8.4.1 平面课件（共34张PPT） 数学人教A版（2019）必修第二册

8.4.1　平　面
第八章 §8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个公理.
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART ONE
知识点一　平面
1.平面的概念
(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.
(2)几何中的平面的特征：
绝对的平

不计大小
不计厚薄
无限延展
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一个 ，并且其锐角画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍
?
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来
?
平行四边形
45°
2
虚线
3.平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
知识点二　点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的 都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
所有点
文字语言0
符号语言
图形语言
A在l外
A?l
?
A在l上
A∈l
?
A在α内
A∈α
?
A在α外
A?α
?
l在α内
l?α
?
l在α外
l?α
?
l，m相交于A
l∩m＝A
?
l，α相交于A
l∩α＝A
?
α，β相交于l
α∩β＝l
?
知识点三　平面的基本性质
公理
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在_________
?
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
公理2
过_____________ ___的三点，____
一个平面
?
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据
②判定点线共面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________
?
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
两点
此平面内
不在一条直线
上
有且
只有
公共直线
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　)
3.空间不同三点确定一个平面.(　　)
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
题型一　图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
解　用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图.
反思感悟
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作
A.A∈b∈β B.A∈b?β
C.A?b?β D.A?b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为
A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
√
√
题型二　点、线共面问题
例2　如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.
证明　因为PQ∥a，
所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P∈β.
因为P∈b，b?α，
所以P∈α.
又因为a?α，P?a，所以α与β重合，所以PQ?α.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.
证明　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.
反思感悟
证明点、线共面问题的理论及常用方法
(1)依据：公理1和公理2.
(2)常用方法.
①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点共线、线共点问题
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
典例　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点.
证明　∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明　∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
素养
评析
(1)点共线与线共点的证明方法
①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.有以下结论：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
1
2
3
4
5
√
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；
③④两种说法是错误的.故选B.
1
2
3
4
5
√
2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是
解析　B中直线a不应超出平面α；
C中直线a不在平面α内；
D中直线a与平面α相交.
1
2
3
4
5
3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为
A.A?a，a?α，B∈α B.A∈a，a?α，B∈α
C.A?a，a∈α，B?α D.A∈a，a∈α，B∈α
√
解析　点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
4.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
1
2
3
4
5
√
解析　A项，三个点可能共线，
B项，点可能在直线上，
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
1
2
3
4
5
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
P∈直线DE
解析　因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
本课结束