．知道全等三角形的有关概念，会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角；
3．会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质．
3．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法；
4.能进行简单的说理和计算。
【教学重点】 全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质.
【教学难点】 确认全等三角形的对应元素
【课前准备】
㈠下面描述“全等形”的三种不同说法，哪种是恰当的？
①形状相同的两个图形叫全等形， ②大小相同的两个图形叫全等形
③能够完全重合的两个图形叫全等形
㈡全等三角形是全等图形的一种，请同学们概括：什么是全等三角形？
【探索体验】
(一)操作引入
1、观察信封上盖的两个纪念邮戳是两个能重合的三角形吗？
2、请同学们剪两个能重合的三角形。
3、我们把能完全重合的图形叫全等图形。
则两个能重合的三角形叫全等的三角形
互相重合的顶点叫 ， 叫对应边， 叫对应角.
“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”
例如△ABC与△DEF全等,记作“△ABC≌△DEF”,读作“△ABC全等于△DEF”
『强调』在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．
1.如果上面两个三角形全等就不能写成△ABC≌△EFD,因为点A对应的点为点D，而不是点E。
△ABC≌△DEF，则其对应元素如下：
对应顶点：A 与 D, B与E，C与 F
对应边：AB与DE,BC与 EF,CA与 FD
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F
2.若△ABC≌△MNP,说说这两个三角形的对应边和对应角,由于全等三角形能完全重合,故
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由这两条基本性质还可以推出：
全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等；全等三角形的对应角平分线相等
全等三角形的对应高相等；全等三角形的对应中线相等；
3、如果△ABC≌△DEF,则有：
AB=DE,BC=EF,CA=FD; ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
4、那么上面对应的两个三角形,若△ABC的周长为,AB=, BC=,则CA= ,DE= ,EF= 若∠A=°,∠B=°,则∠F= 。
（二）做一做：
把你剪得的两个三角形摆放成图１、图2、图3所示位置。
图1 图2
2、动手操作并填空：
把图1中的△ABC沿BC所在直线平行移动到△DEF的位置，两个三角形重合，表示
为 ≌ ；
把图2中的△ABC沿BC所在直线翻折180°到△DBC（即△DEF）的位置，两个三角形重合，表示为 ≌ ；
把图3中的△ABC绕顶点C旋转180°到△DEC（即△DEF）的位置，两个三角形重合，表示为 ≌ ；
把你做的两个三角形摆放成如下图的位置，说出下列几种全等三角形的对应元素。
你有什么好的方法要和大家分享吗？
【例题设计】
1.如图11.2-2，ΔABC≌ΔCDA，AB和CD、BC和DA是对应边，写出它们的对应角和另外一组对应边．
2.如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°求出△AEC各内角的度数.
【知识运用】
如图△ABD≌△ACE，AB=AC，（1）写出图中的对应边和对应角（2）BE=CD吗？
【当堂反馈】
一.判断题
1.周长相等的三角形是全等三角形.（ ）
2.全等三角形面积相等.（ ）
3.面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ）
二.选择题
1.如图5所示，△ABC≌△AEF，AC与AF是对应边，那么∠EAC等于（ ）
A.∠ACB B.∠CAF C.∠BAF D.∠BAC
2.△ABC中∠A=∠B，若与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，则△ABC中等于90°的角是（ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
3.一定是全等三角形的是（ ）A.面积相等的三角形 B.周长相等的三角形
C.形状相同的三角形 D.能够完全重合的两个三角形
4.如图6，△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，则下列说法错误的是（ ）
A.∠C与∠F互余 B.∠C与∠F互补
C.∠A与∠E互余 D.∠B与∠D互
【课后作业】
⒈已知如图11.2-1，△ABC≌△ADE，AB与AD是对应边，AC与AE是对应边，若∠B=31°， ∠C=95°， ∠EAB=20°， 则∠BAD等于 ( )
A． 77° B． 74° C． 47° D． 44°
⒉已知：如图11.2-2， △ABE≌△ACD，∠1=50°，∠C=45°，BC=20，DE=14，AD=13，AC比AD长2，求△ABE的各角的大小与各边的长度．
⒊如图11.2-3，A、B、C、D四点在同一直线上，.你能从△ABF≌△DCE图中得到哪些结论
4．在图中的一副七巧板中，试找出全等的三角形．
5．如图，△FCE是△ABD沿BD所在直线平移而得到的．请找出图中的全等三角形，若∠B=30°，∠BAD=90°，求△FCE各内角的度数．
( http: / / )
6．如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠C=60°，BC=3cm，你能确定△ADE中哪些角的大小，哪些边的长度？
【拓展延伸】
如图，动手做一做：一张三角形纸片，它的三边AB=BC=AC=6 cm，如何将它剪成四个全等的三角形.
A
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B
C
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图11.2-1
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图11.2-2
图11.2-3
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小结与思考（2）
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级___________ 姓名___________学号___________
【课前准备】
1.如图，AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，AB＝CD，MB＝ND.试说明：△ABN≌△CDM.
2．如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD. 试猜想线段CE与DE的大小与位量关系，并说明你的结论.
【例题解析】
例1.如图，三条两两交叉的高速公路从经济开发区外穿过，
现拟建一座服务站，要求服务站到三条公路的距离相等.
⑴如果服务站建在区内，请在图中找出服务站的位置.
⑵如果服务站不限建在区内，那么可以在哪几个地方选址
例2．如图，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个，并加以证明。①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC
辅助线构造全等三角形
例1如图，在△ABC中，AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线，
求AD的取值范围。
探究与合作
两个大小不同的等边三角形如图（1）所示位置摆放（使点B、O、D在同一条直线上），连结AD、BC。
(1)AD与BC有何关系吗？说明你的理由。
(2)说明图（1）的哪一个三角形可以通过怎样的变换得到另一个三角形？
(3)将△COD绕O点逆时针旋转，使OC落在OA上，如图（2），的结论仍然成立吗？试加以说明。
(4)继续将△COD绕O点逆时针旋转，使OC落在△AOB的内部，如图（3），（1）的结论仍然成立吗？
(5)在将△COD绕O点逆时针旋转的过场中，当A、D、C三点共线时，如图（4），你又会有何新的发现，与同伴交流。
【当堂反馈】
1．已知，如图，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
（第1题图） （第2题图）
2．如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．
3．七（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？ ．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点．
⑴问PD与PE有何大小关系 并以图(b)为例加以说明；
⑵在旋转的过程中，当三角板处于图(c)中的位置时，你能发现与⑴中类似的结论吗？
【课后作业】
1. 如图，把△ABP绕A点逆时针旋转60°得到△ACE，
问△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，
求∠CAE、∠E、∠BAE的度数.
2. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE为BC边上的中线，
3. 过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D，
4. 若AC＝12cm.求BD的长.
3.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF.试说明：CF＝EB.
5．如图，已知：AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB，PE⊥AC，
垂足分别为D、E.试说明：PD＝PE.
6.已知：如图，AB＝CD，AD＝BC，P为AC上任一点，过P的直线
分别交AD、CB的延长线于E、F.(1)请问：∠E＝∠F吗？说明你的理由；
（2）要得出结论PE＝PF，还需增加一个什么条件，说明你的理由.
【拓展延伸】
如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，
使BF＝AC，在CE的延长线取一点G，使CG＝AB.
试说明：①AF＝AG；②AG⊥AF.
A
B
D
C
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M
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A
B
D
C
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
A
B
C
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B
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图b
图a
图c
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小结与思考（1）
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级___________ 姓名___________学号___________
【课前准备】
1. 定义：能够 的两个三角形叫全等三角形。
2．全等三角形的性质,全等三角形的判定方法见下表。
【例题讲解】
一．挖掘“隐含条件”判全等
如图，△ABE≌△ACD，由此你能得到什么结论？（越多越好）
1．如图AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗 说说理由．
变式训练：AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，试说明：BC＝AD
2．如图点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，
且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°,CD=5cm，则∠CD的度数与BE的长。
3．如图若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，求CD的长。
变式训练2，如图AC=BD，∠C=∠D试说明：（1）AO=BO（2）CO=DO（3）BC=AD
二.添条件判全等
1.如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，
根据“SAS”需要添加条件 ；
根据“ASA”需要添加条件 ；
根据“AAS”需要添加条件 .
2.已知AB//DE，且AB=DE，
（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，
你添加的条件是 .
三．熟练转化“间接条件”判全等
1.如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？
为什么？
2.如图，∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
3．“三月三，放风筝”，如图是小明同学制作的风筝，他根据AB＝AD，CB＝CD，不用度量，他就知道∠ABC＝∠ADC，请你用学过的知识给予说明．
巩固练习：如图，在中,，沿过点B的一条直线BE
折叠，使点C恰好落在AB变的中点D处，则∠A的度数.
4.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 说明：∠A=∠D
【当堂反馈】
1.（2006·攀枝花市） 如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为 全等三角形是△ ≌△
2.如图，已知AB=AD， ∠B=∠D，∠1=∠2，说明：BC=DE
3．如图，已知AB＝DE，∠D＝∠B，∠EFD＝∠BCA，说明：AF＝DC
4．等腰直角△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N
（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．
（2）BM，CN，MN之间有何关系？
若将直线l旋转到如下图的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？
【课后作业】
1．如图，要用“SAS”说明ΔABC≌ΔADC，若AB＝AD，则需要添加的条件是 ．
要用“ASA”说明ΔABC≌ΔADC，若∠ACB＝∠ACD，则需要添加的条件是 ．
2.．如图，在ΔABC中，AD⊥BC，CE⊥AB.垂足分别为D.E，AD.CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使ΔAEH≌ΔCEB.
（第3题）
（第4题） （第5题） （第6题）
3．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，则此图中全等三角形有（ ）
A.．2对 B．3 对 C．4对 D．5对
4．如图，ΔABC中，AB＝AC，BE＝EC，则由“SSS”可判定（ ）
A．ΔABD≌ΔACD B．ΔABE≌ΔACE C． ΔBED≌ΔCED D．以上答案都不对
5． 如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠CAB=30°, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.
6．如图，一个六边形钢架ABCDEF，由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，请你用3条钢管使它不能活动，你能设计两种不同的方案吗？
7：如图11-9在△ABC中．⑴分别以AB、AC为边向形外作正方形ABDE、ACFG．
试说明：①CE＝BG；②CE⊥BG；
⑵如图11-10分别以AB、AC为边向形外作正三角形△ABD、△ACE．
试说明：①CD＝BE；②求CD和BE所成的锐角的度数．
【拓展延伸】
如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
全等图形
全等三角形
对应边相等
对应角相等
周长、面积分别相等
对应中线、高、角平分线相等
图形全等
三角形全等
SAS
ASA
SSS
AAS
HL（直角三角形）
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图11-9
图11-10
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11.3探索三角形全等的条件（4）
班级___________ 姓名___________学号___________
【学习目标】
⒈让学生进一步了解全等三角形在生活和生产中的应用，增强应用数学的意识；
⒉会用直尺和圆规作角平分线，并能有条理地说理和表达；
3.使学生掌握角平分线的性质和识别的方法，并会用解决有关简单问题．
【课前准备】
1、三角形全等的判定有哪几个？
2、如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,
③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个. A.4 B.3 C.2 D.1
3.角平分线的定义： .
4.角平分线的性质： .
【探索新知】
小时候，我们都折过纸飞机，它的翼面如右图形状，你能说出它的特征吗？这样做有什么好处？
活动1.不利用任何工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法？
活动2.如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
数学来源于生活，古代的能工巧匠就找到了解决的办法
1. 如右图，是一个角平分仪，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB 、A沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是角平分线，你能说出其中的道理吗？
2. 工人师傅常常用角尺平分一个任意角，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺，使角的两边相同刻度分别与点A、B重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠COD的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.
【探究新知】
那么根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？
画法 图形
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E2.分别以D、E为圆心，大于 DE的长度画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.3.画射线OC，OC就是∠AOB的角平分线
思考：用直尺和圆规画角的平分线的道理和依据是什么？
如何说明∠AOC=∠BOC？为什么要以“大于DE的长为半径画弧”
练习：在下图中用直尺和圆规画平角∠AOB的角平分线
【例题解析】
例1、 如图，点A、C、D、F在同一条直线上，AB=FE，BC=ED，
AD=FC。∠B与∠E相等吗？为什么？
练习：如图，厂房屋顶人字架△ABC（等腰三角形），上弦 AB=AC，中柱AD（D为底边的中点）中柱AD与BC垂直吗？为什么？
例2、如图已知CD⊥AB于点D， BE⊥AC于点E；BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．
说明：OB=OC．
【当堂反馈】
1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点
2. 如图，的角平分线AD交BC于 点D，，则点D到AB的距离是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
(2题) (3题) (4题)
3. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分
C． D．垂直平分
5.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.
【课后作业】
1. 如图， 点 P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，
则 ∠AOB=_____度．
2.在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD．试说明：CE=BD．
3.架设电线杆时，小明想，如果我们先剪4根无弹性的绳索，将长度不等的两根绳索的一端分别重合打结C,D，然后将长度相等的两根绳索的另一端也分别重合打结，将结点C、D放在架设点两侧的地面上，并使它们距架设点的距离相等,三点C,O,D在同一直线上，最后将结点A、B分别系在电线杆上，调节电线杆的倾斜度和结点A、B的位置，使绳索充分拉紧．这样，从现在这个方向看电线杆便垂直于地面．你认为他说的有道理吗？
【拓展延伸】
1．已知:BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，说明：点F在∠A的平分线上.
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11.1全等图形
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级___________ 姓名___________学号___________
【学习目标】
1、知识目标：认识全等图形，理解全等图形的概念与特征.
2、能力目标：能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形.
3、情感目标：通过画图和分割图形等活动，积累对全等图形的体验，感受图形变换的思想.
【学习重点】全等图形的概念和特征，认识全等图形.
【学习难点】在众多类似的图形中找出全等图形
【课前准备】我们生活在丰富的图形世界，图形美化了我们的生活，我们曾走进图形世界进行研究、探索，今天我们将再次走进图形世界。教师可结合生活实际制作投影幻灯片，观察几组几何图片，看看其中的几何图形是否有类似的特征？
这一组几何图片中你们又发现什么？
通过观察、对比、分析，让学生对全等图形有一印象深刻的感性认识.
【探索新知】
1、哪位同学来说说全等图形的含义？（投影出全等图形的概念）
全等图形：_______________________________________________________.
2、你是用什么方法找出全等图形的？
（每一个图案其实是把一个基本的图形经过若干次旋转、平移、翻折而成的。
3、刚才老师已经给大家出示几组全等图形，下面大家以小组为单位讨论这样两个问题：
（1）你能说出生活中全等图形的例子吗？
（2）观察下面两组图形，他们是不是全等图形？为什么？
这就是我们要学习的第二个内容：
全等图形的性质：全等图形的形状相同、大小相等。
注意：能够完全重合的图形叫全等图形。形状和大小相同是全等图形的特征。因此要判断图形是否全等，应根据全等图形的定义或特征。
【例题设计】
1、请同学们看课本105页1、2题。从中找出全等图形， 并思考这些图形是通过什么方法变化而来的？
2、请同学们完成课本106的“做一做”.
问题1：图形中的第②个三角形由第①个三角形经过怎样的变换得到的？
问题2：要确定第③个三角形，你应该首先确定那几个点，怎样确定？这个问题教师要关心学生学习的差异，让学生突破这一难点．
问题3：你有办法验证画出的三角形与原来的三角形全等吗？
问题4：掌握了这组图形的变化特征，你能继续往下画吗？
3、如图11.1-4，把正方形分成四个全等的图形，请设计三种图案．
【当堂反馈】
1．下列各组中是全等形的是（ ）
A、两个周长相等的等腰三角形 B、两个面积相等的长方形
C、两个面积相等的直角三角形 D、两个周长相等的圆
2．两个全等图形中可以不同的是（ ）
A、位置 B、长度 C、角度 D、面积
3．下列各组中可能不是全等形的是（ ）
A、两条长度相等的线段 B、两个大小相等的角
C、两条长度相等的圆弧 D、两条互相垂直的直线 ．
4.下面大家通过动手，探索解决下列问题：用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形. （分割线必须经过整个方格的中心，这是思维的起点.）
5、请将下图中的正方形分成二、四、八个全等的图形：
6、请将下图中的等边三角形分成二、三、四个全等的图形：
【课后作业】
1．找出下面各组图中的全等图形．
2．怎样把一个圆分成两个全等的图形 分成四个呢 分成三个呢
3．将如图的一个等边三角形分割成：
（1）两个个全等的三角形；（2）三个全等的三角形；（3）四个全等的三角形。
4．你能用不同的方法把图中的平行四边形分成4个全等的图形。
【拓展延伸】
你能在方格纸上利用全等图形的 有关知识设计一 幅精美的图案吗
平移
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11.3探索三角形全等的条件（2）
主备：吕云华 审核：初一数学备课组
班级___________ 姓名___________学号___________
【学习目标】
1.掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
【课前准备】
如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD
说明：（1）△ABF≌ △DCE （2）AF∥DE
【探索新知】 动动脑：如何配玻璃？
小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带
其中的一块碎片到商店去,就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢 如果可以,带哪块去合适呢 为什么
想一想观察下图中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？
活动二：课本中的“做一做”
（1）画线段AB=2cm，,AP与BQ相交于点C；
（2）剪下所画的△ABC，与同学所画的三角形能重合吗？
由此可得结论 。 活动三：课本中的“想一想”
在△ABC和△MNP中，≌吗？
结论： 。
通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（ASA）
【例题讲解】
例1. 如右图，O是AB的中点，∠A=∠B ，△ABC和△ADC全等吗？
若将第一题中的∠A=∠B改为∠C=∠D，其他条件不变，你还能
得到△AOC≌△BOD吗？
练习： 如图 ，AB=AC，∠B=∠C，试说明△ABE≌△ACD全等.
如果将题中的AB=AC改为AD=AE，其他条件不变，你能说明AB=AC吗？
例2. 如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？
思考：如果改变点C在OP上的位置，那么△AOC与△BOC仍然全等吗？
你能发现什么结论？ 。
练习：已知：△ABC中AD是它的角平分线，DE、DF 分别垂直AB、
AC垂足为E、F ，求证：ED=FD
练习：如图，一艘轮船沿AC方向航行，已知轮船在A点测得航线两侧的灯塔D,E与航线的夹角相等，当轮船到达B点时测得这两个灯塔与航线的夹角仍然相等，这时轮船与两个灯塔的距离是否相等，为什么？
【当堂反馈】
1.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并说明理由.
2．△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F．
当添加条件 时，就可得到△ABC≌△FED，
依据是 (只需填写一个你认为正确的条件)
3．已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB；△AOB≌△DOC
4．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD=EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？
5．已知，如图4、点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，AB∥CD。试说明：△ABE≌△CDF
6．如图5，已知AD、BE是△ABC的高，AD、BE相交于点F，并且AD=BD，你能找到图中的全等三角形吗？若能找到请说明理由。
【课后作业】
1. 下面能判断两个三角形全等的条件是（ ）
A 有两边及其中一边所对的角对应相等 B 三个角对应相等
C 两边和它们的夹角对应相等 D 两个三角形面积相等
2. 如图，将一张长方形纸片ABCD中沿对角线AC折叠后，点D落在点E处，与BC
交于点F，图中全等三角形有( )对？ (包含△)
A 对 B 对 C 对 D 对
第2题 第3题 第4题 第5题
3.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定△
ABM≌△CDN的 选项是 ( )
A．∠M=∠N; B．AB=CD; C．AM=CN; D．AM∥CN
4.如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若， 则 __________度．
5.如图，△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是 cm.
6.已知：如图，在△ABC中， BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点Ｅ、Ｆ．
⑴若AD是ΔABC的中线，则 BE与CF相等吗？
⑵若BE=CF，则AD是ΔABC的中线吗？为什么
7.如图，等边△AEB和等边△BDC在线段AC的同测（AB≠BC），连结AD、EC试说明△ABD≌△EBC．
【拓展延伸】
1.如图所示,OA平分∠BAC,∠B=∠C,则图形全等三角形共有_____对,它们分别是________________________________________________________.
2.如图12.3-2-3，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 （ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3、已知，如图6，AD、BC相交于点O，OA=OC，OB=OD，EF过点O分别交AB、CD于E、F，且∠AOE=∠COF，试说明OE=OF。
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数学活动 设计象形图
主备：吕云华
【课题】义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）七年级下册第十二章数学活动《设计象形图》
一、教学目标：
1、 经历想象、设计、欣赏象形图的活动过程，感受数学与生活的密切联系，经历由实物抽象成几何图形的过程，发展空间观念，积累数学活动的经验。
2、 在生活中获得美的享受，提高欣赏能力、激发学习数学的兴趣和学好数学的信心。
二、教学重点和难点：
通过“做数学”、“用数学”，经历操作、思考与交流等过程，发展空间观念，培养探索实践和使用数学语言的能力。
三、学情分析：
学生已经历过几次数学活动课对此类型课应该是很感兴趣，也非常乐意上数学活动课，但是如何充分调动每一个学生的积极性，不让“活动” 偏离主题，真正起到预设效果，还是值得注意的。
四、教学
1．准备纸、笔、直尺、圆规、剪刀等工具，彩色笔或涂色用的水彩颜料。
2．准备电脑多媒体，数学活动评价表。
3．学生进教室后，安排分组。“请同学们根据自己意愿，自由组合，组成四人左右活动小组。自己相互推荐，选择一名组长，代表我们组。组长，一是负责召集大家课堂讨论，安排汇报人，二是记录本组得分情况。活动结束后，我们将评选出最佳小组，给予奖励。准备好了吗？”根据课前在桌上放置的桌号，让学生举手示意，检查学生分组情况。
五、教学过程：
师：同学们，早上好！非常幸运能有机会到我们灌云实验中学与大家进行交流。今天，我们将在一起度过这愉快的45分钟，共同来“设计象形图”。在本章里，我们欣赏了许多漂亮的图案它们由花卉、虫鸟和简单图形，经过不同的方法设计而成。我们一起再来看一看。（投影幻灯片：相关的图片资料）
生：观看幻灯片。
师：请大家谈谈观看图片的感想。
生：生活中到处都可以感受到数学的影子，学好数学是非常有用的……
师：接下来我们一起来探索用一种非常简单的图形——三角形设计出各种各样有趣的图案。先请大家来欣赏一组美丽的图片，并思考讨论以下问题。
（1）这些用三角形设计成的象形图，像你见到的实物吗？你还有什么改进设计的建议？
（2）每幅图中有几个三角形设计而成的？它们是全等的三角形吗？
（3）从这些象形图的设计中，你得到了什么启发？每个同学说出一个能用三角形设计它的象形图的实物。（投影幻灯片：相关的图片资料）
生：观看幻灯片并思考问题。
生：分组讨论并回答问题。
师：下面请同学们展开想象的翅膀，用三角形设计出富有新意的象形图。请看要求和建议：
（1）象形图中要有若干个全等三角形，为全等三角形的大小和形状尽可能的减小误差，建议大家可以把要用的全等三角形先用剪刀剪出来再粘到纸上，同时为了美观可以在根据需要在三角形上涂上颜色。
（2）每个小组的成员先讨论利用3——4组象形图构思创作一幅富有意义的图案，并配上生动的文字加以说明。
（3）每个组员要单独完成一个象形图作为本组图案的一部分。
（4）每个小组的成员要有明确的分工，组长要认真负责，要有一位同学负责最后的粘图，一位同学负责写文字，一位同学负责向大家介绍你们拼图要表达的意义，一位同学负责填表格。
（5）最后自我评价，从三个方面来评价：你觉得你们小组的图案创意如何？数学感悟怎么样？合作精神达到什么程度？
学生活动：各小组同学经过讨论、构思、分工，随即动手设计图形，整个课堂气氛热闹非凡，学生们充分发挥他们丰富的想象力，力求设计出丰富、构图精美的图画。教师巡视指导，时间约15—20分钟，最后各组交流、汇报。
师：哪个组先来向同学们展示你们的作品？
生：回答问题……
师：刚才同学们作了精彩的汇报，我相信其他同学的作品也是相当漂亮的。这节课我们挖掘的数学知识就是应用了同学们前几天刚学习过的三角形全等的知识，同时大家也了新的发现。下面我想请同学谈谈我们这节课的感受或收获，哪位同学先来说说？
生：谈感受或收获。
师：再总结，大家想知道老师的感受吗？
生：想！
师：同学们相互合作的精神实在让我感动，同学们在活动中能进行数学思考，我非常高兴，同学们的创造力让我深感欣慰。
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