6.1.1平面向量的实际背景和基本概念课件（共36张PPT） 数学人教A版（2019）必修第二册

§2.1　平面向量的实际背景及基本概念
第二章　平面向量
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART ONE
知识点一　向量的概念
1.向量：既有 ，又有 的量叫做向量.
2.数量：只有 ，没有 的量称为数量.
大小
方向
大小
方向
知识点二　向量的表示方法
1.向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.
方向
起点
方向
长度
的向量叫做零向量，记作 ； 的向量，叫做单位向量.
长度为0
0
长度等于1个单位
思考　“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案　错误.
理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
知识点三　相等向量与共线向量
1.相等向量： 且 的向量叫做相等向量.
2.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a平行于b，记作 .
(2)规定：零向量与 平行.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以 向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
长度相等
方向相同
相同或相反
非零
a∥b
任一向量
平行
思考　(1)平行向量是否一定方向相同？
答案　不一定；
(2)不相等的向量是否一定不平行？
答案　不一定；
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？
答案　零向量；
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？
答案　零向量；
(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
答案　平行向量.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(　　)
×
提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同.
2
题型探究
PART TWO
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；
零向量的模都是0，但方向不确定；
两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
题型一　向量的概念
例1　下列说法正确的是
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
√
反思感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1　下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
√
解析　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；
向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
题型二　相等向量与共线向量
例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
解　因为E，F分别是AC，AB的中点，
又因为D是BC的中点，
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
跟踪训练2　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
解　存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，
解　由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
题型三　向量的表示及应用
例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
反思感悟
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
解　根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等(作图略).
特殊向量的作用
典例　给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是________.(填序号)
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
④
解析　由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；
取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；
两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；
由两个向量相等的概念可知④正确.
素养
评析
(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.
(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错.
(3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.
3
达标检测
PART THREE
1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
√
1
2
3
4
5
解析　①温度没有方向，所以不是向量，故①错；
②向量的模也可以为0，故②错；
④向量不可以比较大小，故④错；
③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.
2.下列结论正确的个数是
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
√
1
2
3
4
5
所以四边形ABCD为菱形，故选C.
4.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________.(填序号)
1
2
3
4
5
①②③
1
2
3
4
5
0
所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
本课结束