9.1.2余弦定理第2课时余弦定理的应用课件(共44张PPT) 数学人教B版（2019）必修第四册

第2课时　余弦定理的应用
第一篇 教材过关
情景导学
精读教材·必备知识
近测高塔远看山,量天度海只等闲.古有九章勾股法,今看三角正余弦.边角角边
细推算,周长面积巧周旋.小小三角多奥妙,品味佳酿越千年.测塔看山,量天度
海,好大的气派!我们可以想象一个巨人,拿着无比巨大的尺子和量角器在那里
量天度海.其实我们不必长成那样的巨人,我们只要利用解三角形的知识就可
以做到量天度海,数学知识可以使我们成为巨人.
?
答案????AAS、SAS、SSS、ASA.
如果已知三角形的6个元素中的3个元素恰好能使得三角形全等,那么可以直
接判断这个三角形的解的个数是1.
问题1:一般三角形全等的四种判断方法是什么?三角形全等的条件与三角形
解的个数的关系是什么?
答案　可以.由cos A=?=?,可求得bc的值,这样根据三角形
面积公式S=?bcsin A,即可快速求得该三角形的面积(上式中已知A,b+c,a的大
小).
问题2:求该图中三角形的面积时,若只知道相邻两边长之和、第三边、以及相邻两边的夹角,是否可以快速计算出该三角形的面积?如何求?我们今天就来学习一下.
一、正、余弦定理中常用的结论
1.由条件求角时,尽量选用余弦定理,而用正弦定理求角时,求出正弦值后,还要
利用边的大小关系判断是一解、两解、还是无解.运用余弦定理可以避免讨
论.
2.在利用余弦定理求三角形的三边时,除了保证三边均为正数外,还要判断这
三边能否构成三角形.
教材研读
3.常见的三角形问题:
?
(1)若AD为角平分线,则满足如下结论:
①?=?或?=?.
②利用cos∠BAD=cos∠CAD,可列等式求得边、角.
(2)若D为BC的中点,则利用AD为公共边,在△ABD和△ACD中分别利用余弦定
理求边长.
互动探究·关键能力
探究一　余弦定理的简单应用
例1????(易错题)在△ABC中,三边与面积的关系式为S=?,则cos C的值为
?(　　)
A.?　????B.?　????C.?　????D.0
C
解析　由△ABC中,三边与面积的关系式为S=?,可得?absin C=
?,
可得?sin C=?=cos C,
所以tan C=?,又C∈(0,π),所以C=?,
所以cos C=?.故选C.
易错点拨
借助余弦定理和三角形面积公式求解问题时,公式的选择和灵活运用是解题
的关键,过程中考查转化思想和计算能力.
跟踪训练
1-1　在△ABC中,A=30°,AC=2,且△ABC的面积为?,则BC=?(　　)
A.2　????B.?　????C.?　????D.1
A
解析　由题意知,?=?bcsin A,
∴c=2?.
由余弦定理得a2=4+12-8?×?=4, ∴a=2,
即BC=a=2.故选A.
1-2　在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且?a=2csin A,c=?,
△ABC的面积为?,则a+b的值为　　　????.
5
解析　由?a=2csin A,结合正弦定理可得?sin A=2sin Csin A,
∵sin A≠0,∴sin C=?.
在锐角三角形ABC中,可得C=?.
∴△ABC的面积S=?absin C=?ab=?,解得ab=6.
由c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=(a+b)2-18=7,
得a+b=5.
探究二　正弦定理、余弦定理的综合应用
角度1　用正、余弦定理进行等式证明
例2　在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,求证:?=?.
证明　证法一:左边=?=?,
右边=?=?,∴等式成立.
证法二:右边=?
=?=?=?=左边,
∴等式成立.
跟踪训练
2-1　如图,在四边形ABCD中,C,D为定点,CD=2?,A,B为动点,且满足DA=AB=
BC=2.求证:?cos C-cos A=1.
?
证明　连接BD,∵BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A
=4+4-2×2×2cos A=8-8cos A,
且BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=4+12-2×2×2?cos C=16-8?cos C,
∴8-8cos A=16-8?cos C,
即?cos C-cos A=1.
角度2　几何计算问题
例3　如图所示,在锐角△ABC中,AC=5?,点D在线段BC上,且CD=3?,△ACD
的面积为6?,延长BA至E,使得EC⊥BC.
(1)求AD的值;
(2)若sin∠BEC=?,求AE的值.
?
解析　(1)在△ACD中,S△ACD=?AC·CDsin∠ACD=?×5?×3?×sin∠ACD=6?,
所以sin∠ACD=?.
因为0°<∠ACD<90°,
所以cos∠ACD=?=?.
由余弦定理得AD2=CD2+CA2-2·CD·CA·cos∠ACD=56,得AD=2?.
(2)因为EC⊥BC,所以sin∠ACE
=sin(90°-∠ACD)=cos∠ACD=?.
在△AEC中,由正弦定理得?=?,
即?=?,所以AE=?.
跟踪训练
2-2????(2020天津和平耀华中学高一期中)如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AB
=AD=?AC,cos∠BAD=?,则sin C=　　　????.
?
解析　由题意不妨取AC=2,则AB=AD=?,且cos∠BAD=?,所以BD=
?=?,易得sin∠BAD=?,由正弦定理得sin B=
?=?,从而sin C=?=?.
探究三　正、余弦定理与平面向量的综合应用
例3　已知向量m=(sin A,sin C),n=(cos C,cos A),m·n=sin 2B,且A,B,C分别是
△ABC的三边a,b,c所对的角.
(1)求角B;
(2)若b=2,a+c=4,求△ABC的面积.
解析　(1)∵m·n=sin Acos C+cos Asin C=sin 2B,
∴sin B=2sin Bcos B.
∵B为△ABC的内角,∴0∴sin B≠0,
∴2cos B=1,
∴cos B=?,
∴B=?.
(2)由余弦定理,得cos ?=?,
∴a2+c2=ac+4.
∵a+c=4,
∴(a+c)2=a2+c2+2ac=16,
∴ac=4,
∴S△ABC=?acsin B=?×4×sin ?=?.
变式训练
(变条件、变结论)将例4(2)中的条件改为“若b=?”,则△ABC的周长的取值
范围为　　　????.
解析　∵?=?=?=?=2,
∴a=2sin A,c=2sin C,
∴a+b+c=2sin A+2sin C+?
=2sin?+2sin C+?=?cos C+3sin C+?
=2?sin?+?.
∵0∴2?sin?+?∈(2?,3?],
即△ABC的周长的取值范围为(2?,3?].
思维突破
正、余弦定理与平面向量综合题的解法
(1)先利用平面向量的相关知识将向量问题转化为三角问题;
(2)再利用三角恒等变换或代数变换求出三角形的相关元素;
(3)最后利用正、余弦定理求解有关三角形问题.
跟踪训练
3-1　△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,?b)与n=(cos A,
sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=?,b=2,求△ABC的面积.
解析　(1)因为向量m=(a,?b)与n=(cos A,sin B)平行,所以asin B-?bcos A=0,
由正弦定理得sin Asin B-?sin Bcos A=0,
又sin B≠0,所以tan A=?,
由于0(2)由余弦定理得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为?bcsin A=?.
课堂检测
评价检测·素养提升
1.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知A=60°,b=1,△ABC的面积为
?,则△ABC外接圆的直径为?(　　)
A.?　????B.2?　????C.?　????D.?
D
解析　由题意得S△ABC=?bcsin A=?c·sin 60°
=?c=?,解得c=4,
∵a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8cos 60°=13,∴a=?.
∴△ABC外接圆的直径为?=?=?.
2.三条线段的长分别为5,6,8,则用这三条线段?(　　)
A.能组成直角三角形
B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形
D.不能组成三角形
C
解析　易知这三条线段能组成三角形,设最大角为α,
则cos α=?=?=-?<0,
所以该三角形是钝角三角形.
故选C.
3.在△ABC中,D为BC边上的中点,且|?|=1,|?|=2,∠BAC=120°,则|?|=
?(????　)
A.?　????B.?　????C.?　????D.?
A
解析　由题意可得,?=?(?+?),
所以|?|2=?(?+?+2?·?)=?×?=?,
则|?|=?.故选A.
4.在△ABC中,AD是BC边上的中线,∠ABD=?,AC=2AD=2,则△ABC的面积为
　　　????.
解析　设BD=CD=x,AB=y,根据余弦定理有?
可得2x=?y,回代可得,x=?,y=2,故S△ABC=?×2×2?×?=?.
5.E,F是直角边长为3的等腰直角△ABC斜边AB上的两个三等分点,则
tan∠ECF=　　　????.
?
解析　等腰直角△ABC的直角边长为3,则斜边长为3?,又由于E,F为AB上的
两个三等分点,
所以AE=EF=BF=?,
在△ACE中,CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos 45°,所以CE=?,同理CF=?.
在△CEF中,cos∠ECF=?=?,所以sin∠ECF=?,所以tan∠ECF=?.
数学运算——基本不等式在解三角形中的应用
　　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=(2c-b)cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,求△ABC面积的最大值.
审:已知条件为带有边角关系的等式,分别求角和面积的最大值.
联:等式表示了三角形的边角关系,因为是齐次式,所以考虑边角互化求角A,进
而利用三角恒等变换和均值不等式求最值.
素养演练
解:(1)由正弦定理得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B,
即2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B),
∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sin C≠0,∴cos A=?.
∵A∈(0,π),∴A=①?.
(2)由(1)知,S△ABC=?bcsin A=?bc.
∵cos A=?=?≥?(当且仅当b=c时等号成立),∴036
仅当b=c时等号成立),
∴S△ABC的最大值为?×36=③???.
思:本题考查解三角形的相关知识,涉及正弦定理化简边角关系式、两角和差
的正弦公式、余弦定理的变形、三角形的面积公式、利用基本不等式求最值
等知识点,过程中体现逻辑推理和数学运算的核心素养.
针对训练
(2020辽宁丹东凤城高二月考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积
术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由
海伦公式S=?求得,其中p为三角形周长的一半,有一个三角形的
边长满足a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为?(　　)
A.4?　????B.8?　????C.4?　????D.8?
B
解析　由题意可得p=?=10,p-c=2,三角形的面积S=
?≤?
=?=8?,当且仅当a=b=6时等号成立.
所以该三角形面积的最大值为8?.故选B.