2.2.2 反证法课件（共15张PPT） 数学人教A版选修2-2

题型1　反证法概念辨析
2.2.2　反证法 刷基础
1．下列命题运用“反证法”证明正确的是(　　)
A．命题：若a>b>0，则 > .用反证法证明：假设 > 不成立，则 < .若 < ，则ab矛盾．故假设不成立，结论 > 成立
B．命题：已知二次方程a ＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝ －4ac≥0.用反证法证明：假设Δ＝ －4ac<0，则a ＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0
D
题型1　反证法概念辨析
解析
2.2.2　反证法 刷基础
C. 命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程 －2x＋5－ ＝0无实数根．用反证法证明：假设方程 －2x＋5－ ＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2∵－2D. 命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，∴f(a)∴f(a)＋f(b)A，反证法中的反证不全面，“ > ”的否定应为“ ≤ ”．
B，本选项犯了“循环论证”的错误，实质上没有证明出该题．
C，在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．
题型1　反证法概念辨析
2.2.2　反证法 刷基础
2．利用反证法证明：“若 ＋ ＝0，则x＝y＝0”时，假设为　(　　)
A．x，y都不为0
B．x≠y且x，y都不为0
C. x≠y且x，y不都为0
D. x，y不都为0
D
解析
根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选D.
题型1　反证法概念辨析
2.2.2　反证法 刷基础
3．下列关于反证法的说法正确的个数是(　　)
①反证法属于间接证明问题的方法；
②反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理；
③反证法的实质是否定结论导出矛盾；
④反证法证题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用．
A．1 B．2 C. 3 D. 4
C
解析
反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法，因此①正确；反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理，因此②错误；否定结论导出矛盾就是反证法的实质，从而肯定原结论，因此③正确；反证法证题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，因此④正确，故选C.
题型2　用反证法证明“至多”“至少”问题
2.2.2　反证法 刷基础
4．[江西宜春上高二中2019高二期末]用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个偶数”正确的反设为(　　)
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c都是偶数
C. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
D. a，b，c都是奇数
D
解析
对于自然数a，b，c中至少有一个偶数，假设不成立，则应该为a，b，c都是奇数，故选D.
题型2　用反证法证明“至多”“至少”问题
2.2.2　反证法 刷基础
5．[广东中山一中2018高二段考]用反证法证明命题“已知a，b，c为非零实数，且a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，求证a，b，c中至少有两个为正数”时，要做的假设是(　　)
A．a，b，c中至少有两个为负数
B．a，b，c中至多有一个为负数
C. a，b，c中至多有两个为正数
D. a，b，c中至多有两个为负数
A
解析
用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
“a，b，c中至少有两个为正数”的否定为“a，b，c中至少有两个为负数”．故选A.
题型2　用反证法证明“至多”“至少”问题
2.2.2　反证法 刷基础
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的否定是________________________________________________________________________．
没有一个面是三角形、四边形、五边形
解析
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是没有一个面是三角形、四边形、五边形．
题型3　用反证法证明唯一性命题
2.2.2　反证法 刷基础
7．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)
A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线
C
解析
假设c//b，而由c//a，可得a//b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.
题型3　用反证法证明唯一性命题
2.2.2　反证法 刷基础
8．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
证明
假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
若直线a，b无交点，则a//b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不止一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B的有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
易错点1　否定词使用不准确致误
2.2.2　反证法 刷易错
9．用反证法证明“如果a>b，那么 > ”，假设的内容应是(　　)
A. ＝ B. > 且 ＝
C. < D. ＝ 或 ＜
D
解析
原命题的结论为 > ，反证法需假设结论的反面，即 ＝ 或 < .
易错警示
因为 与 有三种关系，所以“ > ”的否定应是“ ＝ 或 < ”，而不是“ ＝ 且 < ”．
易错点1　否定词使用不准确致误
2.2.2　反证法 刷易错
10．[福建宁德部分中学2019高二期中]用反证法证明命题“设a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝3，则a，b，c至少有一个数不小于1”时，要做的假设是(　　)
A. a，b，c都小于2 B. a，b，c都小于1
C. a，b，c至少有一个小于2 D. a，b，c至少有一个小于1
B
解析
a，b，c至少有一个数不小于1的对立面就是a，b，c三个数都小于1.故选B.
易错警示
易错点1　否定词使用不准确致误
2.2.2　反证法 刷易错
11．命题“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是________________________________________________________________________．
存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析
该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．
易错警示
利用反证法证明数学问题时，若需要否定的部分含量词，在否定时还要注意对量词进行否定，因此本题的否定不是只否定“至少有两个钝角”，还要否定“任何三角形”．
易错点2　未理解用反证法证明唯一性命题的适用类型致误
2.2.2　反证法 刷易错
12．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
证明
由两条直线平行的定义可知，过直线a外一点A至少有一条直线与直线a平行．
假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′//a.
因为b//a，由平行公理知b′//b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
易错警示
(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．
(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．